淺談習(xí)題課如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)
——以高三一輪復(fù)習(xí)“圓錐曲線定義再探”為例

◎陳麗洪

(福建省福清第三中學(xué)，福建 福州 350315)

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要是指培養(yǎng)學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握中形成一種適合于終身發(fā)展需要而必備的綜合能力和關(guān)鍵品格.在高中數(shù)學(xué)習(xí)題課中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生積極地開展數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練，能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效的梳理和鞏固，促使學(xué)生在當(dāng)前教育環(huán)境下獲得全面發(fā)展.

一、高中數(shù)學(xué)習(xí)題課堂教與學(xué)研究的現(xiàn)狀分析

從當(dāng)前高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的現(xiàn)狀來(lái)看，高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的不足主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

(1)在具體課堂開展過(guò)程中，課堂進(jìn)程通常由教師把握，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中較為被動(dòng)，難以有效參與到知識(shí)的學(xué)習(xí)及思考當(dāng)中，影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解.教師對(duì)課堂的主導(dǎo)讓學(xué)生難以暴露問(wèn)題，影響了教師對(duì)學(xué)生課堂反饋的掌握，無(wú)法及時(shí)調(diào)整課堂節(jié)奏.

(2)教師對(duì)習(xí)題課的教學(xué)缺乏有效的設(shè)計(jì)，主要還是就題解題，按照練習(xí)題目的順序或者按照知識(shí)點(diǎn)歸類進(jìn)行習(xí)題講解，因而導(dǎo)致習(xí)題課的教學(xué)方式比較單一，學(xué)生對(duì)于習(xí)題課的興致不高，影響了習(xí)題課教學(xué)質(zhì)量的提升.

(3)在習(xí)題課中，學(xué)生只是機(jī)械地跟著教師的思路，未對(duì)題目進(jìn)行深度反思，不能更加深刻地掌握題目，無(wú)法做到舉一反三，導(dǎo)致了在自主解題的時(shí)候出現(xiàn)題目熟悉但無(wú)從下手的情況，限制了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

(4)在習(xí)題課中，教師因缺乏對(duì)整體學(xué)生認(rèn)知情況的關(guān)注，過(guò)分關(guān)注學(xué)生是否跟隨自身節(jié)奏開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，使得教學(xué)時(shí)以偏概全，課堂受眾面窄，課堂形成假熱鬧現(xiàn)象，忽視了那些“湊熱鬧”的學(xué)生的發(fā)展.

基于高中數(shù)學(xué)習(xí)題課存在的這些問(wèn)題，筆者認(rèn)為針對(duì)習(xí)題課有效教學(xué)的探究刻不容緩，以下談幾點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí).

二、基于習(xí)題課教學(xué)視角下培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效對(duì)策分析

高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的要素是把握習(xí)題課的教學(xué)特點(diǎn)和核心內(nèi)容，對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的引導(dǎo)，使得學(xué)生能夠積極、主動(dòng)地投入習(xí)題課的學(xué)習(xí)和思考當(dāng)中，以提升數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)效果和質(zhì)量，發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生更加全面的發(fā)展.在一堂數(shù)學(xué)習(xí)題課中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)時(shí)，應(yīng)注重從以下幾個(gè)方面進(jìn)行把握.

(一)把握學(xué)生認(rèn)知水平，對(duì)習(xí)題課進(jìn)行有效的設(shè)計(jì)

無(wú)論何種課型，教師在課前都應(yīng)該對(duì)課堂做好有效的設(shè)計(jì)，如此才能收到事半功倍的教學(xué)效果.要做到對(duì)習(xí)題課的有效設(shè)計(jì)，在選題時(shí)，教師應(yīng)把握學(xué)生的學(xué)情，遵循基礎(chǔ)性、分層性、探究性、創(chuàng)新性、趣味性等原則，選擇合適的例題，而不是單純地選擇相同類型的問(wèn)題；在針對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，教師還需要進(jìn)一步結(jié)合學(xué)生思維能力的發(fā)展，從學(xué)生的視角出發(fā)，針對(duì)問(wèn)題引導(dǎo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，在提問(wèn)環(huán)節(jié)要注意提出的問(wèn)題應(yīng)該具有引導(dǎo)性，且層層遞進(jìn)，使課堂結(jié)構(gòu)更加完整；在針對(duì)課堂具體內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，教師不僅要考慮自身所處地位、具體教學(xué)重點(diǎn)，還應(yīng)該設(shè)計(jì)相關(guān)環(huán)節(jié)進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生在課堂活動(dòng)中收獲學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，使每個(gè)學(xué)生都能在自身基礎(chǔ)上有所提升，建立學(xué)習(xí)信心.總之，在進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)時(shí)，教師應(yīng)立足于讓學(xué)生怎么學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在具體學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得學(xué)習(xí)感悟，并從感悟之中體會(huì)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，這也是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的關(guān)鍵方式.

(二)突出邏輯推理能力培養(yǎng)，為學(xué)生解題打下基礎(chǔ)

邏輯推理能力是數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本能力.因此，高中數(shù)學(xué)習(xí)題課堂教學(xué)需要教師更加注重對(duì)學(xué)生邏輯推理方法和思維能力的訓(xùn)練，為學(xué)生解題打下良好的基礎(chǔ)，促進(jìn)其核心素養(yǎng)的培養(yǎng).基于此，在具體的習(xí)題訓(xùn)練過(guò)程中，教師應(yīng)進(jìn)一步關(guān)注變化性或創(chuàng)新性較強(qiáng)的題目類型，針對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力進(jìn)行培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的思辨思維.

教師通過(guò)收集、統(tǒng)計(jì)本班學(xué)生的求解方法，得到三種解法.

解法一：設(shè)雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，|F1F2|=2c(c>0).

可求得|PB|=|OP|=|OB|=2c.

可求得|PB|=|OP|=|OB|=2c.

可求得|PB|=|OP|=|OB|=2c，則∠PBO=60°.

展示解法后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三種解題方法的好壞進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)相關(guān)題目進(jìn)行進(jìn)一步思考，幫助學(xué)生建立自身的邏輯推理能力.

問(wèn)：得到PF2⊥x軸后，三種解法都用到了一個(gè)什么條件？

答：P是雙曲線上的點(diǎn).

問(wèn)：三種方法分別是從什么角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化的？

答：解法一是從雙曲線的具體定義角度進(jìn)行考慮的，解法二是從雙曲線方程角度進(jìn)行考慮的，解法三是從雙曲線通徑角度進(jìn)行考慮的.

問(wèn)：三種解法分別要經(jīng)歷怎樣的運(yùn)算？

答：解法一只需解關(guān)于e的一次方程，而解法二與解法三分別需要求解關(guān)于e的四次方程與二次方程.

至此，哪種方法最好已水落石出.由此可見，教師在習(xí)題課中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力應(yīng)注重對(duì)多種解法的呈現(xiàn)與比較，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，從而再遇到相關(guān)題目的時(shí)候可以更加有的放矢.長(zhǎng)此以往，學(xué)生的邏輯推理能力將達(dá)到質(zhì)的飛躍.

學(xué)生自主完成，并展示.

思路展示：設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為F′，連接MF′，

從雙曲線定義出發(fā)，可得|MF′|-|MF|=2a，

師生總結(jié)：圓錐曲線的本質(zhì)即定義，題目中涉及點(diǎn)在曲線上，應(yīng)該首先抓住定義，構(gòu)建焦點(diǎn)三角形模型求解.

【設(shè)計(jì)意圖】有了課前自測(cè)三種解題方法的展示鋪墊，學(xué)生能快速地選擇最佳的方法解答此題，進(jìn)一步體會(huì)圓錐曲線定義的本質(zhì)，達(dá)到學(xué)以致用的目的.這不僅培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，也提高了習(xí)題課的效率，提升了學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).

(三)開展合作探究討論學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力

在習(xí)題課教學(xué)中，如何使不同水平的學(xué)生都能夠進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)習(xí)題的解題方法是教師需要認(rèn)真思考的.故教師在習(xí)題課中要不斷地強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)解題意識(shí)，并采取科學(xué)、合理的方式劃分學(xué)習(xí)小組，形成有助于學(xué)生學(xué)習(xí)的氛圍.這一過(guò)程中，教師應(yīng)聯(lián)系學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)層次，將不同層次的學(xué)生進(jìn)行穿插安排，確保每一個(gè)學(xué)習(xí)小組都具備合作探究學(xué)習(xí)的能力.之后，在學(xué)習(xí)程度較好學(xué)生的帶領(lǐng)下，中等學(xué)習(xí)程度學(xué)生負(fù)責(zé)協(xié)調(diào)，使學(xué)習(xí)程度較差的學(xué)生也能有效參與到合作學(xué)習(xí)中，掌握數(shù)學(xué)習(xí)題的解題方法，使班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力得到全面提升，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo).

回歸課本(選擇性必修第一冊(cè)P108例3)

問(wèn)：你能否就上面例題進(jìn)行一次有意義的探索？

問(wèn)：同學(xué)們能否根據(jù)所求方程說(shuō)明點(diǎn)M的軌跡？

學(xué)生：是一個(gè)橢圓.

問(wèn)：能否具體一點(diǎn)？

追問(wèn)：條件中的A，B與橢圓有什么關(guān)系？

學(xué)生：動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，A，B兩點(diǎn)恰好為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn).

問(wèn)：那么兩直線斜率之積與橢圓的相關(guān)量有關(guān)系嗎？

追問(wèn)：你能否對(duì)所得結(jié)論做進(jìn)一步拓展？

問(wèn)：能否拓展到雙曲線？

提煉：學(xué)生共同總結(jié)得到橢圓與雙曲線的第三定義，對(duì)橢圓與雙曲線有了更深刻的認(rèn)識(shí).

問(wèn)：若將端點(diǎn)A,B改為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，那么上述結(jié)論是否仍舊成立？

學(xué)生小組探究過(guò)程：

即上述結(jié)論仍舊成立.

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧、總結(jié)探究思路：從特殊到一般.學(xué)生在這一過(guò)程中合作探究,共同收獲了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，受用終身.

課后思考：當(dāng)橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，仍然有一樣的結(jié)論嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】在整個(gè)探究過(guò)程中，學(xué)習(xí)程度好的學(xué)生能更積極地思考并提供有效思路，而學(xué)習(xí)程度稍差的學(xué)生也能主動(dòng)參與計(jì)算求解.在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，小組共同進(jìn)行探究，學(xué)習(xí)程度好的學(xué)生帶動(dòng)其他學(xué)生對(duì)結(jié)論做進(jìn)一步的推廣，這不但激發(fā)了小組學(xué)生的研究和探索熱情，還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)學(xué)習(xí)成就感.

(四)有效利用分層教學(xué)方法，提升數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)效果

在針對(duì)高中知識(shí)進(jìn)行具體教學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)是重點(diǎn).在具體教學(xué)過(guò)程中，教師可以以學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)為出發(fā)點(diǎn)，為學(xué)生布置更適合的作業(yè)及練習(xí)形式，在教學(xué)過(guò)程中立足實(shí)際，從習(xí)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)做不同層次的學(xué)習(xí)及理解，促進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)及內(nèi)化，從而提升數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)效果.鑒于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧和能力參差不齊，教師要充分尊重學(xué)生的個(gè)體特點(diǎn)，堅(jiān)持因材施教原則，對(duì)學(xué)生做好分層指導(dǎo)，以滿足高中生多樣化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求，加強(qiáng)習(xí)題教學(xué)的針對(duì)性和有效度，從解題技巧方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練.

作出符合題意的圖像：

問(wèn)：根據(jù)上述推廣可以得到什么結(jié)論？

問(wèn)：題設(shè)中角的條件能否轉(zhuǎn)化成直線的斜率？

問(wèn)：那么直線QN的斜率又該如何表示？

學(xué)生合作討論并發(fā)表見解.

生：延長(zhǎng)NQ交x軸于點(diǎn)H，畫出直線QN的傾斜角α，由圖可知，α是△HNP的外角，

由∠MNQ=30°，∠HPN=120°，可得α=150°，

解題總結(jié)：上述解法首先利用圓錐曲線第三定義的推廣結(jié)論確定求解目標(biāo)，接著在目標(biāo)的引領(lǐng)下，將題設(shè)中角的條件轉(zhuǎn)化為直線傾斜角，利用直線傾斜角與斜率的聯(lián)系表示出斜率，由此解決問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】教師對(duì)學(xué)生做出分層指導(dǎo).例如，上述題目中涉及的應(yīng)用，教師可以將其劃分到基礎(chǔ)題型之中，要求全部學(xué)生完成，從而實(shí)現(xiàn)夯實(shí)基礎(chǔ)、熟練結(jié)論的目的.應(yīng)用2雖為一道填空題，但比較靈活，在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)習(xí)程度較好的學(xué)生能夠?qū)l件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并解答，而學(xué)習(xí)程度好的學(xué)生對(duì)題目的解答可以帶動(dòng)其他學(xué)生對(duì)題目有進(jìn)一步的理解，起到幫扶作用.在這個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，各層次學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)都得到了不同程度的發(fā)展，使數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)效果及教學(xué)質(zhì)量得到有效提升，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(五)調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)力，形成學(xué)生自我發(fā)展能力

教師的課堂活動(dòng)本質(zhì)上就是為了學(xué)生的學(xué)習(xí)，而針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效率進(jìn)行進(jìn)一步提升的關(guān)鍵在于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生更主動(dòng)地投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中.學(xué)生的學(xué)習(xí)主要靠的不是老師、家長(zhǎng)，外在的驅(qū)動(dòng)力只能維持一時(shí)的學(xué)習(xí)熱情.學(xué)生若想保持長(zhǎng)久的學(xué)習(xí)興趣，關(guān)鍵在于內(nèi)生動(dòng)力的發(fā)掘.若學(xué)生可以充分調(diào)動(dòng)自身學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，那么學(xué)習(xí)效率自然會(huì)不斷提高.

首先，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生樹立短期目標(biāo).在明確目標(biāo)的指引下，學(xué)生可以在學(xué)習(xí)過(guò)程中擁有更為明確的學(xué)習(xí)規(guī)劃，因此，才可以在枯燥的學(xué)習(xí)生活中體會(huì)到學(xué)習(xí)的愉悅感，并收獲學(xué)習(xí)成就感，這也有助于其在之后的學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠迎難而上.教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自身的情況樹立通過(guò)努力可以實(shí)現(xiàn)的短期目標(biāo)，從而使不同層次的學(xué)生都能樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)信心，看見成功的希望，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，形成自我發(fā)展的能力.

其次，教師在課堂上要注意評(píng)價(jià)技巧.學(xué)生在課堂上回答問(wèn)題過(guò)后，往往希望能夠得到任課老師的一些贊揚(yáng)與肯定.因此，教師若想進(jìn)一步活躍課堂整體學(xué)習(xí)氛圍，就應(yīng)該注重課堂評(píng)價(jià)技巧的使用，不要僅憑學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，而應(yīng)以持續(xù)發(fā)展的角度認(rèn)真對(duì)待每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，除了從學(xué)生的知識(shí)能力角度進(jìn)行表?yè)P(yáng)，也可以對(duì)學(xué)生回答問(wèn)題的積極程度、行為舉止進(jìn)行評(píng)價(jià)，挖掘?qū)W生的閃光點(diǎn)，進(jìn)一步提高其學(xué)習(xí)積極性.

總之，在組織開展高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)該充分立足于每一個(gè)學(xué)生的實(shí)際和學(xué)情，以培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)為核心主線，倡導(dǎo)一題多解、一問(wèn)多變，采用分層式教學(xué)的方法，引導(dǎo)每一個(gè)學(xué)生積極、持續(xù)不斷地投入較高水平的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，強(qiáng)化每一個(gè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的基本掌握及深刻理解，并從學(xué)習(xí)方式入手，幫助學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)思考方式，有效提高課堂學(xué)習(xí)效率.