利用非對稱阻尼切換控制車體升降的車高求解研究

蔡 琛， 姚嘉凌, 田松梅

(1.南京林業大學 汽車與交通工程學院,南京 210037;2.南京汽車集團 汽車工程研究院，南京 210028)

一般而言，懸架減振器的阻尼力并不對稱相等，為有效減小沖擊和振動，往往使懸架減振器伸張行程的阻尼大于壓縮行程的阻尼，減振器阻尼呈現出非對稱特性[1-2]。Warner[3]對具有壓縮和伸張阻尼不對稱特性的減振器進行試驗時，首次發現簧載質量在路面激勵下平衡位置下降。Rajalingham[4]在研究中也發現了這一現象，給出的解釋是：懸架振動時，由于阻尼的不對稱導致懸架彈簧的壓縮量發生變化，從而引起簧載質量振動的平衡位置的下降。Balik[5]實驗時發現，當伸張行程阻尼系數大于壓縮行程阻尼系數時會引起車體下降，反之，伸張行程阻尼系數小于壓縮行程阻尼系數時會引起車體上升。

非對稱阻尼會使車體振動的平衡位置發生變化，受到這一現象的啟發，本文創新性地提出了一種基于振動利用控制車體升降的思想方法。具體思路是根據車輛的行駛狀態，通過控制半主動懸架阻尼可調減振器伸張和壓縮行程的不對稱阻尼來改變車體振動的平衡位置，該思想方法可應用于汽車高速轉向、緊急避讓等極端工況下的車高和姿態控制、主動防側傾控制[6]等。例如，在高速轉向時通過左右側升降使車體向轉彎方向傾斜的傾擺控制[7-9]，可有效提高汽車操縱穩定性和迅速過彎能力，防止側翻。

對于本文提出的通過控制半主動懸架阻尼可調減振器伸張和壓縮行程的不對稱阻尼來進行車高調節的系統來說，求解車體的升降高度，確定車體升降高度和不對稱阻尼、車速、路面輸入的對應關系是實施這種車體升降控制的前提，依據這種函數關系就可以在一定車速和路面工況下實時控制不對稱阻尼以跟蹤期望的升降高度。

分段線性系統傳遞率對于外界激勵振幅具有獨立性[10]，也就是說在同一頻率下輸出響應和輸入參數的均方根值比或峰值比是固定不變的。為探究車體升降高度和不對稱阻尼、車速、路面輸入的對應關系，從而求解車高，本文利用不對稱阻尼懸架系統的這種傳遞率的獨立性將其線性化，從而采用線性系統的求解方法求取路面激勵下車體升降高度的響應。通過在不同路面激勵、車速、阻尼不對稱率工況下進行阻尼不對稱分段線性系統的線性化，求解車體升降高度，通過函數擬合得到車體升降高度和不對稱阻尼、車速、路面輸入的對應關系?？梢愿鶕@種函數關系依據不同工況下車輛姿態的需求，調節不對稱阻尼控制車體升降達到期望的車體高度。這種車體升降不僅是整車的同時升降，還包括左右兩側一升一降以控制車體的傾擺姿態，也可以是車體前后的一升一降以控制車體的俯仰姿態。最后通過仿真檢驗這種函數關系的準確性。

1 基于振動利用控制車體升降的基本思想和方法

為說明上述升降控制的思想方法，首先建立1/4車輛阻尼可調振動系統模型。根據牛頓第二定律，系統微分方程可表示為

(1)

式中:m2是簧載質量;m1是非簧載質量;k2是懸架剛度;k1是輪胎剛度;c2是懸架固有阻尼;z2是簧載質量位移;z1是非簧載質量位移;z0是路面輸入;fd是可調阻尼力。

控制車體升降進行阻尼不對稱切換控制的基本思想和方法是：

(1) 要控制車體下降，壓縮行程采用小阻尼，伸張行程采用大阻尼，采用如下開關函數進行阻尼切換控制

(2)

式中:cm為大阻尼系數;c0為小阻尼系數。

(2) 要控制車體上升，壓縮行程采用大阻尼，伸張行程采用小阻尼，采用如下開關函數進行阻尼切換控制

(3)

也可采用阻尼力切換控制的形式：

(1) 控制車體下降時采用

(4)

式中:fm為大阻尼力;f0為小阻尼力0。

(2) 控制車體上升時采用

(5)

為驗證車體升降控制的有效性，進行仿真驗證。設定B級路面下，車速20 m/s，仿真時間100 s，在50 s后，采用阻尼系數切換進行升降控制。其中仿真參數：m1=60 kg，m2=412 kg，k1=269 000 N·m-1，k2=26 000 N·m-1，c2=1 200 Ns/m。仿真結果如圖1～圖4所示。

圖1 車體上升控制(最大阻尼系數25 000 Ns/m)

圖1～圖2采用式(3)的控制策略進行車體上升控制。圖1中c0=0，cm=25 000 Ns/m,車體平衡位置在50 s后迅速上升0.038 m；圖2中c0=0,cm=50 000 Ns/m，車體平衡位置在50 s后迅速上升0.052 m。

圖2 車體上升控制(最大阻尼系數50 000 Ns/m)

圖3～圖4采用式(2)的控制策略進行車體下降控制。圖3中c0=0,cm=25 000 Ns/m，車體平衡位置在50 s后迅速下降0.038 m；圖4中c0=0,cm=50 000 Ns/m，車體平衡位置在50 s后迅速下降0.052 m。

圖3 車體下降控制(最大阻尼系數25 000 Ns/m)

圖4 車體下降控制(最大阻尼系數50 000 Ns/m)

從車體升降控制仿真結果可以看出，進行懸架不對稱阻尼的調節可以有效升降車體的平衡位置，其最大阻尼力在4 000 N以內，屬于普通可調阻尼減振器正常的阻尼力范圍。對4個懸架可調減振器同時或分別進行升或降的控制，則可進行不同目的的車體姿態控制。

2 分段線性非線性系統線性化

為有效進行車體升降控制，需要研究車體升降高度與不對稱阻尼、車速、路面輸入等參數的變化規律，確定在一定工況下，車體升降高度與不對稱阻尼的對應關系，從而控制阻尼升降車體到期望高度。由于分段線性系統是一種強非線性系統，不能通過線性系統的信號預測方法求解其車體振動的響應。但分段線性系統有一種非常有用的特性，即其傳遞率對于外界激勵振幅具有獨立性，不管激勵振幅大小，它的傳遞率不變[11-12]。這種特性和線性系統的傳遞率特性是一樣的，但這個傳遞率卻不是實際的線性系統的傳遞率。因此，如果能將這種分段線性系統進行線性化，則車體升降高度就可以采用線性系統的求解方法進行求解。也就是在一定工況下，如果能求解出這種線性化后的傳遞率，則在已知路面輸入的情況下通過傳遞率就可以知道要達到一定的車體升降高度需要的不對稱阻尼力是多少。在此，首先將這種阻尼可調分段線性系統進行線性化。

(6)

式中:σz2(ωi)為懸架位移均方根值;σp(t)為正弦輸入信號均方根值。圖5為掃頻獲得的懸架位移傳遞率。

圖5 傳遞率仿真

采用最小二乘法，用式(7)的函數對圖5的傳遞率曲線進行擬合，結果如圖6所示。

(7)

圖6 懸架位移傳遞率擬合

擬合得到式(7)中的參數如表1所示。

表1 傳遞率擬合參數

設計一個線性系統，使該線性系統的車體位移傳遞率與式(7)的分段線性系統車體位移傳遞率相等，此線性系統微分方程表達如下

(8)

頻率響應函數表示為

(9)

取

Az2(ω)=|H(jω)|

(10)

可以得到ai,bi與擬合參數Pi,Qi之間的關系

(11)

根據由微分方程求狀態空間表達式的方法，假設以p(t)作為輸入，u1(t)=z2(t)-C0p(t)作為第一分量及輸出，進一步將微分方程(8)寫成一階線性微分系統

(12)

式中,u1(t)=y(t),p(t)=x(t)。將式(12)代入式(8)，使得輸入信號的各階導數項系數為0，可以得到Ci與ai,bi的關系

(13)

將式(12)寫成狀態空間方程為

(14)

其中：

(15)

其特征方程為

P(λ)=λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4

(16)

根據Hurwitz穩定性判據，此線性系統需要滿足的穩定性條件為

a1>0,a2>0,a1a2-a3>0

(17)

通過上述方法，最終確定式(14)的線性系統具有與分段線性非線性懸架系統中簧載質量位移相同的傳遞率。在穩定性條件下求出系統參數，列舉部分參數如表2所示。

表2 線性系統參數

3 車體升降高度求解

將分段線性非線性系統線性化后就可以采用線性系統理論進行相關分析和求解。由于求得了傳遞率，則簧載質量位移的功率譜密度可通過傳遞率和路面輸入功率譜密度求出，如下式

(18)

其中路面輸入的功率譜密度Gz0(ω)為

(19)

式中:v是車速(m/s);Gq(n0)是路面不平度系數(m3);n0是參考空間頻率。

簧載質量位移的自相關函數Rx(τ)可以表示為

(20)

令時延τ=0，則

(21)

則簧載質量位移的均方值為

(22)

式中:ψz2為均方差;μz2為平均值。

因此，分段線性系統中懸架位移輸出的均方根值可以近似表達為

(23)

式中，ωmin=2πfmin，ωmax=2πfmax是路面不平度引起的車輛振動的實際頻率范圍，其中fmin=0.3 Hz，fmax=30 Hz[12]。

采用第2章的方法分別求解不同不對稱阻尼分段線性非線性懸架系統的線性化狀態方程及其傳遞率。相似地，懸架系統固有阻尼c2取500 Ns/m，伸張行程可調阻尼系數取0，壓縮行程可調阻尼系數間隔3 000 Ns/m取值，即可調阻尼系數取10 000,13 000,16 000,…,61 000 N，從而產生一系列不對稱阻尼系數及對應的分段線性系統。在B級路面輸入下分別求解車體的上升高度。其中n0=0.1 m-1，Gq(n0)=64×10-6m3。車速間隔10 km/h取值，即：v=40,50,…,110 km/h。通過公式(18)～(23)計算車體上升高度。部分數據如表3。

表3 B級路面下車體升降高度

B級路面車體上升高度與車速、壓縮行程大阻尼系數的關系如圖7所示。

圖7 B級路面車體升降高度與壓縮行程大阻尼系數、車速的關系

從圖7可以看出：在同一車速下，隨著壓縮行程大阻尼系數不斷增大，車體上升高度近似為線性增長；在同一壓縮行程大阻尼系數下，隨著車速不斷增大，車體上升高度也近似為線性增長。

采用最小二乘法優化擬合，可以得到B級路面下的車體升降高度數學模型，如式(24)所示。

(24)

式中，

(25)

式中：H是車體升降高度(m)；cm是壓縮行程的可調大稱阻尼系數(Ns/m)；v是車速(m/s)。

擬合指標：SSE=0.000 7，R-square=0.978 7。其中SSE代表誤差平方和，其越接近于0，曲線擬合效果越好。R-square為確定系數，通過數據的變化來表征擬合效果的好壞，確定系數的正常范圍為0～1，其越接近于1，模型對數據擬合的越準確。

相似地，其他參數均不變，僅將路面等級設置為C級路面，可以得到C級路面車體上升高度與車速、壓縮行程大阻尼系數的關系，如圖8所示。

圖8 C級路面車體升降高度與大阻尼系數、車速的關系

圖8所顯示的特征與上述相同，且對比B、C級路面的模型，可以發現當車速一定，壓縮行程大阻尼系數一定時，C級路面的升降高度大于B級別路面。

采用最小二乘法優化擬合，可以得到C級路面下的車體升降高度數學模型，如(26)所示。

(26)

式中，

(27)

擬合指標：SSE=0.003 0，R-square=0.978 7，表明擬合結果精確度高。

式(24)、(26)為伸張行程的可調阻尼系數取0，壓縮行程的間隔取可調大阻尼系數得到的B級路面、C級路面車體升降函數。如果反過來，壓縮行程可調阻尼系數取0，伸張行程間隔取可調大阻尼系數，則可以得到一樣的函數，只不過車體升降高度變成負號，限于篇幅，在此略去求解過程。

4 車體升降高度求解模型的準確度校驗

為驗證車體升降高度數學模型的準確性，進行仿真驗證。分別采用B級路面、C級路面作為輸入，采用式(3)的控制策略進行車體上升控制，將仿真結果與模型式(24)、(26)的計算結果對比，部分數據如表4～5、表6、表7所示。

表4 B級路面車體升降高度仿真與模型計算比1

表4表示B級路面下，采用壓縮行程可調阻尼系數25 000 Ns/m，伸張行程可調阻尼系數為0的控制策略，在不同車速下的仿真高度以及采用式(24)的模型進行計算的升降高度。當路面輸入一定、大阻尼系數一定時，車速越高車體升降越大。

表5表示B級路面下，恒定車速為72 km/h，采用壓縮行程可調阻尼系數為25 000～56 000 Ns/m，伸張行程阻尼系數為0的控制策略下的仿真高度以及采用式(24)的模型進行計算的升降高度。當路面輸入一定、車速一定時，可調阻尼系數越大，車體上升越大，同時表5的誤差結果表明式(24)的模型具有較高的精度。

表5 B級路面車體升降高度仿真與模型計算對比2

表6表示C級路面下，采用壓縮行程可調阻尼系數為25 000 Ns/m，伸張行程阻尼系數為0的控制策略，在不同車速下的仿真高度以及采用式(26)的模型進行計算的升降高度。當路面輸入一定、可調阻尼系數一定時，車速越高車體升降越大；同時與表5的結果對比表明，在相同的可調阻尼系數及車速下，C級路面下的車體升降高度明顯高于B級路面。

表6 C級路面車體升降高度仿真與模型計算對比1

表7表示C級路面下，恒定車速為72 km/h，采用壓縮行程可調阻尼系數25 000～56 000 Ns/m，伸張行程可調阻尼系數為0的控制策略下的仿真高度以及采用式(26)的模型進行計算的升降高度。當路面輸入一定、車速一定時，可調阻尼系數越大，車體升降越大，同時誤差結果表明式(26)的模型具有較高的精度。

表7 C級路面車體升降高度仿真與模型計算對比2

因此，所求解的車體升降高度函數能夠較為準確地描述阻尼可調減振器懸架系統在B級、C級路面輸入下，車體升降高度與不對稱阻尼系數、車速之間的關系，為阻尼可調減振器的車高控制提供了依據。

5 結 論

(1) 懸架的非對稱阻尼會使車體振動的平衡位置發生變化，受到這一現象的啟發提出基于振動利用控制車體升降并給出了阻尼控制的切換函數，仿真證明了該思想方法能有效實施車體的升降控制。

(2) 汽車4個阻尼可調懸架的單獨升降控制既可進行整車的同時升降，也可進行車體姿態的控制。

(3) 利用分段線性系統傳遞率對于外界激勵振幅具有獨立性的特性，通過掃頻激勵得到此系統的傳遞率，通過對這個傳遞率曲線進行擬合求得該傳遞率的函數表達，同時設計一種與此分段線性系統具有相同傳遞率的線性系統，進而可以通過線性系統的求解方法求取車體升降高度的均方根值。

(4) 通過在不同路面激勵、車速、阻尼不對稱率工況下進行阻尼不對稱分段線性系統的線性化，求解車體升降高度，通過函數擬合得到車體升降高度和不對稱阻尼、車速、路面輸入的對應關系，并對函數預測車體升降高度的準確性進行了驗證。利用這種函數關系就可以在不同行駛工況下，通過調節不對稱阻尼控制車體升降高度達到期望值。