基于核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)不良問題教學(xué)探究
——以“解三角形問題”為例

◎張夢婷

(福建省福清第三中學(xué)，福建 福州 350315)

隨著新課改的推進(jìn)，高考內(nèi)容改革從“考知識(shí)”“考能力”轉(zhuǎn)向“考素養(yǎng)”，從“解決題目”轉(zhuǎn)向“解決問題”.2020年，高考試卷中第一次出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良的題目.這種題目本身增加了學(xué)習(xí)過程的情境性，且在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)不僅出現(xiàn)在解題過程中，還包含對問題的思考，對學(xué)生的素養(yǎng)要求不斷提高.因此，教師在針對數(shù)學(xué)教學(xué)模式進(jìn)行改革時(shí)，不能局限于教會(huì)學(xué)生用公式解決問題，更重要的是應(yīng)該創(chuàng)造合適的情境環(huán)境，讓學(xué)生體驗(yàn)問題解決的過程，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，達(dá)到融會(huì)貫通的目的，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成.本文筆者以“解三角形問題”為例進(jìn)行了結(jié)構(gòu)不良問題的教學(xué)探究.

一、結(jié)構(gòu)不良問題對教與學(xué)帶來的挑戰(zhàn)

對于算子、初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)這三個(gè)方面至少有一項(xiàng)不能確定的題目，便可以將其稱為結(jié)構(gòu)不良問題.在以往的數(shù)學(xué)題目中，很少出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良的題目，沒有缺少推理運(yùn)算的各種條件，因此學(xué)生解決這類問題只需根據(jù)自己已經(jīng)擁有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)做出合適選擇，然后按照解題的步驟得到準(zhǔn)確的答案即可.然而結(jié)構(gòu)不良問題中條件缺失或冗余會(huì)讓學(xué)生手足無措，大部分學(xué)生通過猜想去選擇條件，思考方式仍然是單向思考，并沒有真正去分析題目.相比較而言，結(jié)構(gòu)不良的問題對學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力、解決問題能力有了更高的要求.

(一)結(jié)構(gòu)不良問題對傳統(tǒng)課堂的挑戰(zhàn)

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生遇到的都是結(jié)構(gòu)良好的問題，老師所教授的知識(shí)也通常是經(jīng)過簡化之后的結(jié)構(gòu)性知識(shí)，這樣一來，學(xué)生解題過程中涉及的問題通常僅需要對所學(xué)知識(shí)及相關(guān)概念進(jìn)行應(yīng)用即可解決.學(xué)生的學(xué)習(xí)其實(shí)本質(zhì)上就是知識(shí)的獲得，假如學(xué)生很少接觸結(jié)構(gòu)不良的問題，那么他們吸收的知識(shí)只能變成惰性知識(shí).

在教學(xué)中，教師要改變教學(xué)常態(tài)，不再單純地進(jìn)行知識(shí)講解和習(xí)題練習(xí)，而要關(guān)注學(xué)生的思維方式.因此，教師在做教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候不僅要考慮教授的內(nèi)容，更要考慮用多種形式將問題呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生由淺入深地體驗(yàn)不同的考查方式，從而提高學(xué)生解決問題的能力.

(二)結(jié)構(gòu)不良問題對學(xué)生的挑戰(zhàn)

1.結(jié)構(gòu)不良問題的解決需要學(xué)生不斷對題目條件進(jìn)行深度分析、合情推理，還需要學(xué)生在解題過程中不斷進(jìn)行自我反思，弄清題目問題、已知條件和解題思路之間的關(guān)系，然后從中快速地選擇合適的條件或者構(gòu)造合適的條件進(jìn)行條件補(bǔ)充，從而解決問題.

2.結(jié)構(gòu)不良問題的解決不是公式性的解題模式，它對學(xué)生靈活應(yīng)用公式、公理的要求更高，有利于使學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)框架.同時(shí)，在解題過程中，學(xué)生需要運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)、結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)判斷解題方法，這充分體現(xiàn)了邏輯推理能力的重要性.

二、結(jié)構(gòu)不良問題習(xí)題課教學(xué)初探

筆者在高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中設(shè)計(jì)了解三角形結(jié)構(gòu)不良問題的專題課，希望通過課堂訓(xùn)練，使學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)有更扎實(shí)的掌握，同時(shí)提升學(xué)生對于問題的思考和解決能力，從而提升數(shù)學(xué)能力.

(一)激活知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，解決條件冗余的結(jié)構(gòu)不良問題

解決條件冗余的結(jié)構(gòu)不良問題需要對題目中給出的條件進(jìn)行分析，推導(dǎo)出矛盾的條件，從而選擇正確的條件解決問題.這就需要學(xué)生對知識(shí)有整體的把握，能夠敏感地感知條件之間的關(guān)系，從而對條件進(jìn)行深度分析，再根據(jù)推導(dǎo)出來的結(jié)果進(jìn)行反思比較，得出正確的解題思路.因此，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)框架能夠提高學(xué)生解決條件冗余的結(jié)構(gòu)不良問題的能力.

(1)這三個(gè)條件中有兩個(gè)是正確的，請選出正確的條件，并說明理由；

(2)求邊長c.

思路尋找：(在問題情境下，教師通過問題串的模式進(jìn)行教學(xué))

問題1：題目中已知的條件可以推出什么？

問題2：接下來該怎么判斷呢？

問題3：從③出發(fā)，可以推出什么條件，能否確定①②哪個(gè)條件正確？

【設(shè)計(jì)意圖】選擇這道題作為課堂的開始，是讓學(xué)生由淺入深地進(jìn)行問題解決，并通過解決條件冗余的問題構(gòu)建解三角形的知識(shí)框架.本題讓學(xué)生感受到此類條件冗余的題型可以通過直觀感知尋找錯(cuò)誤的條件，為鞏固訓(xùn)練奠定了基礎(chǔ)，也提高了學(xué)生的思辨能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

鞏固訓(xùn)練1：已知△ABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：

(1)選出正確的三個(gè)條件，并說明理由；

(2)求△ABC的面積.

思路探求：

問題1：認(rèn)真觀察四個(gè)條件，最容易發(fā)現(xiàn)哪幾個(gè)條件相互矛盾？

大角對大邊，由條件①可知A為鈍角，由條件③④可知a

問題2：由②正確，能否排除掉錯(cuò)誤的條件？

第(2)小題由學(xué)生自主完成，并拍照展示.

問題3：總結(jié)如何判斷滿足條件的三角形是否存在？

生1：三角形的內(nèi)角和是否會(huì)超過180°.

生2：三角形的邊角關(guān)系是否滿足大角對大邊.

生3：三角形的邊長之間是否滿足兩邊之和大于第三邊(通常我們檢驗(yàn)兩小邊的和是否超過最大邊).

教師總結(jié)：解三角形本質(zhì)上就是“知三求三”，只要已知其中的三個(gè)條件，利用正余弦定理就可以將三角形求解出來，遇到判斷是否存在三角形的問題，即使求出邊角關(guān)系也需要檢驗(yàn)是否滿足三角形的基本要求，還要特別關(guān)注是否與題目所給的已知條件矛盾.

【設(shè)計(jì)意圖】這道題除了考查三角形的相關(guān)性質(zhì)，還考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.筆者希望通過這道題能夠更好地構(gòu)建學(xué)生的知識(shí)框架，讓學(xué)生對解三角形的方法有更加全面的認(rèn)識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思辨思維能力，為后面攻克條件缺失的結(jié)構(gòu)不良問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

(二)突出學(xué)生主體，攻克條件缺失的結(jié)構(gòu)不良問題

條件缺失的結(jié)構(gòu)不良問題增加了題目條件的選擇性，對學(xué)生靈活應(yīng)用公式解決問題的能力、快速選擇合適的解題策略的能力有更高的要求.因此，教師在課堂中要突出學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生自己去感知不同條件對于解題思路的影響，提高學(xué)生快速選擇合適條件的能力.

思路探求：

問題1：題目中已知的條件可以推出什么？

處理方式：教師讓學(xué)生自主選擇一個(gè)條件進(jìn)行填充，判斷是否存在這樣的三角形.

選擇條件③，

問題2：比較這三種方案，你有什么感受？

生1：如果能夠直接判斷三角形不存在，那就可以減少很多麻煩，不需要那么多的計(jì)算，但是要選到合適的條件還是有點(diǎn)難.

生2：老師剛才說解三角形就是知三求三，如果我知道三角形的三個(gè)關(guān)于邊的式子，用三個(gè)方程就可以解出三個(gè)變量，其實(shí)解三角形的問題就是解方程組的過程，但是這種方法要求我們把條件化成邊，比如條件①和條件③.

教師總結(jié)：本題其實(shí)選擇哪個(gè)條件并沒有什么優(yōu)劣，在考試中只要找到適合自己、能夠快速判斷的條件就是好的條件，可以抓住三條邊長的關(guān)系列方程組求解，也可以直接尋找角度關(guān)系，尋找邊角的關(guān)系.但是重要的是對于是否存在的問題一定要反復(fù)審查已知條件和推出來的條件之間有沒有矛盾之處，即使求出最后的結(jié)果，也要檢驗(yàn)三角形的存在性.

【設(shè)計(jì)意圖】 這道高考題能讓學(xué)生感知條件缺失結(jié)構(gòu)不良問題的處理方式，以學(xué)生為主體，引導(dǎo)其對題目給出的已知條件進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)分析，推出三角形中的已知元素和相關(guān)式子，然后審查自己的解題步驟，找到最合適的缺失條件進(jìn)行補(bǔ)充，通過自主探究、自我分析、自我總結(jié)快速鎖定最適合自己的解題方案.

問題1：本題已知兩個(gè)邊長關(guān)系，可以補(bǔ)充什么條件進(jìn)行解三角形？

可以再尋找一個(gè)邊長關(guān)系，選擇條件①，用正弦定理轉(zhuǎn)換成邊長關(guān)系a2-b2=c2-bc，三個(gè)未知量三個(gè)方程，用解方程的方式可解出所有的邊長.

問題2： 除了尋找邊長關(guān)系，還能怎么處理？

教師總結(jié)：遇到兩邊的問題，若能再添加一個(gè)邊長條件就可以聯(lián)立方程組解出邊長關(guān)系，如果能夠添加其夾角就可以利用余弦定理找到另一個(gè)邊長關(guān)系，也能達(dá)到解決問題的目的.

【設(shè)計(jì)意圖】通過鞏固訓(xùn)練鞏固條件缺失結(jié)構(gòu)不良問題的處理方式，讓學(xué)生直觀感知條件缺失和條件冗余問題的不同，并且通過鞏固訓(xùn)練中的條件轉(zhuǎn)化形式，讓學(xué)生感受到平時(shí)接觸的條件很多時(shí)候都是利用正余弦定理進(jìn)行包裝變形的，同時(shí)為下面的環(huán)節(jié)進(jìn)行鋪墊，讓學(xué)生對自己填寫的條件有個(gè)方向，懂得把握本質(zhì)進(jìn)行“包裝”.

(三)拓展思維廣度，舉例開放的結(jié)構(gòu)不良問題

本環(huán)節(jié)對鞏固題進(jìn)行改造，讓學(xué)生對題目進(jìn)行填充，開放學(xué)生的思維，讓學(xué)生從出題者的角度感知條件從無到有的過程，在一定程度上降低了學(xué)生對結(jié)構(gòu)不良問題的畏難情緒，讓學(xué)生在面對問題的時(shí)候可以更加從容.當(dāng)然，學(xué)生通過逆向的思維方式，能夠更好地解決條件冗余或者條件缺失的結(jié)構(gòu)不良問題，鍛煉學(xué)生邏輯思維能力和解題分析能力.

思路探求：

問題1：可以如何進(jìn)行補(bǔ)充？

生1：比如b=2c，直接聯(lián)立方程解三角形.

生2：可以把條件包裝一下，變成sinB=2sinC.

生3：可以同乘以sinA，sinAsinB=2sinAsinC，變形可以得到asinB=2csinA.

生6：可以修改條件①，變?yōu)?sinA+sinB)(sinA-sinB)=(sinC-sinB)sinC.

生8：可以變成2cosA=1，再進(jìn)一步變形可以變成2ccosA=c，再進(jìn)行調(diào)整可以得到2ccosA=acosB+bcosA.

……

問題2：其實(shí)本質(zhì)上就是從哪些角度進(jìn)行補(bǔ)充？

角度一：補(bǔ)充邊長的條件進(jìn)行定量分析.

引導(dǎo)學(xué)生形成方程的意識(shí)，解三角形本質(zhì)上就是求出三角形的三條邊長，三個(gè)邊長相當(dāng)于三個(gè)未知量，因此只需要構(gòu)造三個(gè)式子即可解決問題.

角度二：補(bǔ)充角度的條件進(jìn)行定性分析.

補(bǔ)充角度信息，可以通過正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，也可以通過余弦定理轉(zhuǎn)化成邊長間的聯(lián)系.

教師總結(jié)：其實(shí)很多時(shí)候我們看到的條件就是邊角關(guān)系的“包裝”，“包裝”的手段就是正弦定理和余弦定理，所以要善于拆開“包裝”找到本質(zhì)的關(guān)系，但是重點(diǎn)還是要關(guān)注解三角形的本質(zhì)就是“知三求三”，找到三個(gè)條件后通過轉(zhuǎn)化解決問題.

【設(shè)計(jì)意圖】例3的開放題有助于學(xué)生打破常規(guī)進(jìn)行思考，學(xué)著從出題人的角度抓住解題的本質(zhì)，讓學(xué)生通過獨(dú)自探索并進(jìn)行合作解惑的過程，來達(dá)到從模仿到創(chuàng)造的過程，不僅理解了知識(shí)，掌握了技能，而且能夠從出題者的角度出發(fā)考慮出題者的思路，這對于學(xué)生思考問題和解決問題能力的提高有非常大的幫助，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提高.

三、教學(xué)反思

1.立意思想，夯實(shí)基礎(chǔ)

一輪復(fù)習(xí)中，教師一般會(huì)重視知識(shí)的總結(jié)和題型的歸納，而結(jié)構(gòu)不良問題由于題型的特殊性會(huì)使得題目比較靈活，有時(shí)候?qū)W生會(huì)因?yàn)榉磸?fù)訓(xùn)練而形成定式思維，限制了思維的發(fā)展，因此，教師在教學(xué)過程中不要單純地進(jìn)行題型方法的歸納，更需要的是進(jìn)行思想滲透，讓學(xué)生能夠在思想引領(lǐng)下觸類旁通.在教學(xué)過程中，教師要幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)框架，給學(xué)生搭建知識(shí)拓展應(yīng)用的平臺(tái)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，使其更好地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí).

2.學(xué)生參與，改變視角

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)如果只是講授知識(shí)，學(xué)生就容易忘記，也不容易變通.因此，教師在教學(xué)過程中要關(guān)注學(xué)生課堂的參與度，讓學(xué)生經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)的過程，不再單純模仿，在課堂最后，要讓學(xué)生參與題目設(shè)置和變式，轉(zhuǎn)變學(xué)生的視角，從一個(gè)命題者的角度去認(rèn)識(shí)三角形邊角條件的變化規(guī)律，幫助學(xué)生更好地解決此類問題.

總之，結(jié)構(gòu)不良問題以解三角形問題為載體相對來說比較容易，學(xué)生比較容易抓到規(guī)律進(jìn)行探究，要解決解三角形的問題，就要抓住解三角形的本質(zhì)，就是創(chuàng)設(shè)三個(gè)獨(dú)立的條件，且至少要有一個(gè)關(guān)于邊的條件.綜上所述，教師通過提高學(xué)生思考和解決問題的能力，能讓學(xué)生自己提出問題，并且能夠找到解決問題的途徑，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.在課堂中，教師要嘗試探究性教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位，在探究過程中積極交流合作，通過思維的碰撞拓展學(xué)生思維的廣度，促進(jìn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).