改進(jìn)的輸出誤差法用于不穩(wěn)定飛機(jī)參數(shù)辨識

汪志剛，李愛軍,2，王力浩，孫小鋒

(1.西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院,西安 710072; 2.陜西省飛行控制與仿真技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(西北工業(yè)大學(xué)),西安 710072)

系統(tǒng)辨識技術(shù)基于飛行試驗(yàn)中飛行運(yùn)動和控制變量的測量值，建立輸入輸出量間的關(guān)系。飛機(jī)系統(tǒng)辨識是飛機(jī)研發(fā)過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，對控制律的設(shè)計(jì)、飛行模擬器的設(shè)計(jì)和飛行包線的擴(kuò)展都有重要的意義[1]。飛機(jī)系統(tǒng)辨識技術(shù)分為頻域辨識和時(shí)域辨識，頻域辨識方法建立系統(tǒng)的線性模型，時(shí)域識別方法可用于提取線性模型和非線性模型[2]。目前最常用的時(shí)域飛機(jī)系統(tǒng)辨識方法是方程誤差法以及輸出誤差法。方程誤差法是一種直接方法，受自變量中的測量噪聲影響，其估計(jì)結(jié)果是有偏差的。輸出誤差法基于極大似然原理，通過最小化測量值和模型輸出的均方差來估計(jì)參數(shù)，其估計(jì)結(jié)果是漸近無偏的。針對穩(wěn)定飛機(jī)，輸出誤差法是最常用的參數(shù)辨識方法之一[3]。

不穩(wěn)定飛機(jī)的主要特點(diǎn)為：1)飛行試驗(yàn)過程中需要引入控制器；2)求解不穩(wěn)定飛機(jī)的模型輸出時(shí)，若參數(shù)選取稍有不適，求解過程將發(fā)散。如圖1所示，針對不穩(wěn)定飛機(jī)，系統(tǒng)辨識有兩種可能的方法，即閉環(huán)辨識和開環(huán)辨識[4]。經(jīng)典的閉環(huán)辨識方法建模飛行員輸入δp與測量值z之間的動力學(xué)關(guān)系，不會產(chǎn)生任何數(shù)值問題，因?yàn)檎麄€(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。此方法的局限是只能得到閉環(huán)系統(tǒng)的等價(jià)模型，若要從中推導(dǎo)出開環(huán)動力學(xué)模型，還需要精確的控制器回路動力學(xué)模型，而這通常是不容易得到的。

圖1 不穩(wěn)定飛機(jī)的閉環(huán)與開環(huán)辨識

開環(huán)辨識方法直接建模飛機(jī)舵面輸入δe與測量值z之間的動力學(xué)關(guān)系。然而，輸出誤差法不能直接應(yīng)用于不穩(wěn)定飛機(jī)。輸出誤差法需要求解待辨識系統(tǒng)的運(yùn)動方程，應(yīng)用于不穩(wěn)定的飛機(jī)時(shí)，會產(chǎn)生數(shù)值發(fā)散問題，導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)過程失敗[4]。

近年來，隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)科的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法逐漸應(yīng)用于飛機(jī)系統(tǒng)辨識領(lǐng)域[5-7]。Hess[8]通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接建模飛機(jī)的氣動系數(shù)。Ghosh等[9]基于前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使用Delta法和Zero法提取飛機(jī)的氣動導(dǎo)數(shù)。Peyada等[10]提出了一種新的思想——將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與輸出誤差法相結(jié)合，以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替飛機(jī)動力學(xué)模型，并采用高斯-牛頓法最小化網(wǎng)絡(luò)輸出與試驗(yàn)測量值間的均方差，從而進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。隨后多位學(xué)者[11-13]遵循類似的思路，應(yīng)用不同的網(wǎng)絡(luò)或者對不同的對象進(jìn)行辨識。但是，這些文獻(xiàn)都是基于高斯-牛頓法來最小化代價(jià)函數(shù)的。高斯-牛頓法具有固有的缺陷，即容易陷入局部最小值[2]。本文基于粒子群優(yōu)化對LM (levenberg-marquardt)方法進(jìn)行了改進(jìn)，以改進(jìn)的LM算法代替高斯-牛頓法，并與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相結(jié)合，形成一種改進(jìn)的輸出誤差法，用于不穩(wěn)定飛機(jī)的參數(shù)辨識。

1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于其強(qiáng)大的非線性映射能力，可以直接應(yīng)用于對非線性動力學(xué)特性建模。網(wǎng)絡(luò)輸入向量選取為動力學(xué)系統(tǒng)第k時(shí)刻的輸入量以及狀態(tài)量，網(wǎng)絡(luò)輸出向量選取為第(k+1)時(shí)刻的輸出量，經(jīng)過大量樣本訓(xùn)練后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以依據(jù)第k時(shí)刻(當(dāng)前時(shí)刻)的狀態(tài)和輸入，對第k+1時(shí)刻(下一時(shí)刻)的狀態(tài)量進(jìn)行預(yù)測。換句話說，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于近似系統(tǒng)的動力學(xué)特性，其作用相當(dāng)于線性或者非線性動力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動方程。

本文選擇了常用的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分為輸入層、隱含層和輸出層。W1、W2分別為輸入層到隱含層和隱含層到輸出層的權(quán)重以及偏差矩陣，網(wǎng)絡(luò)的傳播遵循式(1)～(4)，其中f(x)為非線性S形激活函數(shù)。xr為網(wǎng)絡(luò)輸入向量，x1、x2分別為隱含層和輸出層的輸入向量，xh、xo分別為隱含層和輸出層的輸出向量。

x1=W1xr+W1b

(1)

xh=f(x1)

(2)

x2=W2xh+W2b

(3)

xo=f(x2)

(4)

S形激活函數(shù)選擇雙曲正切函數(shù)：

(5)

如上所述，網(wǎng)絡(luò)輸入向量U選取為動力學(xué)系統(tǒng)k時(shí)刻的輸入以及狀態(tài)量，網(wǎng)絡(luò)輸出Z選取為k+1時(shí)刻的狀態(tài)向量。即

(6)

(7)

通過連續(xù)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)參數(shù)W1和W2，可以最大程度地減小網(wǎng)絡(luò)輸出和測量值之間的誤差。在第k個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)上，將成本函數(shù)選擇為第k步的局部輸出誤差,即

(8)

基于最速下降法，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)W1,W2通過式(9)、(10)進(jìn)行調(diào)整：

(9)

(10)

激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

(11)

網(wǎng)絡(luò)參數(shù)W1,W2通過迭代更新之后，網(wǎng)絡(luò)將具有滿意的擬合性能，網(wǎng)絡(luò)的最終擬合性能通過均方差(MSE)進(jìn)行衡量，即

(12)

2 基于粒子群優(yōu)化改進(jìn)的輸出誤差法

本文詳細(xì)陳述基于粒子群優(yōu)化改進(jìn)的輸出誤差法，以及應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和改進(jìn)的輸出誤差法進(jìn)行參數(shù)辨識的算法流程。

2.1 粒子群優(yōu)化

粒子群優(yōu)化算法(Particle swarm optimization,PSO)最初是由Eberhant等[14]于1995年提出的一種基于直接搜索的優(yōu)化算法。此算法基于個(gè)體粒子之間的協(xié)作與競爭，經(jīng)過數(shù)次迭代后實(shí)現(xiàn)復(fù)雜空間中最優(yōu)解的搜索。PSO算法是一種有記憶能力的算法,對于低維優(yōu)化問題十分有效[15]。粒子群中的每個(gè)粒子，都是所求優(yōu)化問題的一個(gè)潛在的解。而粒子的品質(zhì)由事先設(shè)定好的適應(yīng)度函數(shù)來評價(jià)。假設(shè)在n維搜索空間中，有m個(gè)粒子,第h個(gè)粒子的位置表示為xh=(xh1,xh2,…,xhn)T，速度表示為vh=(vh1,vh2,…,vhn)T，將xh代入適應(yīng)度函數(shù)中計(jì)算出其適應(yīng)度值，以評價(jià)其優(yōu)劣。ph表示第h個(gè)粒子的歷史最佳位置，pg表示整個(gè)粒子群經(jīng)歷過的最優(yōu)位置。在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中，粒子的速度和位置更新如式(13)、(14)，其中下標(biāo)d表示vh、xh、ph和pg的第d個(gè)分量，t為迭代次數(shù)，ω、ξ1、ξ1分別為3個(gè)可調(diào)參數(shù)，r1，r2，r3為 (0, 1)之間的3個(gè)隨機(jī)數(shù)。

vhd(t+1)=ωr1vhd(t)+ξ1r2(phd(t)-xhd(t))+

ξ2r3(pgd(t)-xhd(t))

(13)

xhd(t+1)=xhd(t)+vhd(t+1)

(14)

2.2 傳統(tǒng)輸出誤差算法

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完成后，基于LM算法對代價(jià)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使得網(wǎng)絡(luò)輸出和測量輸出的均方差最小，從而對未知參數(shù)進(jìn)行辨識。LM算法是對高斯-牛頓法的改進(jìn)，為解釋LM算法，首先簡要介紹基于高斯-牛頓法的傳統(tǒng)輸出誤差算法[3]。

(15)

(16)

式中R為協(xié)方差矩陣，R的極大似然估計(jì)如式(17)所示。高斯-牛頓法通過式(18)、(19)求解未知參數(shù)。

(17)

Θi+1=Θi+ΔΘ

(18)

FΔΘ=-G

(19)

其中F、G分別為Hessian矩陣和梯度向量，即：

(20)

(21)

(22)

2.3 粒子群改進(jìn)的LM算法

LM算法由Levenberg[16]和Marquardt[17]提出，其結(jié)合了高斯-牛頓法和最速下降法，LM算法在兩個(gè)梯度方向上優(yōu)化代價(jià)函數(shù)，因此包含更寬的收斂范圍[4]。與高斯-牛頓法相比，LM算法中添加了一個(gè)非負(fù)阻尼因子λ，其參數(shù)迭代計(jì)算如式(23)、(24)所示，其中，Hessian矩陣F和梯度向量G按照式(20)、(21)計(jì)算，與高斯-牛頓法一致。當(dāng)阻尼因子接近于0時(shí)，LM算法的性能與高斯-牛頓法一致；而當(dāng)阻尼因子充分大時(shí)，LM算法的性能接近于最速下降法。

Θi+1=Θi+ΔΘ

(23)

(F+λI)ΔΘ=-G

(24)

傳統(tǒng)的LM算法根據(jù)代價(jià)函數(shù)的增減對阻尼因子進(jìn)行某種調(diào)整，例如通過對阻尼因子乘以10或除以10以保證代價(jià)函數(shù)的下降[4]。然而這種調(diào)整得到的阻尼因子并不是最佳的，從而限制了算法性能提升的效果。在本文中，LM算法的每次迭代時(shí)采用粒子群算法來求解最佳阻尼因子，即，基于粒子群算法最小化代價(jià)函數(shù)(25)，以確保求解的阻尼因子是局部最優(yōu)的，或者說是次最優(yōu)的。需要指出的是，增加粒子群算法的粒子數(shù)以及搜索次數(shù)后，還可以找到最優(yōu)的阻尼因子，但是這樣會增加計(jì)算代價(jià)，這是非必要的。本文設(shè)置了20個(gè)粒子，最多搜索5次。結(jié)果表明這樣的設(shè)置對于改善LM算法的性能是足夠的。

J(Θi+1)=J(Θi+ΔΘ)=J1(Θi,λi,F,G)=J2(λi)

(25)

2.4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)LM(NN-LM)算法流程

最終的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)LM(NN-LM)參數(shù)辨識算法包含了兩部分：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練以及參數(shù)估計(jì)。整個(gè)算法的流程如圖3所示。

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)LM(NNLM)算法流程圖

算法的求解步驟如下：

1)從飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取狀態(tài)量和輸入量，構(gòu)成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量U(k)；從飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取輸出量，構(gòu)成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出向量Z(k+1)，例如本文的應(yīng)用算例中，U(k)，Z(k+1)分別為式(31)、(32)；并按照式(9)～(11)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。

3)基于傳統(tǒng)輸出誤差法，分別根據(jù)式(22)計(jì)算靈敏度矩陣?Y(k)/?Θ，式(20)計(jì)算Hessian矩陣F,以及式(21)計(jì)算梯度向量G。

4)將粒子群中每個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)取為代價(jià)函數(shù)(25)，基于粒子群優(yōu)化過程，即式(13)、(14)求解局部最優(yōu)阻尼因子λ。

5)基于LM算法，根據(jù)式(23)、(24)更新待辨識參數(shù)Θi。

重復(fù)步驟2)～5)，直至算法收斂。

3 不穩(wěn)定飛機(jī)模型與仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)

本文應(yīng)用了De Havilland DHC-2 “BEAVER“測試機(jī)[4,18]的不穩(wěn)定短周期模型。“BEAVER“飛機(jī)的短周期狀態(tài)方程為：

(26)

式中：w為縱向速度，q為俯仰角速率，az為縱向加速度，δe為升降舵偏轉(zhuǎn)量。

模型的觀測方程為：

(27)

在本文的研究中，這些模型參數(shù)構(gòu)成了待辨識的未知參數(shù)向量，即

Θ=[Zw,Zq,Zδe,Mw,Mq,Mδe]T

(28)

式中Zw,Zq,Zδe,Mw,Mq,Mδe為模型參數(shù)，其標(biāo)稱值見表1。

系統(tǒng)矩陣A如式(29)所示，將U0和表1中模型參數(shù)的標(biāo)稱值Θ代入系統(tǒng)矩陣A，可計(jì)算出其兩個(gè)特征值分別為0.693 4和-5.825 0，其中正的特征值對應(yīng)著不穩(wěn)定模態(tài)。這種不穩(wěn)定飛機(jī)的仿真飛行試驗(yàn)只能在引入控制器后(閉環(huán)條件下)進(jìn)行。文獻(xiàn)中對此模型引入了垂直速度比例反饋控制器(30)，并進(jìn)行了閉環(huán)機(jī)動試驗(yàn)，其中δp為飛行員輸入[4]。

(29)

δe=δp+Kw

(30)

表1 模型參數(shù)的標(biāo)稱值以及基于3種方法的估計(jì)結(jié)果

盡管仿真飛行試驗(yàn)是在閉環(huán)條件下進(jìn)行的，本文對模型參數(shù)的估計(jì)在開環(huán)條件下進(jìn)行，將升降舵偏轉(zhuǎn)量δe視為模型輸入，進(jìn)行開環(huán)辨識，在辨識過程中并未使用飛行員輸入δp的信息。使用JATEGAONKAR[4]設(shè)計(jì)的輸入信號激勵(lì)仿真模型，模型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖4 “BEAVER“飛機(jī)短周期模型的仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)

4 參數(shù)辨識結(jié)果

本文基于NN-LM方法，從仿真數(shù)據(jù)中提取模型參數(shù)。首先，選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入向量為仿真模型第k時(shí)刻的狀態(tài)及輸入為

(31)

式中w(k)為k時(shí)刻的縱向速度采樣值。

選取網(wǎng)絡(luò)輸出向量為仿真模型第k+1時(shí)刻的輸出Z(k+1)為

(32)

(33)

綜上所述，傳統(tǒng)的輸出誤差法需要參數(shù)的先驗(yàn)信息，將參數(shù)初值設(shè)置在標(biāo)稱值附近，否則算法將發(fā)散或者收斂至局部極小值點(diǎn)。而改進(jìn)的LM算法具有更寬的收斂范圍，即不需要參數(shù)的先驗(yàn)信息。本文參數(shù)估計(jì)過程中，所有的未知參數(shù)向量Θ均以[-2,2]范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)初始化，從不同的初始值開始迭代時(shí)算法均可以收斂。圖5、6為選取不同隨機(jī)初始值時(shí)，參數(shù)Zδe和Mw的收斂過程。可以看出，參數(shù)初值選取不同時(shí)，算法均可在7步內(nèi)收斂，參數(shù)初始值離標(biāo)稱值較遠(yuǎn)時(shí)，算法收斂較慢，參數(shù)初始值離標(biāo)稱值較近時(shí)，算法收斂較快。

圖5 參數(shù)Zδe收斂過程以及對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差

圖6 參數(shù)Mw收斂過程以及對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差

將3種方法估計(jì)的參數(shù)代入運(yùn)動方程(26)，得到3種估計(jì)模型，并且由仿真試驗(yàn)中的升降舵偏轉(zhuǎn)驅(qū)動3種模型，模型的輸出如圖7所示。并結(jié)合Theil不等系數(shù)(Theil’s inequality coefficient，TIC)[19]來評價(jià)3種模型的輸出量對試驗(yàn)值的擬合效果。輸出量的TIC定義如式(34)，其中zi為仿真試驗(yàn)測量值，yi為模型的輸出值，N為離散測量數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。TIC值越低表示模型輸出與試驗(yàn)測量值符合度越高，TIC值低于0.25～0.30代表了較好的擬合效果[4]。3種模型的各個(gè)輸出量的TIC值見表2。

(34)

由圖6可以看出，基于NN-LM方法辨識的模型可以很好地?cái)M合仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)，效果優(yōu)于傳統(tǒng)的最小二乘法(LS)和人工穩(wěn)定的輸出誤差方法(SOEM)。由表2中的TIC值可以看出，對于NN-LM辨識出的模型，其各個(gè)輸出量的TIC值均低于LS方法和SOME方法，且遠(yuǎn)小于0.25，說明了此模型的輸出對試驗(yàn)測量值的擬合效果更好。

圖7 3種估計(jì)模型的升降舵驅(qū)動結(jié)果

表2 3種模型各個(gè)輸出量的TIC值

5 結(jié) 論

1)基于飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)訓(xùn)練前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替飛機(jī)的運(yùn)動方程來預(yù)測飛機(jī)響應(yīng)，從而避免了輸出誤差法中求解運(yùn)動方程的要求。因而可以應(yīng)用于不穩(wěn)定飛機(jī)以及大迎角飛行條件下的飛機(jī)參數(shù)辨識。同時(shí)，相比于求解運(yùn)動方程，計(jì)算網(wǎng)絡(luò)輸出的運(yùn)算成本更小，因此NN-LM算法對于穩(wěn)定飛機(jī)的參數(shù)辨識也具有一定的優(yōu)勢。

2)NN-LM算法基于粒子群優(yōu)化，求解LM算法的最佳阻尼因子，放寬了高斯-牛頓法對參數(shù)初值的依賴，待辨識參數(shù)的初值可隨機(jī)選取。本文的算例中，未知參數(shù)向量均以隨機(jī)數(shù)初始化，從不同的初始值開始迭代時(shí)算法均可以收斂。

3)NN-LM算法保留了輸出誤差法的精確性。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法可以成功辨識出不穩(wěn)定飛機(jī)的參數(shù)。與傳統(tǒng)算法相比，NN-LM算法得到的TIC值更低，說明NN-LM算法辨識出的模型可以更好地?cái)M合試驗(yàn)測量值，估計(jì)效果有明顯改善。

4)NN-LM算法本質(zhì)上是對高斯-牛頓法的改進(jìn)，因此還適用于其他的非線性方程求解問題。接下來將進(jìn)一步圍繞穩(wěn)定以及不穩(wěn)定飛機(jī)的氣動系數(shù)建模來開展研究。基于NN-LM算法，從真實(shí)以及仿真的飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取氣動導(dǎo)數(shù)，與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比和補(bǔ)充。