基于SIR 模型的人口變量變化的線性關系分析

喬 丹

（中國人壽寧夏分公司，寧夏 銀川 750001）

結核病在18、19世紀被稱為“白色瘟疫”，因為缺少治療方法，在20世紀早期造成了大量死亡。根據世衛組織（2016）的報告，結核病的主要病因是結核分枝桿菌，它可以通過空氣在人群中傳播。Chou和Friedman（2016）介紹說，這種細菌攻擊肺部，疾病會伴隨大量咳嗽和痰，呼吸變得困難，臉頰發紅，身體其余部分呈灰白色。此外，健康人在接觸結核病人咳嗽、打噴嚏或吐痰時產生的一些具有傳染性的細菌，就會有一定的傳染概率。Calmette博士和Guerin博士對1例新生兒成功接種卡介苗疫苗后，常規治療情況有所改善。該疫苗至今已有80年的歷史，已成為世界上最常用的疫苗之一；在國家兒童免疫規劃的國家，嬰兒免疫率超過80%。然而，卡介苗雖然對兒童的腦膜炎和播散性結核病有保護作用，但對預防原發感染和潛伏性肺部感染的再激活沒有幫助。后來，由于1946年抗生素“鏈霉素”的發現，結核病首次得到有效治療和治愈，病情持續改善。將這種抗生素與結核病聯系起來的醫生被授予1952年諾貝爾生理學或醫學獎。

與過去幾十年相比，人口流動在最近幾十年隨著交通和人民意識及財富的加速發展而迅速增加。以中國為例。國際勞工組織（ILO，2010）的統計數據顯示，中國近年來經歷了最廣泛的內部遷移。截至2009年底，約有2.298億農民工離開家鄉到城市購買更高水平的家庭生活。此外，旅游資源豐富，每年也造成了巨大的人口遷移。

從常識上看，初步的結論是移民在一定程度上影響了結核病的傳播。因此，此篇論文打算在SIR模型的基礎上構建合適的模型來探索人口流動的影響程度，嘗試在詳細分析和重復試驗后得出結論。

一、SIR模型建模

Kermack和McKendrick（1927）這兩位數學家提出了一個簡單的模型，考慮恒定的人口規模，只包括三類人，即易感個體（S），感染個體（I）和恢復個體（R）[1]。

第一步，提出必要假設并繪制原理圖。

S(t)，I(t)，R（t）代表時間t時每組個體的人數，人口總數N（t）是三類人群之和，接觸率“β”和治愈率“γ”是固定的，假設所有個體相同。

第二步，得出微分方程。

由于“β”是兩個獨立個體進行有效接觸的比率，“βN”是單位時間內人群中接觸的個體數，“”是易感人群占總人口的比例。

因此，單位時間內，感V染個體可傳播個體公式為：

很容易發現，會有γI(t)的人通過治療或自然治愈疾病。

如圖1所示，微分方程如下：

此時引入一個重要參數R0，表示基本SIR模型中由計算出的疾病的基本增值數。Emilia和Richard（2010）寫道，這是導致原感染者進入完全易感人群的繼發性感染的平均數量。表明該病R0＞1時存活，只有R0＜1時才會滅絕。根據文獻9的結論，時，傳染蔓延，只有提高的值，提高公共醫療水平使治愈率“γ”提升，最終使得，使傳染不再蔓延。

因此，將歐拉方法用于初始SIR模型，方程如下：

對于一個現實的解決方案，種群大小一定是大于零的。我們需要S（t+h）≥0，所以-βS(t)I(t)h+S(t)≥0，這代表著S(t)*（1-βI(t)h）≥0。因為S(t)≥0，1-βI(t)h≥0。因為I(t)≤0是基礎條件，是假設的必要條件。

根據這兩個方程，我們假設β和γ的兩個實數，并考慮人群中感染人數較少的情況，用EXCEL模擬單位時間內的變化過程。在此變化過程中，當R0＞1時，，I(t)有一個最大值且最終趨向于0。

第四步，考慮其他影響因素，調整基礎模型。

因SIR模型主要用于描述傳染病發展的一般規律，可操作性強，但同時忽略了很多細節，可能不符合現實情況。為了使模型更加真實，模型中考慮了出生/自然死亡率“μ”、疫苗有效接種率“ρ”和疾病致死率“α”。假設所有的新生兒都屬于易感人群，現將原理圖修改如下。

如圖2所示，微分方程如下：

第五步，引入矩陣，用于計算城市間的人口流動。

在所有城市肺結核傳染情況都可以用SIR模型表示的背景下，我們考慮了人口遷移的影響。為簡單起見，假設每個2個城市之間的人口遷移數量是固定的，這些城市的β和γ相同，定義一個新的參數“m”來表示城市之間的遷移數量。遷移比例不應超過10%，以滿足實際情況。下面演示了三種可能的流動方向，箭頭表示人口流動情況。

第六步，將人口流動加入模型并進行離散化。

假設共有n個城市，Ni表示i市的總人數，Si表示i市的易感人口，Ii表示i市的感染人口，Ri表示i市的恢復人口。微分方程如下：

離散化后，模型為：

2.實驗模擬及分析

使用如上方程在EXCEL中進行模擬實驗，假設實驗中參數為實數，我們定義然后，使用這些屬性在EXCEL中擬擴散。在實驗中，我們定義傳染率“β”為0.1，恢復率“γ”為0.45，出生/自然死亡率“μ”為0.1，疾病致死率“α”為0.00015，疫苗有效接種率“ρ”為0.1，初始人口基數“N”為1000，初始感染者“I0”為1，步長“h”為0.01。

為了檢驗“m”對肺結核傳播的影響，我們構建了以上3種不同的城市流動情況。由于在所有情況下，感染人群最終都將成為一個常數，因此，此實驗通過記錄那個最大值在不同m下的到達時間來評估兩者之間的關系。實驗結果表明，在開始時，“m”的微小變化會對結果產生很大的影響，所以我們將“m”的實驗值設為1、2、4、6、8、10、15、20、25、30、40、50、60、70、80、90和100。假設0時刻只有1個城市有1名感染者，其他城市的感染情況取決于遷移人口。以到達感染峰值的時間作為縱軸，“m”值作為橫軸繪制散點圖，觀察線性關系。繪制圖如下：

如圖4所示，在最簡單的雙城案例中，最大值的到達時間在城市1是固定的，但m與城市2中的T（Max（I(t)））呈對數關系。如圖5所示，在四個環線相連的城市中，城市2和城市4的趨勢線相同，因為它們都是離城市1最近的城市。如圖6所示，在最后一種情況下，只有兩條清晰的趨勢線和方程被證明，因為城市345只與中心城市2進行活動，所以共享了趨勢線。

從散點圖的分布，我們推測“m”與首次到達傳染峰值的時間呈對數關系，通過EXCEl生成趨勢線、方程和判定系數來驗證[2]。判定系數R square表示趨勢線在0到1范圍內的擬合程度，判定系數越高，趨勢線的可信程度越高。考慮到所有的判定系數都高于0.95，可以說明“m”與首次到達傳染峰值的時間“T（Max（I(t)））”之間存在一種對數關系。m越大，達到最大值的時間就越短，對數方程為T（Max（I(t)））=-a*ln（m）+b。

結語

本文首先引入基礎的SIR模型，通過增加參數，離散化微分方程等方式進行建模，用軟件模擬不同人口流動模式的人群變化過程。實驗結果表明，人口流動數量與感染首次到達峰值的時間存在對數關系。從數學角度證明抑制人員流動確實是控制肺結核傳播的有效途徑之一。但是，因實驗在一些不切實際的假設基礎上進行，整體實驗數據較少，進一步的研究也許可以集中研究這種特殊對數關系產生的原因，并不斷改進模型中不現實的方面。