促進(jìn)學(xué)生理解的“生長(zhǎng)式問題串”設(shè)計(jì)策略
——以“二次函數(shù)背景下的最值問題”專題復(fù)習(xí)課為例

彭文斌

(四川省成都七中八一學(xué)校 610036)

蘇聯(lián)著名教育家贊可夫曾說(shuō)：“教會(huì)學(xué)生思考，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一生中最有價(jià)值的本錢．”數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，其核心是發(fā)展學(xué)生的思維能力，數(shù)學(xué)課堂要致力于讓學(xué)生思維真正發(fā)生．要到達(dá)這樣的目的，教師在教學(xué)中要設(shè)計(jì)富有情境的、有思考價(jià)值的問題，在層層遞進(jìn)的生長(zhǎng)式問題串驅(qū)動(dòng)下，引領(lǐng)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)與深度思考，在這樣的狀態(tài)下獲得的知識(shí)是自然生長(zhǎng)的、是終身的．

因此，在數(shù)學(xué)課堂中，教師要善于構(gòu)建具有生長(zhǎng)樣態(tài)的問題串，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本源，感受數(shù)學(xué)獨(dú)特的思維方式，在知識(shí)形成和解決問題的過(guò)程中，促進(jìn)理解、融會(huì)貫通、靈活遷移，從而獲得智慧、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．下面以“二次函數(shù)背景下的最值問題”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)勔I(lǐng)學(xué)生思維生長(zhǎng)、促進(jìn)學(xué)生理解的生長(zhǎng)式問題串的設(shè)計(jì)策略．

1 確立核心問題，找準(zhǔn)問題起點(diǎn)

“二次函數(shù)背景下的最值問題”這節(jié)專題復(fù)習(xí)課的核心問題是在二次函數(shù)背景下，動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的有關(guān)線段或面積最值問題的探究．在核心問題大背景下，努力找到探尋的起點(diǎn)，讓學(xué)生比較容易入手．故此，設(shè)置本節(jié)課第一個(gè)基礎(chǔ)的起點(diǎn)問題：

問題1拋物線y=-x2-2x+3位于x軸上方的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P距離x軸最遠(yuǎn)時(shí)點(diǎn)P的位置在哪里？

圖1

這樣的問題讓學(xué)生很容易入手，發(fā)現(xiàn)距離x軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)(圖1)．問題1起點(diǎn)低，符合學(xué)生的已有知識(shí)基礎(chǔ)，這個(gè)問題成了后續(xù)所有問題的起點(diǎn)，我們就可以設(shè)置該問題的一系列變式問題．

2 明確生長(zhǎng)點(diǎn)位，構(gòu)建關(guān)聯(lián)變式

英國(guó)科學(xué)哲學(xué)家波普爾也曾說(shuō)過(guò)：“科學(xué)和知識(shí)的增長(zhǎng)永遠(yuǎn)始于問題，終于問題——越來(lái)越深化的問題，越來(lái)越能啟發(fā)新問題的問題．”[1]在問題1的啟發(fā)下我們尋找關(guān)聯(lián)性極強(qiáng)的變式問題，探尋起點(diǎn)問題下的問題生長(zhǎng)．因此，設(shè)計(jì)第二個(gè)引發(fā)深度思考的問題：

圖2

問題2已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于點(diǎn)A,C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D(0,1)，點(diǎn)P是位于第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸交線段CD于H，當(dāng)PH取得最大值時(shí)，點(diǎn)P還是拋物線的頂點(diǎn)嗎(圖2)？

問題2與問題1關(guān)聯(lián)性極強(qiáng)，直線CD可以看作是將x軸繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，但卻不能直接回答使得PH最大時(shí)點(diǎn)P是否還是拋物線頂點(diǎn)．從而引發(fā)學(xué)生深度思考與深入探究．

問題3已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于點(diǎn)A,C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D(0,1)，P是第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P距離直線CD最遠(yuǎn)時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)(圖3)．

圖3

問題3的提出是問題2的進(jìn)一步探究，但學(xué)生想再直接建立點(diǎn)P到CD的距離PG的函數(shù)模型就更加困難了.解決這個(gè)問題讓學(xué)生進(jìn)入深度思考，繼而想到平移直線CD與拋物線相切于第二象限，切點(diǎn)即為點(diǎn)P的位置．這一數(shù)形結(jié)合的方法自然而然地產(chǎn)生了．求切線和切點(diǎn)的方法背后的數(shù)形結(jié)合思想與方程思想可以讓學(xué)生徹底領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之美．對(duì)于這些方法的普適性更應(yīng)在教學(xué)中去滲透．問題3還可以如何生長(zhǎng)？其實(shí)解答完問題3之后學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，問題3和問題2中的點(diǎn)P是同一點(diǎn)．由此生長(zhǎng)出下一個(gè)問題：

問題4問題3中點(diǎn)P的位置與問題2中點(diǎn)P的位置是否相同？為什么？

圖4

問題4的提出讓學(xué)生尋求前兩個(gè)問題的關(guān)聯(lián)，從而對(duì)問題有更深入的認(rèn)識(shí)：PG=PHcos∠HPG(∠HPG為定角，等于∠DCO)，將求PG的最大值轉(zhuǎn)化為求PH的最大值(圖4)．由此讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，感悟數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美．

3 遵循自然有道，把握生長(zhǎng)方向

“最近發(fā)展區(qū)”理論告訴我們，學(xué)生認(rèn)知的最大特性是“生長(zhǎng)性”.如何讓學(xué)生在問題情境中自然而有力地獲得知識(shí)的生長(zhǎng)，得到思維提升，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)特有的魅力，激發(fā)自由創(chuàng)造的潛能，滋養(yǎng)數(shù)學(xué)內(nèi)在的理性精神，需要教師的精鋪巧設(shè)與智慧引領(lǐng)．

在完成了問題2～4的探究之后，問題還有哪些值得挖掘、變式的地方應(yīng)該往哪個(gè)方向去研究，需要教師精心設(shè)計(jì)問題變式．可考慮往三角形面積最值方面去變式，設(shè)計(jì)中提供以下三個(gè)問題，為后續(xù)研究提供參考：

問題5已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于點(diǎn)A,C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D(0,1)，P是第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，PG⊥CD，PH⊥x軸，當(dāng)PG與PH取得最大時(shí)，△PHG的周長(zhǎng)是否最大？此時(shí)△PHG的面積是否最大(圖4)？

圖5

問題6已知拋物線y= -x2-2x+3與x軸交于點(diǎn)A,C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D(0,1)，P是第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求△PCD面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(圖5)．

問題7△PCD面積取得最大值時(shí)，與問題2、問題3有沒有本質(zhì)的區(qū)別？

問題5是問題4的延續(xù)，關(guān)聯(lián)性強(qiáng)，探究顯得自然流暢；問題6是問題5的進(jìn)一步變式，將線段最值問題變式為與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的三角形面積最值問題．前面問題的鋪墊，讓問題5～6的探究迎刃而解，一切的探究活動(dòng)的開展都顯得自然有道．對(duì)其中的方法、思想、內(nèi)涵，學(xué)生在回答完問題7后得到了認(rèn)識(shí)上的升華，大大促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．

4 構(gòu)建階梯變式，引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)

問題情境設(shè)計(jì)注重層次性、遞進(jìn)性、階梯性等基本原則，這同樣符合最近發(fā)展區(qū)理論．教師始終有意識(shí)地挖掘?qū)W生的認(rèn)知需要與已有水平之間的矛盾，不斷地培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的求知欲望，讓其始終處于“憤悱”狀態(tài)中．在探究完前七個(gè)關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)的問題之后，課堂探究活動(dòng)應(yīng)該步入深層次學(xué)習(xí)．因此，考慮設(shè)計(jì)具有一定挑戰(zhàn)性的問題：

圖6

從問題1至問題8，始終遵循了問題變式的層次性和階梯性，遵循了問題發(fā)生的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，符合學(xué)生已有認(rèn)知能力，滿足了學(xué)生求知的需求，引領(lǐng)著學(xué)生逐步進(jìn)入深度思考、深度學(xué)習(xí)．在問題8探究結(jié)束后，設(shè)置了一個(gè)與此節(jié)課相關(guān)性極強(qiáng)的問題9(2020年成都中考試題)：

圖7

美國(guó)教育心理學(xué)家加涅曾指出“教學(xué)設(shè)計(jì)必須以幫助學(xué)習(xí)過(guò)程而不是教學(xué)過(guò)程為目的．”[2]讓“生成式問題串”引領(lǐng)、驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，只是教師優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的一種重要方式和途徑．在建構(gòu)主義理論指引下，在生成性視野中，教學(xué)的過(guò)程是研究、傾聽、對(duì)話的過(guò)程．因此，在重視問題串設(shè)計(jì)的同時(shí)還要讓課堂教學(xué)實(shí)施走向民主化、開放化，重視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)注、對(duì)過(guò)程的關(guān)注，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力．