冪級數展開式的若干應用

◎金少華 宛艷萍 徐 勇 陳秀引 臧 婷 程俊明

(河北工業大學理學院，天 津 300401)

微積分是理工科大學生非常重要的基礎課.本文結合近年的考研真題給出了基本的冪級數展開式的若干應用,包括利用基本的冪級數展開式判別數項級數的斂散性、數項級數求和、求函數的高階導數、冪級數的和函數、將函數展為冪級數等，以激發學生的學習興趣,培養學生的科學思維方法和創新能力.

本題若直接用求導法則求f(3)(0),則計算量很大，而用f(x)的麥克勞林展開式，計算非常簡捷.

上式兩邊對x求導，得

在上式中令x=1，得

本題直接用sinx的麥克勞林展開式往要求的結果湊，計算簡捷，目的明確.

本題直接用cosx的麥克勞林展開式往要求的結果湊，計算簡捷，目的明確.

所以其收斂區間為(-1,1).

所以當x∈(0,1)時，

=-xln(1-x)-[-ln(1-x)-x],

本題用正項級數的比值法和根值法均不易判別斂散性，而利用ex的麥克勞林展開式則很容易得到結果.

兩端對x求導，得

本題直接用sinx的麥克勞林展開式往要求的結果湊，計算簡捷，目的明確.

所以由上式，得P-π2Q=0,即

本題直接用cosx的麥克勞林展開式往要求的結果湊，計算簡捷.

收斂半徑R=1.

本題對ln(1+x) 的麥克勞林展開式進行變量代換可順利求得結果.

下面看一個利用基本的冪級數展開式求矩陣函數的例子.

解特征多項式φ(λ)=λ4-π2λ2，

由哈密頓-凱萊定理，得A4-π2A2=0，即A4=π2A2，

有了這個等式，上面三個矩陣函數的矩陣冪級數實際上可用A的有限多項式給出：即A5=π2A3，A7=π2A5=π4A3,…,A2k+1=π2k-2A3,…類似可得A2k=π2k-2A2.