嵌入雙層阻尼薄膜共固化復合材料帶筋結構的自由振動

王紹清， 鄭長升 ， 梁 森

(1. 聊城大學 機械與汽車工程學院， 山東 聊城 252000； 2. 濰坊科技學院， 智能制造學院， 山東 濰坊 262700；3. 青島理工大學 機械與汽車工程學院， 山東 青島 266000)

隨著國內外高新技術的迅猛發展，材料的使用環境也越來越惡劣，高性能系統對于材料本身在輕量化與阻尼性能方面的要求也越來越苛刻，使得傳統復合材料已經不能滿足其復雜環境下動力學性能的需求。如何在增加結構剛度和承載能力的前提下，大幅度地提高復合材料加筋結構阻尼性能是目前航空、航天以及精密儀器等領域未來的研究方向[1-2]。

目前對阻尼結構動力學性能研究方法主要有數值仿真、試驗研究以及理論研究。賀紅林等[3]建立了阻尼板的計算模型，分析了不同材料和尺寸參數結構的振動特性。Huang等[4]利用有限元的方法對約束阻尼梁結構的振動特性進行了分析，將求解的動力學性能參數同試驗結果對比驗證了數值結果的正確性，研究了結構參數對約束阻尼梁動力學性能的影響。張少輝等[5]在考慮復合材料層對振動能量的耗散情況下，利用模態應變能有限元的方法對共固化阻尼復合材料梁結構損耗因子進行了求解，將求解結果同已發表的文獻對比驗證了有限元模型的有效性，給出了提高該結構損耗因子的途徑。該方法計算結果精度會隨單元格大小浮動，且隨著層數的增加，振動方程自由度數的增加，有限元方法局限性更加明顯。翟彥春等[6]在考慮面板層和芯層轉動慣性項對計算結果的影響情況下，利用哈密頓爾原理對嵌入單層阻尼的共固化復合材料結構的動力學性能進行了研究。劉嵐等[7]在考慮阻尼材料頻變特性的情況下，對附加阻尼結構的振動響應進行了計算，并通過試驗驗證了所計算模態參數的有效性。Kolahchi等[8]將精細zigzag理論(RZT)、正弦剪切變形理論(SSDT)以及一階剪切變形理論(FSDT)相結合研究了嵌入式納米三明治板的靜動力學性能，提出了一種新的數值方法，用該方法對結構的固有頻率和臨界屈曲載荷進行了求解。孫巍等[9]對復合材料加筋夾層板的動力學性能進行了研究，探討了不同的加筋方案對結構振動特性的影響。Kamareh等[10]將試驗方法和數值模擬相結合研究了加強筋位置對復合材料加筋板力學性能的影響。

綜上所述，約束阻尼結構、嵌入單層阻尼薄膜復合材料結構以及傳統復合材料加筋結構的研究報道較多[11-16]。嵌入單層阻尼薄膜復合材料結構有一定剛度損失，承載能力有限；傳統加筋復合材料結構剛度較大，但結構能量耗散能力有限。嵌入雙層阻尼薄膜共固化復合材料帶筋結構(co-cured and stiffened composite structure with double-layer damping membranes embedded，CSCSDDME)兼具大阻尼和高剛度的優點，對于噪聲和振動的控制以及設備工作精度的提高具有重要的意義，在航空航天、汽車、仿生以及船舶等領域具有廣闊的應用前景，如機翼、船體甲板和車身面板等。由于該結構比較復雜，理論建模需要考慮大量的變量，目前對該結構動力學性能的研究鮮有文獻報道。

本文將一階剪切變形理論與瑞利-里茲法相結合研究了嵌入雙層阻尼薄膜共固化復合材料帶筋結構的振動特性，計算了該結構的固有頻率和損耗因子，獲得了其隨結構參數的變化規律，為輕質大阻尼復合材料結構優化設計提供了理論支撐。

1 模型描述與基本假定

為推導CSCSDDME動力學控制微分方程，對其作如下假設：

(1) 層與層之間結合理想，無縫隙無滑動；

(2) 筋條高度遠小于主體結構的尺寸；

(3) 垂直板面變形忽略；

(4) 各層之間的位移關系符合分段連續折線模式。

CSCSDDME面內位移如圖1 所示，其中hi表示第i層的厚度，hb為加強筋的高度，u(k-1)、u(k+1)和u(K+3)分別代表復合材料層中面上點在x方向的位移，u(k)和u(k+2)分別代表阻尼層中面上點在x方向的位移；α(k-1)、α(k+1)和α(k+3)分別代表板內復合材料層中面法線繞x軸的轉角，α(k)和α(k+2)代表板內阻尼層中面法線繞x軸的轉角。本文研究對象為嵌入雙層阻尼薄膜的復合材料帶筋結構，k取2。

圖1 CSCSDDME幾何尺寸

2 主體結構的幾何方程和本構關系

根據上述假設和一階剪切變形理論，結構各層任意一點位移可表示為

(1)

(2)

(3)

由于CSCSDDME層和層之間為理想粘接，無縫隙無滑動，可知阻尼層和復合材料層位移關系如下式所示

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，k為偶數(k=2,4)

結構第i層的位移-應變關系表示如下

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

各層的應力-應變關系表示為

(13)

(14)

3 加強筋的應變方程

CSCSDDME如圖2所示，a和b分別代表結構的長和寬，hb為加強筋高度，c為加強筋的寬度，h為薄板總厚度，Cx為兩筋條x方向距離，Cy為兩筋條y方向距離，基于Timosimko梁理論建立加筋板的力學解析方程，平行于x軸方向筋條的位移表達式為

Ub(x,y,z)=ub(x,y0)+zα1(x,y0)

(15)

Vb(x,y,z)=vb(x,y0)+zβ1(x,y0)

(16)

Wb(x,y,z)=wb(x,y0)-yβ1(x,y0)

(17)

式中：Ub，Vb，Wb分別為加強筋上任一點在x，y，z方向的位移；ub，vb，wb分別表示加強筋中面上各點在x，y，z方向的位移。

平行于y軸方向筋條位移表達式為

Ub(x,y,z)=ub(x0,y)+zα1(x0,y)

(18)

圖2 CSCSDDME示意圖

Vb(x,y,z)=vb(x0,y)+zβ1(x0,y)

(19)

Wb(x,y,z)=wb(x0,y)-yβ1(x0,y)

(20)

建立加強筋中面上各點的位移和板中面上各點的位移關系，具體如下式所示

ub=u1-eα1

(21)

vb=v1-eβ1

(22)

wb=w

(23)

式中，e為加強筋中面與板中面的距離，平行于x軸加強筋位移-應變關系表示如下

(24)

(25)

(26)

εy=εz=0,γyz=0

(27)

平行于y軸加強筋位移-應變關系表示如下

(28)

(29)

(30)

εx=εz=0,γxz=0

(31)

4 控制微分方程的推導

根據應力-應變關系式，主體結構應變能和動能，如下式所示

(32)

(33)

忽略加強筋中面的剪切作用，將加強筋條的應變能和動能平均分布到CSCSMDME的主體結構上，其應變能和動能分別表達為

(34)

(35)

(36)

(37)

式中：kx和ky為加強筋在x方向和y方向的修正系數；Ix和Iy分別為加強筋對x軸和y軸的慣性矩；Ax以及Ay為平行于x軸和y軸的筋條的截面積；Jx和Jy為扭轉系數。

(38)

(39)

四邊簡支嵌入雙層阻尼薄膜共固化復合材料帶筋結構的自由振動邊界條件為

當x=0,a時，邊界條件如下式所示：

(40)

當y=0,b時，邊界條件如下式所示：

i=1,3，5

(41)

根據Navier型解法，滿足四邊簡支邊界條件的位移函數表達式為

ui(x,θ,t)=Uicos(nπx/a)sin(mπy/θ0)eiw*t

vi(x,θ,t)=Visin(nπx/a)cos(mπy/θ0)eiw*t

w(x,θ,t)=Wsin(nπx/a)sin(mπy/θ0)eiw*t

αi(x,θ,t)=Ficos(nπx/a)sin(mπy/θ0)eiw*t

βi(x,θ,t)=Hisin(nπx/a)cos(mπy/θ0)eiw*t

i=1,3，5

(42)

利用瑞利-里茲法求解固有頻率和模態損耗因子，如下式所示

(43)

(44)

(45)

(46)

i=1,3,5

(47)

在MATLAB中計算并將計算結果簡化成矩陣形式

M(ω*)2X=(K+jC)X

(48)

式中：M表示質量矩陣；(K+jC)表示剛度矩陣；

X=(U1,U3,U5,V1,V3,V5,W,F1,F3,F5,H1,H3,H5)T

嵌入雙層阻尼薄膜共固化復合材料帶筋結構的固有圓頻率和損耗因子按下式進行計算

(49)

5 算例分析與討論

為驗證本文理論方法的有效性，應用模態應變能有限元法分別計算CSCSDDME前三階固有頻率和一階損耗因子，將ANSYS仿真結果同理論求解值進行比較，復合材料和粘彈性材料參數分別如表1和表2所示。該試件上下蒙皮層厚度均為1 mm，芯層厚度為1 mm，嵌入兩層厚度為0.12 mm的阻尼薄膜，結構的長和寬都為400 mm，板單元類型選為Solid185，加強筋單元采用Beam 2 node188單元，筋條尺寸和材料參數如表3所示。結構的長度和寬度方向各劃分22個單元，厚度方向劃分為5個單元(纖維增強復合材料層厚度方向劃分3個單元，阻尼層厚度方向劃分2個單元)，有限元模型如圖3所示，將式(43)～(49)計算的固有頻率和損耗因子和ANSYS仿真結果進行比較，如表4所示。前三階階模態振型的理論計算結果與數值仿真結果的對比如圖4所示。

圖3 有限元模型

表1 復合材料參數

表2 黏彈性材料參數

表3 加強筋材料參數與尺寸

表4 計算結果對比

由表4和圖4知：由于理論所做的基本假定、有限元模型中單元格大小以及節點數量的影響，有限元計算出的固有頻率、損耗因子以及模態振型與本文算法計算的固有頻率、損耗因子以及模態振型有一定差異，但兩種方法求解結果基本是吻合的，驗證了解析模型和解析方法的有效性。為了觀察到不同材料參數和幾何參數對試件固有頻率和損耗因子影響，下面應用已驗證的理論方法探討結構不同參數對CSCSDDME動力學性能的影響規律。

5.1 筋高度對CSCSDDME振動特性的影響

將嵌入式共固化雙層阻尼薄膜復合材料帶筋結構作為算例來研究加強筋的高度對結構基頻和一階損耗因子的影響。h1、h3以及h5分別代表上蒙皮層、復合材料芯層以及下蒙皮層厚度，h2和h4分別為上阻尼層和下阻尼層厚度。取不同的筋高度hb，利用瑞利-里茲法求解不同hb對應加筋結構的基頻和一階損耗因子，結果如圖5和6所示。

圖5 加強筋高度對結構基頻的影響

圖6 加強筋高度對結構一階損耗因子的影響

由圖5和圖6知：結構的一階固有頻率隨著筋條高度的增大而增大，筋條彈性模量較大結構的基頻值較大；隨著筋條高度hb的增大，一階損耗因子先減小，然后趨于平緩。原因是：隨著加強筋高度hb的增大，結構的抗彎截面模量增大，結構的剛度增大，剛度與質量的比值為固有頻率的平方，故結構的基頻隨之增大；筋條彈性模量較大結構的剛度較大，故基頻值較大；筋條高度的增大，減弱了結構動態變形中能量耗散能力，一階損耗因子隨之減小。合理地選擇加強筋的高度不僅可以提高結構的剛度，還可以提高其在動態變形過程中能量耗散的能力。

5.2 筋寬度對CSCSDDME振動特性的影響

下面研究加強筋寬度c對結構基頻和一階損耗因子的影響。圖7為不同加強筋彈性模量Eb所對應的加強筋寬度c與結構固有頻率的關系曲線圖，圖8為不同h1/h3值所對應的加強筋寬度c與結構一階損耗因子的關系曲線圖。

圖7 加強筋寬度對結構基頻的影響

圖8 加強筋寬度對結構一階損耗因子的影響

由圖7和圖8知：增大加強筋的寬度c，結構的基頻隨之增大，其一階損耗因子隨之減小，減小的速度隨著加強筋寬度的增加而逐漸放緩。原因是：隨著筋條寬度c的增大，其抗彎截面模量增大，剛度隨之增大，剛度與質量的比值為固有頻率的平方，故結構的基頻隨之增大；筋條彈性模量較大結構的剛度較大，故結構基頻較大；隨著筋條寬度的增大，動態變形中結構的能量耗散能力減弱，一階損耗因子隨之減小。

5.3 剪切模量之比對CSCSDDME振動特性的影響

在其它參數不變的情況下，研究上下阻尼層剪切模量對結構振動特性的影響規律。上下阻尼層的剪切模量分別用G2和G4表示，圖9為不同h1/h3值所對應的剪切模量之比G2/G4與結構固有頻率的關系曲線圖，圖10為不同尺寸規格帶筋板所對應的剪切模量之比G2/G4與結構一階損耗因子的關系曲線圖。

圖9 剪切模量之比對結構基頻的影響

由圖9和圖10可知：結構的固有頻率隨著兩阻尼層剪切模量的比值的增大而增大，增速隨著剪切模量比值的增大而放緩。結構的損耗因子隨著G2/G4的增大而減小，尺寸較小的板件具有較大的一階損耗因子。

圖10 剪切模量之比對結構一階損耗因子的影響

6 結 論

本章將復模量理論和分段折線位移理論相結合對CSCSDDME動力學性能進行了研究，基于納維法求解了滿足位移邊界條件的理論解，將理論解同有限元結果進行對比，驗證了理論方法的有效性，探討了幾何和材料參數對CSCSDDME動力學性能的影響規律，主要結論有：

(1) 合理地選擇加強筋的高度不僅可以提高結構的剛度，還可以提高結構在動態變形過程中能量耗散的能力。

(2) 結構一階固有頻率隨著筋條寬度的增大而增大；增大筋條寬度，結構損耗因子隨之減小。

(3) 增大兩阻尼剪切模量之比，結構的一階固有頻率隨之增大，結構的一階損耗因子隨之減小；當剪切模量比值增大到一定值時，結構的振動特性對該參量的變化不再敏感。