探索三角形全等的條件(1)的教學設計與思考

◎覃忠新

(廣東省清遠市連山民族中學， 廣東 清遠 513200)

【課題】

探索三角形全等的條件(第一課時)(北師大版七年級數學下冊).

【教材簡析】

本課是北師大版七年級數學下冊第三章《三角形》的第三節.三角形全等是證明線段和角相等經常使用的一種方法，是學習平面幾何的重要知識點，是對學生進行思維和推理能力訓練的關鍵時期，是幫助學生建立科學、合理認知結構的出發點，是發展學生邏輯思維能力的有效途徑.因此，教師要讓學生熟練地應用相關的符號語言和表達方式，能使用三角形全等解決問題，提高他們的思維能力，培養他們運用數學語言簡潔地表達自己的觀點和思想，從而為今后的數學學習奠定良好的基礎.

【教學目標】

1.本課旨在使學生理解三角形全等的“邊邊邊”條件，在掌握了三角形全等的知識后，學習初步使用，并通過生活中的實例闡明三角形的穩定性.

2.能力任務：在學習三角形全等條件的時候，理解數學分類的概念，能有邏輯地探索、研究、表達和解決問題，逐漸提高推理能力，培養思考意識.

3.情感任務：教育學生勇于探索的研究精神，感受數學在生活中的魅力，提高學生對于數學學習的積極性.

【教學重難點】

教學重點：理解三角形全等的“邊邊邊”條件.

教學難點：探索與研究三角形全等的條件.

【學情分析】

七年級學生對三角形已具有初步的認識，對身邊的事物已具備一定的觀察和分析能力，但他們的抽象思維能力和空間想象能力還處于初級階段.針對這一現狀，本課采用直觀感知、多媒體演示、實際操作等相結合的方式，結合七年級學生好奇心重、表現欲強的年齡特征，設計三邊對應相等的條件判定兩個三角形全等的探索過程.教師在課堂教學過程中應注重培養學生觀察、想象、思考的能力，并將討論、歸納等數學思維活動貫穿整節課.

【教學過程】

一、創設情境，啟發思維

1.運用動畫展示兩個全等三角形重合的情境

設計動畫演示：設計兩個大小、形狀完全相同的三角形從不重合到重合的過程，讓學生重溫三角形全等的有關概念，明確其對應頂點、對應邊、對應角完全重合的特征，為本節課探索三角形全等條件奠定基礎.

2.提出問題

(1)什么是全等三角形？

(2)你能再畫一個和它全等的三角形嗎？

(3)兩個三角形全等需要什么條件？需要幾個與邊或角有關的條件呢？

【設計意圖】利用動畫效果引入新課，吸引學生的注意力，從而調動學生的興趣，激發學生的學習積極性，讓他們體驗如何在數學模型中解決實際問題，然后向學生提出問題，從而發現新的知識，讓他們充分發揮自我意識.

二、實驗探究，獲取新知

1.若只給一個條件(一條邊或一個角相等)，讓你畫三角形，你們畫出的一定是全等三角形嗎？

借助多媒體讓學生觀察，假如只提供一個條件(一條邊或一個角相等)畫三角形，不可以確保繪制出的三角形一定全等.

2.若給兩個條件畫三角形，對于給定的兩個條件，有多少種可能的情況？(兩條邊、兩個角、一條邊和一個角)分別按下面的條件畫三角形，并將畫出的三角形和相鄰的同學進行比較，所畫的兩個三角形全等嗎？

(1) 三角形的兩條邊分別為4 cm，6 cm.

(2) 三角形的兩個內角依次是30°和 50°.

(3) 三角形的一個內角為30°，一條邊為3 cm.

學生畫給出兩個條件的三角形，并與同桌對比、討論、交流后，得出初步結論，這時教師可運用多媒體的動畫演示讓學生明確，給出一個條件或兩個條件都不能保證所畫出的三角形全等.

【設計目標】學生通過繪制、研究、想象、比較、推理、探討、溝通得出結論，激活了思維，感受了反例的作用，同時提高了團隊精神，提高了動手操作、小組合作和分析歸納的能力，以及解決實際問題的能力.

3.如果畫一個三角形有三個條件，你能說出有哪幾種可能的情況嗎？接下來，我們先來研究已知三角、三邊相等的兩種情況.

(1)任意畫一個△ABC，用尺規作△A1B1C1，使∠A1=∠A,∠B1=∠B，∠C1=∠C，并把△A1B1C1剪下，試比較△A1B1C1與△ABC是否全等，并與同桌進行交流、討論，你能得出什么結論？

學生通過實際操作易得出：三個角都相等的兩個三角形不一定能完全重合，所以三個角都相等的兩個三角形不一定全等.

(2)任意畫一個△ABC，用尺規作△A1B1C1，使A1B1=AB,B1C1=BC，A1C1=AC，并把△A1B1C1剪下，試比較△A1B1C1與△ABC是否全等,并與同桌進行交流、討論，你能得出什么結論？

學生交流討論得出結論后，教師應給予肯定，并明確三角形全等的條件之一：三條邊都相等的兩個三角形是全等的，也就是“邊邊邊”或“SSS”定理.

4.引導學生用數學符號表示出來

用數學符號表示：

在△ABC和△A1B1C1中，

∵AB=A1B1,BC=B1C1,AC=A1C1，

∴△ABC≌△A1B1C1(SSS).

【設計意圖】讓學生運用已經掌握的尺規作圖有關的知識繪制三角形，通過根據特殊的條件作三角形并進行對比的活動主動探索、歸納三角形全等的條件，發現并掌握三邊對應相等的兩個三角形全等，培養動手能力，并逐步形成主動探索、勇于實踐、善于發現以及合作交流的意識，形成數學的感性認知.

三、知識應用，體驗成功

1.例題分析

例如圖2，當AB=CD，BC=DA時，你能說明△ABC與△CDA全等嗎？并說明理由.

學生觀察分析后，教師針對學生的實際，可以引導學困生找出公共邊，用“SSS”得到△ABC與△CDA全等.

注意：由于頂點A與頂點C是對應頂點，因此，公共邊應寫成AC=CA.

2.對應練習

(1)如圖3，已知AB=AD，BC=DC，你能說明△ABC與△ADC全等嗎？并說明理由.

教師引導學生找出公共邊AC，再用 “SSS”得到△ABC與△ADC全等.

(2)如圖4，已知D，F為線段BC上的兩點，且AB=EC，AF=ED，BD=CF,你能說明△ABF與△ECD全等嗎？并進行證明.

教師引導學生利用“公共邊”找到隱含的條件：BD+DF=CF+FD，即BF=CD，再用“SSS”得到△ABF≌△ECD.

(3)工人師傅常用角尺(∠ACB)平分一個任意角，具體操作如下：如圖5，∠MON是一個任意角，在邊OM,ON上分別取OA=OB，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與A,B重合，過角尺頂點C的射線OC即是∠MON的平分線.這種做法是利用了全等三角形對應角相等的性質，你能說出圖中判斷三角形全等的依據是什么嗎？

教師引導學生分析，由圖可知，CA=CB,又OA=OB,OC=OC,再用“SSS”可得△OAC≌△OBC.

【設計意圖】設計有層次的練習題，旨在引導學生掌握三角形全等的“邊邊邊”條件的應用，使優秀生有機會進行嚴謹的思維，更有條理、更精確地解決問題，學困生也有鍛煉的機會，充分發揮他們的主動性，讓不同的學生得到不同的發展，在學習中體會快樂.

四、聯系生活，形成新知

1.讓學生觀察生活中三組能體現運用三角形穩定性的圖片(多媒體平臺演示)，并提出問題：圖片中高塔鐵架、自車架等為什么做成三角形的樣式呢？

2.讓學生實際操作教具，感受三角形的穩定性，并嘗試歸納結論.

把用三根木條釘成的三角形框架和用四根木條釘成的框架相比較，歸納得出三角形具有穩定性.

3.生活中的三角形應用

(1)大家知道為什么我們現實中看到的高樓大廈那么高卻很穩定嗎？這里也包含“三角形”的功勞.設計師在設計房子時會利用三角形具有穩定性的原理，考慮怎么把三角形運用到建筑中，保持建筑的穩定性.

(2)除了高樓大廈，一些民房的建設也利用了三角形具有穩定性的原理.如果你仔細觀察，就會發現很多地方都有三角形，不但穩固，也很方便.

(3)還有大家在學校上課使用的課桌，也會使用到三角形，從而讓我們的桌子更加穩定，便于同學們學習.有的同學還有可以調整角度的書桌，里面也包含了三角形的原理.所以，在我們的生活中，三角形處處可見，它對我們的生活產生了重要影響.

【設計目標】讓學生從數學的角度感受生活，用數學知識去分析生活現象，運用數學知識解答現實問題，讓學生感受數學在生活中的巨大魅力.

五、歸納小結，反思提高

說說你這節課有什么收獲.

1.兩個三角形全等的條件

三條邊都相等的兩個三角形是全等的，也就是“邊邊邊”或“SSS”定理.

2.三角形具有穩定性

【設計目標】以生動活潑的形式讓學生開展歸納小結活動，使他們感到參與數學活動能輕松愉快地學到富有趣味性的知識，同時讓學生分享自己探索三角形全等的成果，教師及時點撥糾正，予以引導和總結，并鼓勵學生大膽發言，從而突出本節課知識的重點、難點，讓學生的思維得到發展，語言表達能力得到提高，養成反思的良好習慣，進而使得所學知識由感性轉為理性.

六、課外作業，鞏固提高

1.教材習題：如圖6，儀器ABCD可以用來平分一個角，其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的點A與∠PRQ的頂點R重合，調整AB和AD，使它們落在角的兩邊上，沿AC畫一條射線AE,AE就是∠PRQ的平分線.你能說明其中的道理嗎？

小明的思考過程如下：

在△ABC和△ADC中,因為AB=AD,BC=DC,AC=AC,

所以△ABC≌△ADC,所以∠BAC=∠DAC，

即∠QRE=∠PRE,所以AE就是∠PRQ的平分線.

你能說出每一步的理由嗎？

2.為了使得四邊形的門框更加堅固，你有幾種使用木棍的方法？木棍的最少數量是多少？

3.選做題：已知，如圖7，當AB=CD，BC=DA時，你能說明AB與CD的位置關系嗎？

【設計意圖】課外作業的設計是根據學生的基礎、結合他們的認知能力差異設計的，對于優秀生，可以讓他們有更多的選擇性，有更深入的思考和解決問題的能力訓練；對于學困生，只需要完成基礎知識的練習即可.教師關注不同學生的個性和興趣，能使學生得到不同的發展，讓各層次的學生均有所得，更好地發展學生的思維能力.

【教學反思】筆者以創新的“探索三角形全等的條件(1)”設計，體現了從特殊到一般的分類方法的數學思想，為學生從多角度思考問題提供了素材,為培養學生的思維能力提供了良好的途徑.教師在進行教學的時候，首先要注重基礎知識的生成過程，積極組織學生探索知識的產生原因，讓學生體驗數學思想方法的運用，突出從特殊到一般的數學思想.再次，在課堂教學中，教師應以多媒體的演示作為引導學生探索三角形全等的切入點，增強探究的趣味性，并在學生已有知識的基礎上，利用尺規作圖的實際操作進行三角形全等條件的比較分析、討論歸納等活動，提高學生的數學推理能力.在實際操作過程中，教師要以生為本，充分體現學生的主體性地位；針對學生出現的問題要及時進行糾正，從而更好地掌握學情，查缺補漏；還要面對全體學生，讓所有學生體驗知識的發生過程，領悟構建三角形全等條件的方法；重視學生自主性的課堂小結，讓學生在歸納和構建活動中得到思維的發展.