不同版本教材“雞兔同籠”教學內容的比較研究

朱學斌

(無為市教育局教研室 安徽蕪湖 238300)

“雞兔同籠”問題源自我國古代數學名著《孫子算經》卷下第31題。本文對現行不同版本教材“雞兔同籠”教學內容進行橫向比較分析，以期對一線教師教學與教材編寫有所啟示。

一、不同版本教材“雞兔同籠”內容比較

本文研究基于現行七個版本的小學數學教材：蘇教版、人教版、北師大版、北京版、西南師大版、冀教版、青島版(六三學制)。

(一)編排體系比較

表1 編排體系比較

從表1可以看出：不同版本的教材，“雞兔同籠”內容均有編排，但所在年級與板塊/欄目不盡相同。

(二)例題情境比較

表2 例題情境比較

從表2看，人教版、北師大版、北京版、冀教版、西南師大版五種版本“雞兔同籠”例題情境都是經典的“雞兔同籠”：人教版先呈現《孫子算經》雞兔同籠原題，然后化繁為簡，讓數據變小成為例題；北師大版、北京版兩個版本中“雞兔同籠”問題數據較小，冀教版中例題數據稍大；西南師大版在“你知道嗎”欄目直接引用“雞兔同籠”古題。蘇教版、青島版例題則是“雞兔同籠”的情境變式題。

(三)古題呈現比較

表3 古題呈現比較

從表3中看，有四種版本小學數學教材呈現了《孫子算經》上“雞兔同籠”古題，但具體呈現方式不同：蘇教版在章節末尾“你知道嗎”欄目中呈現；人教版直接采用古題原題引入；北師大版在解答數據簡化的“雞兔同籠”問題后再呈現“雞兔同籠”古題；青島版在正文后的自主練習中呈現“雞兔同籠”古題。另三種版本教材中沒有呈現“雞兔同籠”古題，給教師的教學設計留下了空間。

(四)解答方法比較

表4 解答方法比較

從表4看，各種版本“雞兔同籠”問題的解題思路方法各不相同。蘇教版：畫圖法(先全部坐大船，畫10只大船坐50人，再去掉多的8人)、列舉法(從大船有9只、小船有1只開始，有序列舉)、推算法(取中列表推算。假設大船和小船同樣多，再根據總人數調整)；人教版：列舉法(從8只全是雞開始，按照順序列表)、推算法(文字敘述)，在“做一做”之后的“閱讀資料”中介紹了古人的“抬腳法”；北師大版：列舉法(從1只雞、34只兔開始一一列舉；從1只雞、34只兔開始跳躍列舉；從17只雞、18只兔開始取中跳躍列舉)；北京版：畫圖法(先全部當作雞，畫8只雞)、列舉法(從7只雞、1只兔開始一一列舉，找出雞的只數、兔的只數與腿的總數之間的關系)；西南師大版：抬腳法(古書上解法)、列舉法(從1只雞、34只兔開始一一列舉)、推算法(文字敘述)，然后指出“還可以列方程求解”(但沒有具體列出方程)；冀教版：列舉法(從1只雞、21只兔開始一一列舉)、方程法(完整解答)、推算法(第一種方法假設這22只都是雞，文字敘述；第二種方法假設這22只都是兔，列算式解答)；青島版：從列舉過渡到推算法(先從24輛小汽車、0輛摩托車開始列舉，在列舉過程中發現規律過渡到推算法，在用文字敘述推算過程后，再列出綜合算式)，然后提出“還可以怎樣解決”。各版本列舉都借助列表的手段。

(五)練習設計比較

表5 練習設計比較

從表5可看出，蘇教版、人教版安排的習題數量相對較多，呈現形式也多種多樣，甚至在整個小學階段總復習(整理與復習)中也安排了習題。

二、不同版本教材“雞兔同籠”內容分析

(一)“雞兔同籠”的教育價值

“雞兔同籠”問題解法多樣，富有趣味，深受不少數學教育研究者的推崇，因而現行不同版本的教材都編排了雞兔同籠內容。它比較適合兒童自發探究。學生可以借助畫圖、列表等輔助手段，通過不斷地嘗試、比較、調整，問題最終獲得解決，學生推理意識得到發展。同時，通過不同的方式呈現“雞兔同籠”古題，介紹“抬腿(腳)法”等古人巧妙算法，能夠激發學生好奇心和創新意識，也有利于學生初步了解我國古代數學研究的重要成就，感受中華文明的博大精深，激發民族自豪感和對數學學科的興趣。

(二)教材編排的價值取向

不同版本的教材有不同的特色，價值取向不完全相同。如，人教版“數學廣角”板塊，旨在拓展學生應用數學的視角，開闊視野，讓學生能夠深切地領略到數學的魅力與光彩，因而教材中呈現的“雞兔同籠”問題解答方法較多(在六年級下冊《整理和復習》“式與方程”之后的練習中安排一道習題，暗示學生列方程解答)，內容編排較為系統；北師大版“數學好玩”板塊強調“動手做”，突出活動性、操作性，集中介紹列舉方法的優化過程。“雞兔同籠”內容在不同版本的教材編排在不同板塊或欄目，其共同的價值取向是增加趣味性，突出學生的問題解決能力培養，引導學生領悟數學思想與方法，增強問題解決策略意識。

(三)問題解決的方法策略

對比表4解答方法，“雞兔同籠”問題解決的方法具有兩個方面的特點。

1.方法多樣性。教材中“雞兔同籠”問題解答方法主要有畫圖法、列舉法、推算法、方程法、抬腳(腿)法等五種方法，不同版本教材選用的解答方法不盡相同。即便是同一種方法，不同版本之間可能也有差異。如列舉法，蘇教版、人教版、北京版、西南師大版、冀教版都是一一列舉(枚舉)，而北師大版教材采用了一一列舉、跳躍列舉、取中(跳躍)列舉三種方式，青島版則是由一一列舉(未完整列舉)直接過渡到推算法。再如推算法，蘇教版是取中列表推算，人教版、西南師大版是文字敘述推算，冀教版、青島版先是文字敘述推算然后是列算式推算。

2.方法一致性。畫圖、列舉、推算等算術方法起始于假設，思路本質上都是假設法，思維主線是“假設—比較—調整”。為什么都要用到“假設”呢？因為這類題有一個共同點，就是有幾個條件(等量關系)要同時滿足，往往一次很難做到。我們可以先滿足一個等量關系，做出某種假設，按照題中的已知條件進行推算，看是否滿足其他等量關系，如不滿足，比較數量上的差異，再進行調整，就可以找到正確的答案。實際上，即使是列方程(或方程組)解答，把未知量用字母表示，也可以說是一種“假設”。

三、思考與改進

通過對不同版本教材的對比分析，結合一線教師教學實踐中獲得的經驗成果，在“雞兔同籠”問題教學時可以做出適當改進。

(一)解答方法的選用

不同版本的教材具體的解答方法的選用依據有三個方面：《義務教育數學課程標準(2022年版)》、學生的認知發展水平、教材自身的特色與價值取向。

1.根據《義務教育數學課程標準(2022年版)》，“方程”內容將移出小學。小學階段對于“雞兔同籠”問題，不能再用列方程的方法解答，多數版本的教材都要相應作修訂。不少小學教師可能認為，這種調整使雞兔同籠問題教學不夠完美。實際上教師大可放心，與小學教材版本相對應的現行初中教材(西南師大版未見有初中教材)，在七年級一元一次方程或二元一次方程組章節都安排了雞兔同籠問題的內容(如表6)。

表6 相應版本現行初中教材“雞兔同籠”內容編排一覽表

雖然方程內容將移至初中，但是，小學教師完全可以根據新的《義務教育數學課程標準(2022年版)》第三學段關于“在具體情境中，探索用字母表示事物的關系、性質和規律的方法，感悟用字母表示的一般性”的要求，結合學情，用含有字母的式子刻畫這類問題的結構特征，幫助學生建構“雞兔同籠”模型。

現行版本小學教材，“雞兔同籠”不約而同地被安排在中高年級，反映出“雞兔同籠”內容難度較大，教師教學與教材編寫要體現進階過程。如，畫圖法形象直觀，適合較低年級的學生，而推算法相對較為抽象，適合較高年級的學生。如果“雞兔同籠”問題安排在第二學段教學，可以考慮補充畫圖的解答方法，而將推算法后移，這樣才切合小學生的認知發展水平，避免前學后忘的尷尬局面。在高年級再次編排“雞兔同籠”問題，側重對常用的解答方法進行比較、勾連，突出“假設→比較→調整”這一重要思維方法。

(二)一一列舉(枚舉)的起點

在解決“雞兔同籠”問題時，用一一列舉的方法有其局限性，往往受制于數據的取值范圍。但是，如果數據適合，學生只要有序列舉，總能找到答案，因而這種“算法”式方法受到學生青睞，成為現行七種版本教材“雞兔同籠”問題唯一共同的解答方法。但是，列舉的起點并不完全一樣。仔細比較就會發現，只有人教版、青島版教材從一種物體的數量是0這種極端情況開始一一列舉，其他版本的教材都是從其中一種物體數量是1開始列舉，而在用畫圖法、推算方法解答時，假設的起點卻大都是某種物體數量為0這種極端情況(也有個別取中假設的情形)，師生因此感到困惑。實際上，進入中學學習階段，不少學生問題解決典型錯誤之一就是遺漏極端情況。從方法的一致性與小學、中學銜接性考慮，建議學生起初學習一一列舉時，列舉的起點還是從“0”這種極端情況開始，這樣也有助于培養學生思維的嚴謹性。學生對一一列舉的方法熟練后，可以結合具體情境改變列舉的起點，或者采用跳躍列舉。當然，這時的列舉實際上已不純粹是算法策略的“程序性”方法了。

(三)例題情境的創設

教材例題采用經典的“雞兔同籠”情境，是基于學生此前對“雞兔同籠”或多或少有所了解的事實，增加學生探究“熟悉”問題的興趣與信心，比較適合于較低年級的學生。但是，采用經典的“雞兔同籠”情境，學生用列算式的方法解答時容易受已有的負面經驗(比如輔導機構推出的“公式法”)影響，淺嘗輒止，加上數字的干擾(每只兔比每只雞多的腳數與每只雞的腳數恰好相等)，對推算法往往不能深刻理解。實踐中，教師發現，當學生遇到情境發生變化的問題，或間隔時間長了，學生根本就不會想到用推算法解答了。蘇教版教材處理較好，“雞兔同籠”例題采用情境變式題，有效促進學生把握問題的本質，領會數學思想方法，避免教學實踐中常常出現的學生機械套用模式、“只知雞兔，不知其他”的尷尬。青島版教材例題情境變了，但還存在數字干擾的問題。

(四)練習設計的優化

問題解決方法需要通過練習積累經驗加以鞏固內化。從表5看，現行蘇教版、人教版、青島版教材安排的練習題數量較為適宜，部分版本提供的習題數量過少。在雞兔同籠的練習設計中，一線教師普遍認為蘇教版練習設計較為系統，層次感強，學生的學習效果較好。

總之，通過不同版本教材“雞兔同籠”問題的比較，教師對教材的把握、對問題解決方法的理解就更深刻、更精準，在教學實踐中就能自覺博采眾家之長，促成學生主動構建知識體系、方法策略，增強學生問題解決能力，發展學生核心素養。