債券資本成本計算研究

曾愛兵 （廣東白云學院 廣東廣州 510450）

一、問題提出

根據成本的定義可以給出資本成本的定義式：資本成本=籌資過程中各類實際用資費用/取得的籌資本金×100%。根據成本的定義，公式中的實際用資費用，既應該包括實際需要支付的利息，也應該包括發行費用等為籌資發生的一切實際支付的費用。

常見的債券資本成本計算公式為：資本成本=籌資過程中支付的利息/（取得的籌資本金-發行費用）×100%。該公式和優先股資本成本的計算公式在形式上是一致的，優先股資本成本的計算公式在很多教材上都有推導過程，較為可靠，但用于債券資本成本的計算時就需要保持謹慎，這是因為債券畢竟和優先股不同，債券一般是有限期的，而優先股則是無限期的，二者的計算公式應該有區別。為論述方便，本文將該公式稱為借用優先股資本成本計算公式。該公式從本金中扣除發行費用的做法看似合理，但不符合成本的定義，因為發行費用應該也在成本的范疇內，并非減少了本金，本文首先分析從本金中扣除發行費用是否合理及適用情形、造成的差異是否能接受等問題。

鑒于以上對計算債券資本成本定義式和借用優先股資本成本計算公式的疑問，本文將兩個公式分別用于計算短期債券和長期債券的資本成本，比較分析兩個公式計算結果的差異，進一步分析哪個計算公式比較合理。

二、短期債券資本成本計算公式

根據定義式，可以給出短期債券資本成本計算公式。假設短期債券的發行價格為S，面值為M，發行費用為F，票面利率為i。根據定義式，在不考慮所得稅的情況下，短期債券資本成本的計算公式應該是（M×i+F）/M×100%。但很多教材給出的短期債券資本成本計算公式和優先股資本成本的計算公式是一樣的，即M×i/（M-F）×100%。通過對比以上兩個公式的差異可以發現，借用優先股資本成本公式進行計算時，短期債務的成本一般會被低估。原因如下：

由于發行費用為0時兩個公式一致，假設發行費用大于0，用（M×i+F）/M×100%除以M×i/（M-F）×100%，結 果 可 以 整 理 為（M2×i-M×i×F+M×F-F2）/（M2×i），只要證明上式計算結果大于1，就能得出借用優先股資本成本計算公式資本成本會被低估的結論。令（M2×i-M×I×F+M×F-F2）/（M2×i）＞1，則問題轉化為證明M-M×i-F大于0，即證明M＞M×i+F，也就是（M×i+F）/M×100%＜100%。一般來說，因為年利息M×i與發行費F合計不會超過本金M，上式通常是成立的。以上分析過程說明，當按定義式計算的短期債券資本成本低于100%時，如果借用優先股資本成本計算公式，會導致短期債券成本被低估。

舉例驗證：假設企業發行短期債券100萬元，年利息為4萬元，發行費用為1萬元。則根據定義式計算的資本成本為：（4+1）/100×100%=5%。如果借用優先股資本成本計算公式，將發行費用抵減本金，則其資本成本為：4/（100-1）×100%=4.04%，二者的差異率為（5%-4.04%）/5%=19.2%。可見，將發行費用從本金中扣除來計算短期債券資本成本會導致短期債券資本成本被低估，而且被低估的程度比較高。出現以上差異的原因是由于將發行費用直接從本金中扣除不符合資本成本的定義。只有在借款時預先從本金中扣除發行費用的情況下，該公式才被認為是比較合理的。

由于長期債券資本成本的計算也常借用優先股資本成本計算公式，下面進一步分析其與根據資本成本定義式的計算結果相比會有怎樣的差異，出現差異的原因是什么，應該如何計算才更準確，計算時需要注意什么問題。

三、長期債券資本成本的計算公式

長期債券存在多種類型，為方便說明問題，本文選取最常見的債券類型，即固定利率、每年年底計算并支付利息、到期歸還本金的債券作為研究對象。為論述方便，本文稱此種債券為典型債券。長期債券資本成本的計算期限長，涉及時間價值，因此比短期債券資本成本的計算要復雜得多。長期債券資本成本的計算也存在一定的不合理之處，下面分四個步驟進行分析，可以看到這四個步驟中，前一個是后一個的基礎，每一步都揭示出長期債券資本成本的計算需要注意的問題。

（一）根據典型債券資本成本的定義式給出的估值模型

典型債券歷年的利息支付是固定的，而且期限有限，要根據資本成本的定義計算年資本成本，可以先將發行費用轉換為年金，然后和利息合并。這樣做的依據就是在分析短期債券資本成本的計算時已經明確的觀點：發行費用屬于成本的一部分，不能從本金中減除。

假設長期債券分期付息、到期還本，其發行價格為S，面值為M，期限為n，發行費用為f，票面利率為i，每年付息一次，不考慮所得稅，則根據資本成本的定義，即按照借款的成本中不包括歸還的本金的做法，其資本成本的計算公式可分為平價發行、折價發行、溢價發行三種情形。

第一種情形：平價發行時，M=S。在此情形下，如果年資本成本為r，則發行費用f年金化后為f/（P/A，r，n），相當于年資本成本為M×i+f/（P/A，r，n），于是得出以下等式：[M×i+f/（P/A，r，n）]/S=r。此式等價變換得到：M×i×（P/A，r，n）+f=S×r×（P/A，r，n），因為（P/A，r，n）=[1-（1+r）^（-n）]/r，將其代入上式，整理后可得出：M×i×（P/A，r，n）+S×[（1+r）^（-n）]）=S-f，即 S-f=M×i×（P/A，r，n）+S×（P/F，r，n），S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n）。這正是考慮了發行費用的平價發行時典型債券的估值模型。

第二種情形：折價發行時，M高于S。長期債券折價發行時，到期實際歸還的本金即面值M高于發行價S，即到期時多支付了一筆開支。折價金額為M-S，將其轉化為年金，可以得出以下等式：r=[M×i+f/（P/A，r，n）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S。此式等價變換后為：M×i×（P/A，r，n）+f+（M-S）×[（1+r）^（-n）]=S×r×（P/A，r，n），即M×i×（P/A，r，n）+f+（M-S）×[（1+r）^（-n）]=S×[1-[（1+r）^（-n）]。上式整理后得 ：S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n），這正是折價發行時典型債券的估值模型。

第三種情形：溢價發行時，M高于S。長期債券溢價發行到期時實際歸還的金額M低于發行價S，即到期時少支付了一筆開支，其金額為S-M，將其轉化為年金，可以得到以下等式：[M×i+f/（P/A，r，n）-（S-M）]/（F/A，r，n）]/S=r。此式等價變換后為：M×i×（P/A，r，n）+f-（S-M）×[（1+r）^（-n）]=S×r×（P/A，r，n），即 M×i×（P/A，r，n）+f+（M-S）×[（1+r）^（-n）]=S×[1-[（1+r）^（-n）]。上式整理后得：S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n），這正是溢價發行時典型債券的估值模型。

綜合以上三種情形，可以看出長期債券資本成本的計算和股票一樣，不需要區分溢價、折價和平價發行方式，不論采用何種發行方式，發行典型債券時的估值模型均可表達為 S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n），其資本成本計算公式均可表示為[M×i+f/（P/A，r，n）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S，計算時均可利用典型債券的估值模型，使用插值法確定其資本成本。典型債券的估值模型 S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n）中，（P/A，r，n）=[1-（1+r）^（-n）]/r，（P/F，r，n）=（1+r）^（-n）。很明顯，如果模型中n為無窮大時，模型可以簡化為S-f=M×i/r，即 r=M×i/（S-f），這時模型與借用優先股的資本成本計算公式是一致的。根據分析可以確認，只有在債券的到期期限為無窮時，通過將發行費用直接從本金中減除的方式計算長期債券資本成本才是合適的。到期期限為無窮的債券也就是永續債，不考慮所得稅時永續債和優先股的資本成本計算公式是一致的，但到期期限有限的長期債券，其資本成本計算公式和優先股不同，二者不能混用。

（二）兩個不同長期債券資本成本計算公式的差異分析

前已述及，用定義式表示的長期債券資本成本為r=[M×i+f/（P/A，r，n）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S。這個定義式整理后就是典型債券的估值模型S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n）。可以使用插值法通過這個模型計算長期債券資本成本，也可以利用EXCEL軟件中的IRR函數算出長期債券資本成本。將這個模型與借用優先股資本成本計算公式的結果相比較，用作差法得到的差異可以表述為 ：[M×i+f/（P/A，r，n）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S-M×i/（S-f）。可以看出，差異影響因素除了M、S外，還包括f、n、i、r。根據差異表達式可以看出，在M=S且f=0時差異為0。這是最簡單的情況。進一步考慮比較復雜的三種情況：

第一種情況：如果f=0且M≠S，作差法下差異可以表達為：[M×i+（M-S）/（F/A，r，n）]/S-M×i/S，即（M-S）/（F/A，r，n）。可見，在f=0，即不存在發行費用的情況下，差異取決于發行價S和債券面值M是否一致；折價發行時M-S為正數，此時借用優先股資本成本計算公式結果會被低估；溢價發行時M-S為負數，此時借用優先股資本成本計算公式結果會被高估。

第二種情況：M=S且f＞0。此時差異△可表示為[M×i+f/（P/A，r，n）]/S-M×i/（M-f）。因為 M=S，差異△中S可換成M，則差異△為[M×i+f/（P/A，r，n）]/M-M×i/（M-f），進行整理可得到 ：△ =f/[M×（M-f）]×[（M-f）×（A/P，r，n）-M×i]。通過上式可以看出，因為M、M-f一般大于0，此時差異性質取決于（M-f）×（A/P，r，n）-M×i。借用優先股資本成本計算公式進行計算，當（M-f）×（A/P，r，n）大于 M×i時結果會被低估；反之，當（M-f）×（A/P，r，n）小于M×i時結果會被高估。進一步可以看出，當f=0、r小于i即溢價發行時，結果會被高估；當r大于i即溢價發行時結果會被低估。

第三種情況：M≠S且f＞0。相比前兩種情況，這種情況更具一般性，也是最復雜的情況。此時差異[M×i+f/（P/A，r，n）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S-M×i/（S-f）可 以整理為[M×i+f/（P/A，r，n）]/S-M×i/（S-f）+（M-S）/（F/A，r，n）]/S。

通過以上兩種f＞0時的情況可以看出，如果f不是很大，f對差異的影響一般是很小的，當f很小時，用f=0時的情況來判斷實際結果被高估或低估一般是可以接受的。下面借用《財務管理》教材中的一道例題，通過實際計算驗證以上結論。

例題：某企業以1 100元的價格，溢價發行面值為1 000元、期限為5年、票面利率為7%的公司債券一批。每年付息一次，到期一次還本，發行費用率為3%，所得稅稅率為25%，該批債券的資本成本率為：Kb=1 000×7%×（1-25%）／[1 100×（1-3%）]=4.92%。考慮時間價值，該項公司債券的資本成本計算如下：1 100×（1-3%）=1 000×7%×（1-25%）×（P/A，Kb，5）+1 000×（P/F，Kb，5）。按插值法計算，得到：Kb=3.76%。

可以看出，這道例題先借用優先股資本成本計算公式，后用典型債券的估值模型對債券資本成本進行了計算，兩種不同方法的計算結果出現了比較大的差異，并且符合本文得出的結論，即不存在發行費用或發行費用不夠大時，在溢價發行即r小于i的情況下，借用優先股的資本成本計算公式資本成本會被高估。

此外，這道例題借用優先股資本成本計算公式進行推算時區分“不考慮時間價值”“考慮時間價值”的說法是不妥的，兩種方法應該都考慮了時間價值。區別在于第一個公式適用于長期債券發行期限為無限的情形，第二個公式適用于長期債券發行期限為有限的情形。需要注意的是，本例題中債券的期限明確為5年，因此使用例題中提到的第二個計算公式才是合適的。

這道例題還存在一個值得商榷之處，就是在第二個公式中直接將債券利息進行了扣稅處理，姑且不論發行費用是否也需要扣稅，僅僅對債券利息進行扣稅會導致模型得出不準確的結論。前面通過資本成本定義式得到典型債券的估值模型中資本成本均以稅前形式出現，如果將模型中的各成本、費用直接扣除所得稅，計算的結果是不準確的。下面本文對典型債券折現模型中利息和發行費用直接扣除所得稅的算法是否合理進行分析。

（三）直接從典型債券估值模型中扣除所得稅的計算方式是否合理

不考慮扣除所得稅的典型債券的估值模型為S-f=M×i×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n）。由于發行費用和利息均能引發少交企業所得稅，假設企業所得稅稅率為t，扣除企業所得稅的典型債券的估值模型為S-f×（1-t）=M×i×（1-t）×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n），這個模型可以整理成S-f=f×t+M×i×（1-t）×（P/A，r，n）+M×（P/F，r，n），這樣兩個模型的左邊就一樣了，便于分析。如果上式右邊和未扣除所得稅的典型債券的估值模型右邊部分作差，結果不是0，就說明模型中的各成本、費用直接扣除所得稅后，等式很可能不再成立，根據兩個模型推算出的資本成本就會不一樣，其中有一個是不合理的算法。

很明顯，以上提到的兩個模型右邊差異就是f×t-M×i×t，即 t×（f-M×i），這個差異是個常數。這說明，只有在發行費用和年利息相等時，兩個模型無差異，可以在典型債券的估值模型中直接用扣除所得稅的方式來計算長期債券資本成本，否則計算結果就是不正確的。對于直接從典型債券估值模型中扣除所得稅的計算方式，當f小于M×i時，差異為負數，會導致長期債券資本成本實際計算結果被低估；當f大于M×i時，差異為正數，會導致結果被高估。

相比于直接在模型中扣除所得稅的算法，更合理的算法應該是先用典型債券的估值模型算出稅前資本成本，然后將稅前資本成本換算成稅后資本成本，本文將這個做法稱為分步法，將上例中利用典型債券估值模型時在利息中直接扣除所得稅的做法稱為不分步的方法。這道例題原本采用不分步的方法進行計算，理論上是不合理的，下面本文用分步的方法進行計算，觀察兩種方法的計算結果是否一致。

（四）長期債券資本成本計算不分步方法和分步方法的差異分析

承上例，使用不分步的方法計算出的債券資本成本為3.76%。使用EXCEL中的IRR函數對不分步的算式進行處理，得出Kb=3.755%。這和例題中采用插值法的計算結果是一致的。

使用分步法進行計算，過程如下：長期債券的估值模型為 1 100×（1-3%）=1 000×7%×（P/A，Kb，5）+1 000×（P/F，Kb，5）。第一步，根據上式，使用EXCEL中的IRR函數可以得出Kb=5.43%。第二步，將Kb=5.43%換算成稅后的資本成本：5.43%×（1-25%）=4.07%。這種方法和例題中使用不分步的方法得出的計算結果相比差異率為（4.07%-3.76%）/4.07%=7.62%。

原例題中僅考慮了利息可以抵稅，沒有考慮發行費用可以抵稅的問題。本文使用不分步方法進行計算，同時將利息、發行費用調整為稅后，計算結果是否和分步法一致？下面繼續通過計算進行驗證。同時將利息和發行費用調整為稅后，不分步法算式如下：1 100-1 100×3%×（1-25%）=1 000×7%×（1-25%）×（P/A，Kb，5）+1 000×（P/F，Kb，5）。根據上式，使用EXCEL中的IRR函數可以得出Kb=3.58%。可以看出，這種方法和分步法的差異更大了。此時和例題中使用不分步的方法原給出的計算結果相比差異率為（4.07%-3.58%）/4.07%=12.04%。

按照（三）中分析的結論，本例題中f（33）小于M×i（100），會導致長期債券資本成本實際計算結果被低估。本例題中不分步計算的結果為3.58%，分步計算的結果為4.07%，符合f小于M×i時，直接從典型債券估值模型中扣除所得稅的計算方式會導致資本成本計算結果被低估的結論。根據分析，例題中出現以上問題的原因在于該道例題的算法忽略了典型債券估值模型的用途應該是用于計算稅前資本成本，在債券估值模型中將利息和發行費用直接換成稅后的做法不夠嚴謹。

綜上，分步法用于計算確定長期債券資本成本比不分步的做法要合理一些，考慮到發行費用和利息費用一般均可在稅前列支，應當使用分步法來確定長期債券資本成本。

四、其他確定債券資本成本時需要注意的問題

一般《財務管理》教材上計算的都是稅后資本成本。實際上，如果發行債券后企業當年虧損，發行債券就不能使企業獲得少交所得稅的好處，這時當年的債券資本成本就應當是稅前的資本成本。還應該注意到，如果企業發行債券后當年的資產報酬率低于債券資本成本，企業只能部分獲得少交所得稅的好處，這時的債券資本成本應該確定為處于稅前的資本成本和稅后的資本成本之間。只有在企業發行債券后當年的資產報酬率高于債券的稅前資本成本時，債券的資本成本才能確定為稅后的資本成本。按照這個結論，如果在虧損的年度進行決策，計算的債券資本成本應該要比盈利的年度高些。

五、小結

在計算債券資本成本時，發行費用應當是資本成本中的一部分，不能直接從本金中減去，永續債等少數情形例外。存在發行費用時應當嚴格按照定義式來計算債券資本成本，具體做法就是將發行費用與利息支出等合并作為成本。

對于短期債券，只有在借到本金時將部分費用直接從本金中扣除的情況才可以借用優先股資本成本計算公式。對于長期債券，兩種情況下可以借用優先股資本成本計算公式，一是債務性質為永續債，二是平價發行并且不存在發行費用。對于短期債券，借用優先股資本成本計算公式，存在發行費用時會導致資本成本被低估。對于長期債券，在不存在發行費用或發行費用比較少的情況下借用優先股資本成本計算公式，在折價發行時會低估其資本成本，在溢價發行時則會高估其資本成本，只有在平價發行并且不存在發行費用時計算結果一致。

債券的發行費用和利息一樣，一般都是可以稅前列支的，在實際計算長期債券資本成本時，應當使用分步的方法，先用典型債券估值模型計算出稅前資本成本，然后換算為稅后資本成本。如果企業發行債券后當年虧損或利潤不足，債券利息和發行費用抵稅的作用就可能難以發揮或充分發揮。對于虧損或盈利不足的企業而言，其債券資本成本應該確定為稅前資本成本，只有盈利充足到一定程度的企業，其債券的資本成本才能用稅后資本成本來計算。