適應負載變化的準零剛度扭轉隔振器設計與分析

張春松， 李學勇，2，3， 張 碩， 徐定民

(1. 山東大學 機械工程學院， 濟南 250061； 2. 山東大學 高效潔凈機械制造教育部重點實驗室， 濟南 250061；3. 山東大學 機械工程國家級實驗教學示范中心, 濟南 250061)

大多數來自機器人末端執行部件[1]的扭轉振動會影響設備工作狀態(如工作精度，穩定性，精度保持性等)，而在車輛[2]、艦船[3]等設備中，來自發動機的扭轉振動會影響設備的安全性和舒適性。因此，研究如何消除扭轉振動尤其是低頻扭轉振動對設備的影響是亟需解決的問題。準零剛度(quasi-zero-stiffness, QZS)隔振技術是一種典型的低頻隔振技術，它通過將負剛度元件與正剛度元件并聯，使隔振器在靜平衡位置附近接近零剛度，與傳統線性隔振器相比，QZS隔振器在具有良好承載能力的同時，具有更寬的隔振頻帶。QZS隔振器早期主要應用于平移隔振，有多種形式，Carrella等[4-5]提出的三彈簧結構利用對稱的兩條傾斜彈簧產生負剛度，抵消豎直彈簧產生的正剛度，并研究了不同參數對該系統隔振性能的影響。Shan等[6]利用兩個環形磁鐵提供負剛度，與氣動彈簧并聯設計了一種QZS隔振器。王云峰等[7]采用兩端固支屈曲梁產生負剛度，與正剛度彈簧并聯達到QZS特性，并分析了隔振器在平衡位置達到準零剛度的條件。Zhou等[8]將QZS理論引入扭轉振動，設計了一種以凸輪-滾子機構作為負剛度機構的QZS扭轉隔振器，用于衰減扭轉振動沿軸系的傳遞。Zhang等在凸輪-滾子機構的基礎上，研究了一種可以同時衰減扭轉和平移方向的QZS隔振器，適用于螺旋槳等轉軸系統。Zheng等[9]利用環形永磁彈簧作為負剛度機構，與橡膠彈簧并聯，設計了一種QZS聯軸器，可以同時承擔傳遞靜態驅動扭矩和隔離干擾扭矩的功能，文中還詳細分析了永磁彈簧參數對隔振性能的影響。上述QZS隔振器均假定載荷是一固定值，在該載荷下，系統到達理想靜平衡位置，接近零剛度，一旦載荷發生變化，系統將偏離理想靜平衡位置，其實質是正剛度線性隔振系統，低頻隔振效果將大大降低。

近年來，關于載荷變化對QZS隔振器隔振性能影響的研究得到了廣泛關注。劉興天[10-12]等從理論上研究了載荷變化對QZS隔振器隔振性能的影響，結論表明載荷變化會導致隔振器的有效隔振頻帶變窄，隔振效果變差。Lan等[13]利用平面彈簧作為負剛度機構設計了一種QZS隔振器，可以通過手動調節正剛度彈簧的位置適應載荷變化，通過調節負剛度彈簧的剛度大小與正剛度匹配實現QZS特性。Le等[14]設計了一種結構參數可自動調節的QZS隔振器，調節機構由兩個直線電機和傳動系統組成，結構復雜。王曉杰等基于正負剛度并聯設計了一種半主動控制扭轉減振器，用于控制汽車動力傳動系統的振動和噪聲，并且可以通過調節負剛度機構的平衡位置適應發動機轉矩變化。Ye等[15]通過在豎直方向布置多個凸輪-滾子機構，設計了一種具有多個額定載荷的QZS隔振器，但是只適用于幾個特定的載荷，不適用于載荷連續變化的場合。Xu等利用電磁彈簧作為負剛度元件，與正剛度元件柔性桿并聯設計了一種QZS機器人關節執行器，用于降低機器人運行過程中扭轉振動的傳遞，可以通過電流調節負剛度的大小，適應實際工作中負載和干擾扭矩的變化。上述剛度可調的QZS隔振器均是在正剛度不變的前提下，通過調節負剛度大小或者增加負剛度單元的數量來優化隔振器的性能，這些負剛度調節方式存在結構復雜，發熱嚴重，能耗大等問題。

與已有研究不同，針對負載可變的轉軸系統，本文提出一種正、負剛度可以同步調節的QZS隔振器實現原理，通過調節正剛度適應不同載荷，通過調節負剛度與正剛度匹配使隔振器在不同載荷下接近零剛度，且正、負剛度調整由一個機構同步實現，結構簡單。正、負剛度單元分別采用彈簧片和環形永磁彈簧，并提出通過改變永磁彈簧內、外環軸向相對位置實現負剛度調節的原理。利用等效磁荷法建立了磁彈簧扭矩計算模型，分析了磁彈簧剛度與軸向相對位置的關系，利用諧波平衡法分析了不同載荷狀態下激勵幅值和阻尼對系統動態特性的影響，制作了物理樣機，驗證了隔振器的靜力學特性。

1 工作原理和靜力學分析

1.1 隔振器工作原理

剛度可調的正負剛度并聯隔振器如圖1所示，主要包括正剛度機構彈簧片、負剛度機構扭轉磁彈簧和剛度調整機構。彈簧片一端固定在輸入端外殼上，另一端通過輸入觸頭將輸入端扭矩傳遞到輸出軸，提供正的扭轉剛度，如圖1(a)所示。扭轉磁彈簧由N對(N為偶數)磁極組成，磁極被徑向磁化且磁化方向交替變化，外磁環固定在輸入端外殼上，內磁環固定在花鍵套上，花鍵套與輸出軸之間通過花鍵連接，兩者之間可以軸向相對移動，不能相對轉動，因此磁彈簧可以將扭矩從輸入端外殼傳遞到輸出軸，提供負的扭轉剛度，如圖1(b)所示，圖1(b)所示狀態是隔振器的理想工作位置，此時磁彈簧提供的扭矩為0，隔振器的總恢復力矩全部由彈簧片提供，當載荷發生變化，隔振器將偏離理想工作位置，此時可以通過本文設計的剛度調節機構調節系統剛度，適應載荷變化。剛度調節機構主要由電機和絲杠螺母組成，電機、輸入觸頭和花鍵套通過螺栓固定在一起，當電機轉動，可以通過絲杠螺母機構同時調節內外磁環的軸向相對位置和彈簧片的有效作用長度，從而實現正、負剛度的同步調節，如圖1(c)所示。

(a) 正剛度機構

1.2 磁彈簧負剛度調節原理

本文采用扭轉磁彈簧作為負剛度元件，為了實現負剛度可調，提出通過改變扭轉磁彈簧內、外環軸向相對位置實現負剛度調節的方案。

首先考察如圖2所示兩個磁鐵間的扭矩，內環磁鐵內外半徑分別為r1和r2，內外表面分別記為1和2，夾角為θi，高度為b，外環磁鐵內外半徑分別為r3和r4，內外表面分別記為3和4，夾角為θj，高度為a。P、M分別為表面2和表面3上的任意一點，假設內外環磁鐵的剩余磁感應強度Br相同，根據等效磁荷理論[16]，P、M之間磁力的周向分量可以表示為

(1)

式中，μ0=4π×10-7為真空磁導率。σm1和σm2分別表示兩個磁鐵的面磁荷密度，對于徑向磁化的的磁鐵，σm1=σm2=Br,rpm表示P、M兩點間的距離，eθ表示與P點切線方向相同的單位向量，根據幾何關系

(2)

因此，表面2和表面3之間作用力對中心軸的扭矩可以由下式計算

(3)

假設同級磁極之間磁力為正，異級磁極之間磁力為負，則圖2所示兩個磁鐵之間的扭矩為4個表面相互作用扭矩的疊加，總扭矩為

Tij=T23-T24-T13+T14

(4)

圖2 磁彈簧計算模型

對于由N對磁極組成的扭轉磁彈簧，磁彈簧恢復力矩由Tm下式計算

(5)

扭轉磁剛度Km可以通過式(5)對θ求導得到

(6)

式(5)可以通過MATLAB進行數值計算，為了驗證解析計算的正確性，利用Maxwell有限元分析軟件對扭轉磁彈簧的扭矩進行計算，仿真模型如圖3(a)所示，圖3(b)給出了一個轉動周期內的解析結果和有限元分析結果的對比，解析結果與有限元分析得到的結果基本吻合，因此驗證了磁彈簧扭矩表達式(5)的正確性。

(a) 磁彈簧仿真模型

文獻[9]對磁極對數、間隙、角度、厚度和長度對扭轉磁彈簧剛度特性的影響做了深入分析，分析結果表明，通過選擇合適的內外環磁鐵角度，可以在平衡位置附近較大轉角范圍內獲得穩定的負剛度，從而降低磁彈簧剛度在平衡位置附近的非線性，其他參數主要影響負剛度數值的大小。

假設外磁環固定，內磁環軸向位置為L，L=0表示內、外環軸向位置重合，磁彈簧在不同L下的扭矩特性只需相應改變式(3)中積分限b1,b2的值即可求得。根據文獻[9]中磁極參數對磁彈簧扭轉剛度特性的影響，結合試驗條件，最終本文采用的磁彈簧參數設置如下：N=8，Br=1.17T,θi=30°，θj=45°，a=22 mm，b=22 mm，r1=25 mm，r2=30 mm，r3=35 mm，r4=40 mm。利用式(5)和(6)可以求得扭轉磁彈簧剛度與內外磁環相對軸向位移L的關系，結果如圖4所示。從圖4(a)中可以看出，當相對角位移為-0.1～0.1 rad時，磁彈簧具有穩定的扭轉剛度，此區間可以看作隔振器的有效工作區間，圖4(b)為扭轉磁彈簧平衡位置剛度與內、外磁環相對軸向位移的關系，L越大，負剛度值越小。

(a) 扭轉剛度-相對角位移曲線

1.3 正負剛度匹配與零剛度特性

當隔振器相對角位移較小時，正剛度元件彈簧片產生的恢復扭矩Tl可以采用懸臂梁模型近似計算

(7)

式中：n為彈簧片數量；E為彈簧片的彈性模量；w為彈簧片截面寬度；h為截面厚度；R為彈簧片中心到輸出軸軸心的距離；B為彈簧片的有效作用長度。

彈簧片提供的正剛度Kl為

(8)

由式(8)可知，彈簧片數量、材料、截面尺寸和安裝位置一旦確定，彈簧片的剛度僅由有效作用長度B決定，根據并聯剛度疊加原理，隔振器的總扭矩和總剛度分別為

T(θ)=Tm(θ)+Tl(θ)

(9)

K(θ)=Km(θ)+Kl

(10)

為了方便研究彈簧片參數對隔振器總剛度特性的影響，將式(8)改寫為

(11)

式中，A=nEwh3R2/4。

當A一定，彈簧片有效作用長度初始值B0(對應L=0)對隔振器平衡位置剛度的影響如圖5(a)所示，當B0較小時，彈簧片提供的正剛度較大，使得在整個位移調節區間內，平衡位置附近的剛度較大，而當B0較大時，剛度較小，甚至會出現負剛度，使系統處于不穩定狀態，這在隔振器設計中是不允許出現的。當B0一定，A對隔振器平衡位置剛度的影響如圖5(b)所示，參數A較小時隔振器總剛度會出現負剛度，A較大時，隔振器總剛度較大?？傊瑸榱嗽谡麄€調整區間內獲得較小的隔振器剛度，同時保證剛度大于0，需要根據磁彈簧剛度特性綜合選取合適的A和B0。

圖5 不同參數對隔振器剛度匹配特性的影響

Fig.5 Influence of different parameters on stiffness matching characteristics of vibration isolator

根據1.2章中扭轉磁彈簧的剛度特性，令A=1.4×10-3，B0=41 mm，得到隔振器在不同軸向位移L下的剛度特性曲線，如圖6所示。從圖6(a)中可以看出，隔振器在-0.1～0.1 rad內具有相對穩定的剛度值，且剛度值較小。圖6(b)為隔振器在平衡位置處的剛度與軸向位移的關系，由于磁彈簧剛度和彈簧片剛度隨軸向位移L的變化趨勢不完全一致，導致在剛度調整范圍內隔振器平衡位置的剛度并不是一個常數，而是在接近為0的小范圍內變化，這種剛度變化對隔振器隔振性能的影響將在動態特性分析中進行討論。圖6(c)所示為不同軸向位移位置對應的隔振器靜態負載。

(a) 隔振器剛度-角位移曲線

2 隔振器動態特性分析

2.1 建立動力學模型

隔振器的剛度和扭矩表達式是積分形式的，不利于進行動力學分析，首先對總剛度表達式(10)進行多項式擬合，由于總剛度K(θ)是關于θ的偶函數，可以采用下式進行多項式擬合

(12)

對式(12)進行積分，可以得到隔振器的總扭矩表達式

(13)

式中，ki為剛度多項式系數，mi=ki/(2i+1)。當隔振器參數確定，ki和mi隨著相對軸向位移L變化。以1.2節中的磁彈簧參數和1.3節中的彈簧片參數為基礎，利用式(1)～(10)可以求得隔振器總剛度的數值解，然后采用六階多項式逼近總剛度，得到不同軸向位移L下的剛度多項式系數，如表1所示。圖7為六階多項式解與數值解的對比，可以看出，多項式解與數值解基本吻合，因此可以用六階多項式代替原表達式。

表1 剛度多項式系數

假設隔振器輸入端轉角為θ1，輸出端轉角為θ2，I1,I2分別為輸入端和輸出端的轉動慣量，隔振器的相對轉角可以表示為θ=θ2-θ1，輸入端受到干擾扭矩激勵Tdcos(ωt+α)的作用，引入黏性阻尼系數c。建立系統的動力學微分方程如下

(14)

令：κ=I2/(I1+I2)，I=κ·I1，T0=κ·Td

表達式(14)可以寫為

圖7 隔振器剛度數值解與多項式解

(15)

對式(15)進行無量綱化處理，得到

(16)

對于式(16)所示的非線性微分方程，采用諧波平衡法求解，設方程的解為

φ=φcos(βτ)

(17)

將式(17)代入式(16)可以得到

-β2φcos(βτ)-2ξβφsin(βτ)+

(18)

式(18)可以展開為包含一次諧波和高次諧波的表達式，忽略高次諧波項，并令cos(βτ)和sin(βτ)的系數相等，得到系統的幅頻響應關系為

(19)

扭矩傳遞率是衡量扭轉隔振器隔振性能的一個重要參數，定義為通過隔振器傳遞到下一級的動態扭矩幅值與激勵扭矩幅值之比，經隔振器傳遞到輸出端的動態扭矩幅值可以表示為

(20)

則隔振器的扭矩傳遞率η可以表示為

(21)

2.2 隔振性能分析

令ξ=0.02，無量綱激勵扭矩幅值t0分別為0.001，0.002和0.003，不同載荷條件下(對應不同位移L)激勵幅值對隔振器扭矩傳遞率的影響如圖8(a)～(e)所示。

分析圖8(a)～(e)可以得到如下結論：

(1) 系統扭矩傳遞率曲線整體向右彎曲，呈現為硬剛度特性，且隨著激勵幅值增加，傳遞率曲線向右彎曲程度變大，共振峰右移。

(2) 系統平衡位置總剛度越小，越容易發生跳躍現象，如圖8(a)～(c)所示，系統平衡位置附近的總剛度分別為2.1、0.8、0.1 Nm/rad，當激勵幅值分別為0.003、0.002、0.001時，系統出現跳躍現象。同時可以看出，系統總剛度越小系統的起始隔振頻率越小。因此，降低系統剛度可以提高系統的低頻隔振能力，但是同時會使系統對激勵幅值的變化更為敏感，增加系統的不穩定性。

(3) 圖8(a)和(e)兩種狀態下平衡位置附近剛度大小相近，區別主要為圖8(e)所示狀態的靜載荷更低，對比兩種狀態下的扭矩傳遞率曲線可以發現，低載荷狀態下系統的起始隔振頻率高于高載荷狀態，即當其他條件相同時，靜載荷越高，隔振器隔振頻帶越寬。

(4) 在不同載荷狀態下，與線性系統相比，隔振器均具有更低的起始隔振頻率，且共振峰值小于相應的線性系統，體現了正負剛度并聯隔振器在低頻隔振中的優越性。

如圖8(c)所示，隔振器在平衡位置附近剛度較小時，極易發生跳躍現象，降低了有效隔振頻帶，為此研究了阻尼對隔振特性的影響。當L=8 mm，激勵扭矩幅值t0為0.001時，ξ分別為0.02，0.03和0.04，阻尼對隔振器扭矩傳遞率的影響如圖8(f)所示，可以看出，當阻尼比增大，系統跳躍頻率逐漸降低直至不再產生跳躍現象。因此當系統剛度較低時，適當增加阻尼可以抑制跳躍現象，提高系統的隔振頻帶。

3 靜力學試驗

3.1 試驗裝置介紹

為了驗證方案的可行性，制作了隔振器樣機和試驗裝置，重點研究了隔振器的靜力學特性，試驗裝置如圖9所示，主要由隔振器、編碼器、扭矩傳感器、數據采集系統組成，隔振器樣機中的扭轉磁彈簧參數與1.2節中相同，根據1.3中得到的彈簧片參數對隔振器剛度的影響，彈簧片材料選用鈹青銅，具體參數如下：E=128 GPa，n=4，w=13 mm，h=0.8 mm，R=40 mm，B0=41 mm，彈簧片恰好不變形時，內磁環與外磁環的初始相對轉角θ0為5°。試驗時，通過改變質量塊的質量和質量塊在輸出連桿上的位置，可以獲得不同的靜態負載扭矩，扭矩傳感器和編碼器分別拾取隔振器的扭矩信息和轉角信息，并傳遞給數據采集系統，進而可以得到隔振器的扭矩-轉角特性曲線。通過改變扭轉磁彈簧的相對軸向位移和彈簧片的有效作用長度，進而獲得不同靜態負載下扭矩-轉角曲線。

1-質量塊； 2-輸出連桿； 3-扭矩傳感器； 4-編碼器； 5-數據采集系統； 6-計算機； 7-隔振器； 8-彈簧片； 9-磁彈簧

3.2 試驗結果

分別對僅有扭轉磁彈簧作用和正負剛度元件同時作用進行了靜力學試驗，試驗結果取5次試驗測量結果的平均值，試驗結果與理論對比如圖10所示。

圖10(a)所示為僅有扭轉磁彈簧作用下的隔振器扭矩-轉角曲線，可以看出扭轉磁彈簧扭矩測量值小于理論計算值，產生誤差的原因主要有兩點，一是磁彈簧理論計算采用了簡化模型，二是試驗加工的磁彈簧尺寸精度不夠以及裝配誤差導致。另外試驗結果表明，通過調節磁彈簧內外環之間的相對軸向距離，可以改變磁彈簧的扭矩特性，磁彈簧內外環相對軸向距離越大，扭矩曲線斜率越小，即剛度越小，試驗結果與理論計算結果具有較好的一致性。

(a) 扭轉磁彈簧單獨作用

圖10(b)為正負剛度元件同時作用下的隔振器扭矩位移曲線，試驗結果表明，初始相對角位移為5°時，本文設計的正負剛度并聯隔振器處于理想工作位置時提供的靜態扭矩范圍為0.6～1.6 Nm，對應的軸向調節范圍為2～16 mm。

4 結 論

針對扭轉隔振中的變載荷問題，設計了一種可以同步調節正、負剛度以適應負載變化的新型準零剛度扭轉隔振器。通過靜力學分析，得到了扭轉磁彈簧扭轉剛度與內外環相對軸向位移的關系，并給出了一種參數下的隔振器剛度特性，對隔振器不同載荷狀態下的隔振性能進行了理論研究，并對隔振器的靜力學特性進行了試驗研究，得出以下結論：

(1) 扭轉隔振器在不同載荷條件下均具有較低的起始隔振頻率，扭矩傳遞率曲線反映系統剛度的硬特性，激勵幅值、系統阻尼、平衡位置剛度對系統低頻隔振特性有較大影響。

(2) 隔振器平衡位置剛度越小，其隔振頻帶越寬，但同時系統更容易產生跳躍現象，可以通過適當增加阻尼抑制跳躍現象的發生，降低扭矩傳遞率，提高隔振頻帶。

(3) 隔振器靜力學特性試驗結果表明，本文設計的扭轉隔振器可以通過一個機構同步調節正、負剛度以適應不同負載，靜載荷變化范圍約為0.6～1.6 Nm，并且在不同載荷下均具有較低的動剛度。

(4) 本文提出的剛度調節機制為解決傳統準零剛度扭轉隔振器工作載荷不可實時調節的問題提供了廣闊研究思路。