考慮失穩效應的角鋼非線性滯回模型研究

劉俊才， 田 利， 畢文哲， 劉文棚， 孟祥瑞

(山東大學 土建與水利學院，山東 濟南 250061)

等邊角鋼具有優越的連接性能，已廣泛應用于格構式輸電鐵塔、通訊鐵塔、電視塔等結構中。在格構式鐵塔的結構設計中，通常將等邊角鋼的單肢與相鄰構件采用焊接或螺栓連接，并非傳統意義上的軸心受壓構件，由于等邊角鋼兩端約束、長細比和偏心程度的影響，角鋼的受壓承載力計算存在很大的差別。在地震作用或風荷載下，格構式角鋼鐵塔中的角鋼構件在循環拉壓荷載下表現出復雜的滯回行為，對角鋼鐵塔的動力響應有很大的影響[1-3]。因此，準確地預測角鋼的滯回行為是研究結構動力響應的關鍵。

基于目前已有的加載試驗和數值模擬，許多學者對鋼構件的滯回特性進行了研究。Blank等[4]通過開展循環拉壓試驗研究了不同截面形式、長細比和兩端約束對鋼構件滯回特性的影響規律。謝道清等[5]基于圓鋼管的滯回特性，提出了一個等效彈塑性滯回模型，應用于球面網殼結構，驗證了該滯回模型的有效性。楊娜等[6]開展冷彎薄壁矩形截面鋼擬靜力試驗，研究了常軸力彎矩下的滯回性能，明確了高厚比是影響其滯回性能的關鍵參數。張春濤等[7-9]研究了腐蝕環境對角鋼力學性能參數和滯回行為的影響規律，并建立了不同抗震性能指標的退化模型。Chen等[10]分析了圓管構件在三種不同加載制度下的變形模式和能量累積情況。以上試驗數據為數值模擬提供了重要參考。數值模擬一般通過考慮鋼構件的初始缺陷和殘余應力，并賦予相應的材料屬性，模擬循環荷載下鋼構件的滯回行為。于海豐等[11-12]分別模擬了工字型鋼和鋼管在低周循環荷載下的抗震性能，研究結果均表明局部屈曲對鋼構件受力有很大的影響。基于已有的試驗結果，Tian等[13]提出了一種能夠預測圓管滯回行為的非線性本構模型，該模型能夠準確地預測屈曲現象及屈曲強度退化現象。Davaan等[14]將鋼構件假定為具有塑性鉸的梁-柱單元，采用物理理論模型預測了鋼構件的滯回曲線，通過與加載試驗進行對比，評估該模型的準確性。Zheng等[15]基于物理理論模型模擬了鋼管的滯回曲線，并分析了輸電塔的倒塌模式和極限承載力，綜上所述，以上研究主要針對鋼管、工字型鋼、槽鋼或T型鋼等截面，而對等邊角鋼的滯回特性鮮有涉及。因此，為了深入研究等邊角鋼的滯回行為，有必要開展等邊角鋼的循環拉壓試驗和數值模擬。

本文選取不同規格的等邊角鋼，開展低周循環拉壓試驗，研究角鋼在軸向循環荷載下的滯回行為。基于加載試驗和數值模擬，分析了角鋼滯回特性的影響規律，提出一種非線性滯回模型，并對各分段受力表達式中的經驗參數進行擬合與優化。通過與加載試驗結果進行對比，驗證了該滯回模型的精確性。

1 角鋼構件低周往復拉壓試驗

基于DL/T 5154—2012《架空輸電線路桿塔結構設計技術規定》[16]，選取15種不同截面尺寸、長細比和兩端約束的角鋼，開展低周往復拉壓試驗。角鋼的鋼材采用Q235和Q345。長細比的取值范圍為50～140，長度變化范圍為1 000～4 500 mm。兩端約束包括單肢焊接、雙肢焊接和雙螺栓連接。單肢焊接為等邊角鋼的一個肢背焊接到節點板上，雙肢焊接為兩肢均焊接到端板上，雙螺栓連接為采用2個螺栓將角鋼的一個肢背與節點板連接。端板與節點板焊接。等邊角鋼的具體信息，如表1所示。

表1 等邊角鋼試驗構件信息

試驗采用MTS電液伺服加載試驗系統進行，試驗安裝示意圖如圖1所示。角鋼兩端的端板通過高強螺栓分別與MTS作動器端頭和反力架相連。反力架通過千斤頂、壓梁和擋梁固定在地面上。為了限制MTS作動器端部的球鉸轉動，設置了約束板和滑動裝置。約束板上部與MTS作動器端頭通過高強螺栓相連，下部與固定在地面上的滑動裝置焊接。約束板的移動方向與角鋼的長度方向一致，使得MTS作動器能夠沿角鋼的長度方向施加指定的位移荷載。部分角鋼構件的試驗安裝如圖2所示。

圖1 試驗安裝示意圖

(a) 構件5(截面L63×5，λ=80，雙螺栓連接)

試驗過程采用位移加載，角鋼依次經歷受拉峰值位移和受壓峰值位移，最終卸載到最初位置。根據ECCS加載制度[17]，彈性段的每級荷載循環一圈，速率為0.05 mm/s；塑性段的每級荷載循環三圈，速率為0.2 mm/s。通過調整屈服位移δy的比例系數確定每級荷載的峰值位移δ。不同角鋼的屈服位移δy見表1，試驗加載制度如圖3所示。通過開展循環加載試驗，得到角鋼在軸向循環拉壓荷載下的變形模式、力-位移關系曲線和能量耗散量等參數，進而研究角鋼的滯回特性。

圖3 試驗加載制度

按照GB/T 2975—2018《鋼及鋼產品力學性能試驗取樣位置及試樣制備》[18]，在角鋼母材中切取鋼板，加工材性試樣并進行單向拉伸試驗。根據鋼材強度和角鋼規格，將材性試樣分為6組，每組3個試樣。測定的力學性能指標包括屈服強度、極限強度、伸長率等。試驗結果取3個試樣的平均值。材性試樣的尺寸信息及試驗結果如表2所示。材料試樣破壞圖如圖4所示。

表2 材性試驗結果

圖4 材性試樣破壞圖

2 角鋼有限元模擬與試驗對比

在有限元軟件ABAQUS中采用實體單元C3D8R建立了角鋼構件精細化模型，如圖5所示。Q235和Q345角鋼的材料本構參數采用表2中的材性試驗數據。為了提高計算效率，高強螺栓采用B31梁單元模擬，螺栓兩端節點分別與角鋼和連接板的表面采用Coupling約束，角鋼和連接板的接觸面采用摩擦接觸和硬接觸模擬，焊縫連接采用TIE約束模擬。角鋼的一端固定，另一端僅釋放沿軸線方向的約束。在螺栓桿中施加預緊力，隨后將加載試驗中的軸向位移荷載施加到角鋼端部。

圖5 角鋼有限元模型

考慮幾何與材料非線性，模擬了不同端部約束和長細比下角鋼的軸力-位移(F-δ)滯回關系，并與循環加載試驗數據對比，如圖6所示。角鋼的軸力F和位移δ分別通過屈服荷載Fy和屈服位移δy進行標準化。角鋼在低周循環荷載下呈現出復雜的滯回行為：當加載位移較小時，角鋼處于彈性階段；隨著加載位移逐漸增大，角鋼受拉并達到屈服；在受壓達到屈曲臨界承載力后，由于角鋼跨中出現明顯的彎曲變形，此時進入受壓后屈曲階段且承載力逐漸降低；當受壓卸載并反向受拉加載時，角鋼的剛度明顯降低且逐漸增大；再次受壓并達到屈曲后，受壓承載力明顯降低。

通過圖6可以看出，長細比越大，滯回曲線越不飽滿，角鋼首次發生屈曲時的受壓承載力越小，且再次屈曲后的承載力退化和反向受拉加載段的剛度退化更明顯。當長細比一定時，不同端部約束方式(單肢焊接、雙螺栓連接和雙肢焊接)對角鋼構件的滯回曲線影響較小。采用有限元模型預測的力-位移滯回關系與試驗數據基本一致。圖7給出了角鋼變形模式對比。可以看出，有限元模型與加載試驗得到的角鋼變形模式基本一致，角鋼跨中均出現了明顯的彎曲變形，且角鋼的兩端和跨中處應力較大。因此，角鋼有限元模型具有較好的模擬精度，為不同截面尺寸、長細比和兩端約束的角鋼參數分析奠定了基礎。

3 非線性滯回模型

3.1 非線性滯回模型提出

如前所述，由于角鋼構件受壓發生失穩，角鋼在低周循環荷載下表現出復雜的滯回行為。基于角鋼構件的加載試驗結果和數值模擬，考慮受壓屈曲效應和塑性應變累積效應，擬合得到了一種能夠預測角鋼滯回行為的非線性滯回模型，如圖8所示。

(a) 試驗角鋼屈曲

圖8 非線性滯回模型

角鋼首先彈性受拉，到達A點時發生屈服，隨后進入應變硬化階段(即AB段)；在B點卸載到應力為0，此時角鋼產生較大的塑性變形；當角鋼受壓并處于D點時，角鋼首次達到屈曲臨界承載力，持續受壓導致角鋼跨中出現明顯的側向變形，角鋼進入受壓后屈曲階段(即DM段)，且受壓承載力逐漸降低；當受壓卸載并反向受拉加載(即FGHI段)時，由于跨中仍存在較大的側向變形，與受拉彈性段(即OA段)相比，角鋼的剛度明顯降低；持續受拉使得角鋼的剛度逐漸增大，并在H點時拉直；在I點再次達到屈服，隨后進入受拉應變硬化階段(即IJ段)；角鋼再次受拉卸載到0并反向受壓加載到L點時，角鋼重新達到受壓屈曲臨界承載力，由于在歷史循環中塑性應變的不斷累積，使得L點處的受壓屈曲承載力明顯降低；當超過M和N點對應的臨界應變時，角鋼發生失效。

通過圖8可以看出，該非線性滯回模型由多條分段線組成，且每條分段線呈現了角鋼在不同受力狀態下的物理行為，包括受拉屈服及應變硬化現象、受壓屈曲及后屈曲階段、反向受拉加載時的剛度退化現象和受壓屈曲承載力退化現象。為了分析低周循環荷載下角鋼構件的滯回行為，推導了每條分段線的應力-應變(σ-ε)關系表達式。

3.1.1 受拉段

當角鋼受拉且從彈性進入塑性階段(即OAB段)時，應力-應變關系表達式為

(1)

式中：σy是屈服強度；E是彈性模量；εy是屈服應變，εy=σy/E；κ是AB段剛度的轉化系數；εN是N點對應的應變。

3.1.2 受壓后屈曲段

角鋼的截面尺寸、長細比和兩端約束對受壓穩定性有很大的影響[19]。在ABAQUS軟件中建立不同截面尺寸、長細比、兩端約束和材料強度的角鋼構件有限元模型，進行Risks非線性屈曲分析得到角鋼的屈曲臨界承載力，其中初始缺陷設為L/1 000(L為角鋼長度)。圖9給出了不同通用長細比λn下的受壓穩定系數φ樣本點及擬合曲線，且擬合公式為

(2)

(3)

式中：λ為長細比;λ=Lo/i，i為繞最小軸的回轉半徑;λn為通用長細比；Lo為計算長度。

圖9 穩定系數擬合

角鋼持續受壓達到屈曲臨界承載力，隨后進入受壓后屈曲階段。角鋼受壓達到屈曲承載力之前，應力隨應變線性變化；角鋼發生屈曲后，由于軸力與附加彎矩的共同作用，受壓后屈曲階段的應力-應變關系呈現非線性，假設可以用指數函數[20]表示，則受壓段的應力與應變關系為

(4)

(5)

η1和η2對角鋼受壓后屈曲階段的應力-應變關系有很大的影響，定義η1和η2均與通用長細比λn有關[21]。對不同規格的角鋼進行受壓加載模擬分析，得到多組η1和η2的樣本點，并對這些樣本點進行回歸擬合，確定η1和η2與通用長細比λn的關系。η1和η2的樣本點如圖10所示。η1和η2的計算公式分別為

η1=-180.877+532.191e-0.240λn

(6)

η2=63.913-683.403e-0.455λn

(7)

3.1.3 受壓卸載-受拉反向加載段

由于角鋼跨中在受壓后屈曲階段(即EM段)發生了較大的側向變形，當在F點卸載時，受壓卸載段(即FG段)的斜率明顯小于受拉卸載段(即BC、JK段)的斜率，且隨著塑性應變的不斷累積逐漸減小[22]。因此，將彈性模量E轉化為FG段剛度的轉化系數(可由下式計算

(8)

(9)

式中：σF和εF分別為F點時對應的應力和應變；κ為AB段剛度的轉化系數。

(a) η1與通用長細比λn的關系

因此，受壓卸載FG段的應力與應變關系為

σ=σF+νE(ε-εF)

(10)

在G點沿GHIJ段受拉反向加載，達到I點時再次屈服并進入應變硬化階段。由加載試驗和數值模擬結果可知，角鋼的長細比對GHI段的變化斜率有很大的影響，角鋼的長細比越大，GHI段的斜率變化通常越快。因此，考慮角鋼長細比的影響，GHIJ段的應力與應變關系為

(11)

(12)

(13)

式中：εH和σH分別為H點對應的應變和應力；εG和σG分別為G點對應的應變和應力；χ為HI段剛度的轉σ化系數；εI和σI分別為I點對應的應變和應力；εN為N點對應的應變；ξ1和ξ2對HI段的斜率變化有很大的影響，定義與通用長細比λn有關，則ξ1和ξ2可分別由式(12)和(13)計算。

3.1.4 屈曲承載力退化

通過圖6的加載試驗和數值模擬對比結果可以看出，角鋼在低周循環拉壓荷載下，首次達到屈曲時的受壓承載力最大；更大的循環位移荷載使得角鋼塑性應變不斷增加，導致受壓屈曲承載力逐漸降低[23]。考慮到角鋼長細比與累積塑性應變的影響，將屈曲承載力的降低程度定義與通用長細比λn和歷史循環中最大塑性應變εp有關。圖11給出了角鋼屈曲承載力與λnεp的樣本點，并對這些樣本點進行參數擬合，則再次循環加載時角鋼的屈曲承載力采用下列公式計算

(14)

(15)

圖11 θ和λnεp的擬合曲線

3.2 非線性滯回模型對比與驗證

利用Fortran語言編制了該非線性滯回模型的VUMAT用戶子程序，在ABAQUS軟件中采用B31梁單元建立角鋼構件有限元模型，通過定義用戶材料參數調用該非線性滯回模型。基于動力顯式分析算法，模擬了角鋼在低周循環拉壓荷載下的滯回行為，并與實體單元模擬結果和試驗結果進行對比，如圖12所示。可以看出，采用非線性滯回模型和實體單元得到的角鋼軸力-位移滯回曲線均與試驗結果吻合較好，滯回模型和實體單元能夠準確模擬角鋼的受拉屈服和應變硬化行為、受壓屈曲和后屈曲行為，而實體單元得到的受壓卸載-反向受拉加載段的剛度退化更加明顯。通過與循環試驗和實體單元模擬結果對比，驗證了該非線性滯回模型具有良好的模擬能力。

由滯回模型、實體單元和循環試驗得到的角鋼滯回耗能量對比如圖13所示。隨著循環次數的增加，角鋼滯回耗能量逐漸增大。由于受壓卸載-反向受拉加載段的剛度退化程度存在差別，導致滯回模型和實體單元預測的角鋼滯回耗能量與加載試驗結果略有不同。滯回模型預測的滯回耗能量略大于試驗結果，但是最大誤差在8%以內。角鋼剛度退化曲線如圖14所示。剛度退化行為定義為相同位移幅值下所對應的環線剛度[24]。可以看出，長細比越大，剛度越小，剛度隨著加載位移的增加而逐漸退化，且滯回模型和實體單元得到的剛度退化曲線與試驗結果基本吻合。

另一方面，利用非線性滯回模型預測角鋼的滯回行為時，角鋼采用B31梁單元模擬，單元數量僅有1個；而采用實體單元對角鋼建模時，單元數量超過3 000個。通過與試驗結果對比，驗證了兩種分析方法均具有可靠的模擬能力，而滯回模型大大提高了計算效率并降低了計算成本。格構式角鋼鐵塔由大量不同規格的角鋼構件組成，對角鋼鐵塔采用常規的建模方法不僅難以收斂且計算成本較大。因此，將該非線性滯回模型應用到角鋼鐵塔的數值模擬中，能夠為角鋼的滯回特性分析和角鋼鐵塔的承載性能評估提供高效且可靠的方法。

4 結 論

本文提出了一種非線性滯回模型模擬角鋼在軸向循環荷載下的滯回行為。基于角鋼的滯回特性，推導了該滯回模型中每條分段線的應力-應變關系表達式。通過與加載試驗結果進行對比，評估了該滯回模型的模擬能力。通過以上分析，主要得到以下結論：

(1) 由于屈曲效應，角鋼在低周循環荷載下呈現出不對稱的受壓和受拉行為。長細比是影響角鋼屈曲行為、強度和剛度退化現象的關鍵因素，而單肢焊接、雙螺栓連接和雙肢焊接對角鋼的滯回特性影響較小。

(2) 基于低周循環加載試驗，驗證了采用實體單元建立的角鋼有限元模型能夠準確預測角鋼在循環荷載下的滯回曲線和變形模式，為后續的參數擬合和優化提供依據。

(3) 基于循環加載試驗和有限元模擬結果，提出了一種角鋼非線性滯回模型，該滯回模型真實地呈現出角鋼在循環拉壓荷載下復雜的滯回物理特性：受拉屈服及應變硬化現象、受壓屈曲及后屈曲階段、剛度退化現象和受壓屈曲承載力退化現象。

(4) 通過與循環加載試驗對比，驗證了非線性滯回模型和實體單元均能夠準確地預測角鋼的滯回曲線、剛度退化和滯回耗能量，而非線性滯回模型模擬結果準確、建模過程簡單且計算效率高，能夠為角鋼的滯回特性研究提供高效且可靠的分析方法。