抓住數學本質，引發深度思考
——淺析有關“田忌賽馬中的對策問題”的教學實踐與思考

李 桃

(廣德市實驗小學教育集團西校區 安徽宣城 242200)

引言

“田忌賽馬中的對策問題”屬于“數學廣角”領域，這個領域的教學主要是通過一些較簡單的事例滲透一些重要的數學思想與方法。在教學實踐中，有的教師把這類課上成了簡單的游戲活動課，課堂活動過程形式化，熱鬧的背后實質上是學生缺乏思考、歸納，收獲甚微。筆者曾在安徽省小學數學教學專業委員會學術年會教學觀摩研討活動中執教過這節課，并且制作的微課曾獲得安徽省一等獎。2021年，筆者又將本節課濃縮精華，攝制的精品課獲評省級精品課。結合對本課的多次研究，筆者現將自己的教學思路進行整理，并與同行共研。

【課前思考】本課以田忌賽馬的故事為教學藍本，引導學生通過游戲探究、體驗對策，積累相應的活動經驗。學生通過課外閱讀已經了解這個故事，但并沒能用數學的眼光去分析故事。如何抓住數學的本質，引發學生深度思考，讓課堂更具有“數學味”，筆者設計如下教學情境。

課前游戲：逃牌游戲

游戲規則：大牌可以壓小牌，也可以選擇不壓牌，大的一方繼續出牌，先出完者獲勝。(雙方牌分別是3、10、K和7、10、大王)

若生選大牌，師就先出。師先出10，生不管怎么出牌結果都是教師贏。

師生再戰。(先出10是關鍵)

【思考】課前師生體驗“逃牌”游戲，通過“逃牌”游戲激活學生已有的生活經驗。引導學生發現游戲策略，學會思考，認識到在比賽或游戲中策略的重要性，激發學生的策略意識。

一、游戲導入，初步感知

(一)直觀演示，明確規則

1.師：想不想繼續玩撲克牌游戲？要思考怎樣在游戲中獲勝。

2.宣布游戲規則。

師：接下來的這個游戲的規則和課前游戲的規則是不一樣的，怎么玩呢？(利用多媒體出示游戲規則，見圖1)

師：紅牌和黑牌選哪種顏色的三張牌會贏？為什么？

師：猜一猜，哪方會獲勝？(學生討論)

3.出示：紅牌10、7、4，黑牌3、2、A。(見圖2)

師：如果你選黑牌，你覺得你會贏嗎？

得出結論：紅牌和黑牌雙方大小懸殊明顯，勝負分明，這樣的比賽是不公平的。

(二)變化點數，繼續感知

師：實力懸殊太大，這樣的比賽不公平，那么將牌換一換，黑牌換成9、6、3。繼續思考，黑牌有贏的可能嗎？觀察比較紅牌和黑牌的三張牌的點數，你們有什么發現？(學生得出黑牌略小的結論)

師：這樣換過后，黑牌略小，結果又會如何？你認為哪方能獲勝？說說你的理由。

【思考】以撲克牌游戲替代田忌賽馬故事情境，激活了學生已有的生活經驗。學生可以自主體驗，積累活動經驗，為后續探究、歸納做好鋪墊。

二、再次游戲，探究對策

(一)拋出問題，突破思維定式

師：有沒有其他的應對策略？有的話，一共有幾種？在這些策略中黑牌是不是一定沒有機會獲勝？(利用多媒體出示學習任務單)

同桌合作，填寫學習任務單。(見圖3)

第一局第二局第三局獲勝方紅牌1074黑牌1黑牌2黑牌3黑牌4黑牌5黑牌6

(二)分層反饋，感受有序思考

1.匯報不完整的、無序的方法。

2.匯報完事的、有序的方法。(預設從無序到有序)

生：紅牌出10，黑牌出9，后面3和6交換位置是兩種方法；紅牌出10，黑牌可以先出6，3和9交換位置也是兩種方法；紅牌出10，黑牌出3，后面6和9交換位置又是兩種方法，一共是六種方法，列式為2×3=6。

(三)感受黑牌(弱方)取勝的策略

1.初步感受策略

師：請看表格，在這么多策略中你發現了什么？(見圖4)

第一局第二局第三局獲勝方紅牌1074黑牌1963紅黑牌2936紅黑牌3693紅黑牌4639紅黑牌5396黑黑牌6369紅

師：思考一下，黑牌贏的那一次有什么高明之處？

生:用最小對最大。

師:你這拿最小敵最大，不是拿雞蛋碰石頭嗎？

生:我是要留著大牌放后面呢！

生:用黑牌中的9對紅牌中的7黑牌贏，用黑牌中的6對紅牌中的5又是黑牌贏，三局兩勝，黑牌勝。

2.感受有序思考、擇優選用思想

師：我們是怎樣發現且確定只有這一種方法才能取勝的？

預設：排列法，有序地以一張牌固定開頭……

得出方法：有序列舉。

【思考】在游戲中，引導學生體會有序思考的運用，使學生在對比、交流中初步感受取勝策略的本質特征。引導學生有序排列、列舉填表、相互對比，經歷運用數學方法分析實踐、尋求最優策略的過程，積累活動經驗。

三、多次體驗，總結取勝策略

(一)再次體驗，初步提煉

課件出示(見圖5)：

師：為什么6和9只能換成5和8，不能再換小，3卻可以換成2和1甚至再小也行？

生:黑牌最大的牌對紅牌中等的7，要比7大，所以最小是8。黑牌中等的牌要對紅牌最小的4，比4大是5，所以最小也是黑牌5，才能保證黑牌后兩局贏。

(二)提煉最優策略

師：要想黑牌在比賽中獲勝，該怎樣做？

師：最小的黑牌與最大的紅牌PK，結果肯定是輸，這是一種應對策略，這一步的目的是什么？(板書：全盤考慮)

師:那如果將黑牌換成8、5、1，你覺得黑牌能贏嗎？

師生比賽，學生從實踐中發現規律，要求教師先出牌。

師：從再次比賽中，你又有了什么新的發現？(板書：知己知彼)

【思考】為了能更好地引導學生理解比較抽象的策略方法，教師為學生搭建好探究活動的“腳手架”，讓學生全員參與探究，真正提高教學的有效性。通過不斷嘗試，學生逐漸明晰使用策略能獲勝的前提、方法、特征，教師在潛移默化中滲透了數學方法。

四、解析“田忌賽馬”，內化對策略的理解

(一)課件出示“田忌賽馬”視頻

1.引導學生思考

思考：第一次比賽，為什么田忌全都輸了？并觀看馬速對比圖(見圖6)。

2.引導學生思考

思考：田忌怎樣出馬才能贏？師生運用Flash動畫軟件進行比賽演示，再現田忌賽馬贏的場景(見圖7)。

3.總結分析

分析發現：調換出場順序以弱勝強的策略稱為“田忌賽馬”策略。

(二)比較玩牌游戲和田忌賽馬的共同點

師：回憶一下剛才的玩牌游戲與田忌賽馬的故事，其有什么共同之處？

對比分析：弱者后出，以最小對最大，以最大對中等，以中等對最小。

【思考】通過對比“田忌賽馬”和玩牌游戲，不同的比賽用的是相同的對策，引導學生從本質上認識到二者的“同”，對策略有了更高層面的理解和內化。

五、鞏固應用，拓展深化

出示巧兵布陣(課本107頁第3題)。

師：生活中也會用到這樣的對策，你有用過或聽過嗎？(學生自由舉例)

課件出示(見圖8)：

師：根據數據你了解到什么？

學生用連線法分析對陣情況。

學生展示討論結果，提出將名字用字母或數字符號代替，簡化解決問題的過程。(見圖9)

師：方法多樣，只要保證五局三勝即可。

【思考】有效利用教材資源。本題設計不僅是方法的鞏固，更體現了方法的多樣性。通過本題練習鞏固學生對“田忌賽馬”策略的掌握，使學生再次感受到策略的重要性。同時學生提出用字母或數字符號代替學生姓名，簡化解決問題的過程，說明學生具有符號意識，抽象推理能力得到提高。

六、課堂總結，延伸課外

師：通過這節課的學習，各位同學有什么收獲想和大家分享嗎？

師：生活中我們面對的問題并不是一成不變的，還有許多不同于“田忌賽馬”式的對策。當我們面對一場比賽或競爭時，我們要善于觀察、勤于思考、學會分析、講究策略，這樣才能取得最終的勝利。

拓展延伸：搶王牌游戲。

師：今天的這節課就要結束了，但我們的游戲還將繼續，老師之后還會和大家PK，你們敢不敢接受挑戰？課后和同學玩一玩，看誰能找出搶到王牌的必勝策略，老師等著你來挑戰。

課件出示(見圖10)：

【思考】到此，本節課的學習即將結束，學生在親身體驗中深刻感受到“田忌賽馬中的對策問題”，然而，生活中的對策是變化多樣的，通過拓展游戲的設計讓學生將學習引向縱深，激發學生探究的欲望。搶王牌游戲是根據課本中的內容改編的，其中的策略不盡相同，相信學生一定能在探索搶到王牌的必勝策略中提升思維，體會到學習的樂趣，以及對策思想的應用價值。

七、總結

(一)板書設計(見圖11)

(二)教學思考

1.尊重學習起點，加深體驗力度

教學之前，筆者做了前測，從前測分析結果中發現，大約90%的孩子已經知道田忌賽馬的故事，知道兩次比賽的結果，大約10%的孩子能用連線的方式表達比賽策略?？墒谴蟛糠值暮⒆邮熘适?，卻沒有從數學的角度分析和思考。如果僅僅局限于故事，忽略學生已有的生活經驗，那將是沒有數學味的數學課。因此，只有將“做”與“思”有機結合，讓全體學生參與到游戲過程中，讓學生在體驗中探究策略，將外化的“做”濃縮為內隱的“思”，這樣學生的個性才能得到發展，才能提高課堂教學的有效性。

2.精選學習素材，提高探究有效度

學習素材是師生共同研討的文本，針對這節課的教材內容筆者進行了大膽的處理。首先，對教材內容進行改造、加工，用游戲“比撲克牌的大小”代替故事“田忌賽馬”。其次，將教材中的“拍球比賽”改為“巧兵布陣”，訓練學生嚴謹、周密的思維，使其體會策略的多樣性，拓展學生對不同策略的認識。最后，為了能更好地實現學以致用的目標，將教材第108頁的“報數”游戲改為“搶王牌”游戲。這樣，整節課將玩牌游戲貫穿始終，并延伸課外。

3.落實深度學習，巧設探究坡度

學生根據生活經驗可能會找到獲勝的方法，而我們的教學不應止步于此，而是要引導學生發現其內在的本質(對策思想)。為了能更好地使學生理解比較抽象的知識，教師有必要為學生搭建好探究活動的“腳手架”，讓更多學生參與到探究中來。筆者設計了多樣化的“撲克牌比大小”游戲，讓學生在活動中體驗、感悟對策。“意外”的失敗讓學生“醒悟”，學生要求老師先出什么牌，然后采用田忌賽馬的對策，最終獲取勝利。學生有了反偵察能力，說明這節課他們不僅僅理解了“田忌賽馬”策略，而且策略意識已經深深地走進了學生的內心深處。通過層層剝筍法，學生的思維得到發展，學生善于發現、交流、提煉，在立與破中不斷完善認識，對策略的認識更為全面、立體、深入。

“數學廣角”對學生數學核心素養提升的作用不容小覷。教師要抓住數學的本質，真正落實深度學習，這樣課堂才能煥發出生命的光彩，學生才能學會用數學的眼光看待問題。