單邊碰撞分數階Rayleigh振子的隨機P-分岔

孫萬奇, 王 軍,, 申永軍,， 張建超

(1.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學 省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，石家莊 050043)

隨機分岔是非線性系統受隨機擾動所產生的一種典型的動力學現象[1-3]。隨機P-分岔作為隨機分岔的重要內容成為近年來研究的熱點之一。分岔的產生會導致結構不穩定性的出現，給設備運轉等帶來安全隱患，由此針對隨機分岔開展深入研究對動力學系統的隨機控制具有重大意義[4-5]。

鑒于分數階可以更加準確地描述非線性系統的動態響應[6-10]，因此分數階在動力學系統中的應用越來越廣泛。常宇健等[11]在對1/4汽車懸架模型的混沌運動研究中引入分數階，結果表明分數階項階數和系數對混沌邊界曲面閾值的影響較大。顧曉輝等[12]研究了2個諧波激勵作用下含分數階微分項的Duffing振子的一類組合共振，研究表明分數階微分項即具有阻尼特性又具有剛度特性,選擇合理的分數階微分項參數可以有效改善系統的響應特性。牛江川等[13]基于速度反饋分數階PID控制的單自由度線性振子的自由振動進行了研究，發現分數階PID控制的比例環節以等效線性阻尼的形式影響系統的振幅。可以發現引用分數階能夠更準確地描述系統的一些非線性特性，因而研究分數階參數對系統的影響是十分必要的。

隨機P-分岔的研究重點是分析系統不變測度的密度形狀隨參數的變化規律,可通過對平穩概率密度求極值的方法進行研究。目前，對分數階光滑系統的隨機P-分岔研究已經具有一定基礎。李亞杰等[14]研究了聯合高斯白噪聲激勵下含分數階導數項的三穩態van der Pol系統的隨機P-分岔問題。宋凱令等[15]通過電路實驗研究了含超臨界Hopf分岔和鞍結分岔的Van der Pol系統在加性高斯白噪聲激勵下的二維隨機動力學行為。Yang等[16]研究了分數階控制下噪聲雙穩態系統的隨機P-分岔，并分析了發生隨機共振的條件。Sun等[17]研究了在加法和乘法高斯白噪聲激勵下分數階阻尼振蕩器的隨機P分岔。Li等[18]研究了色噪聲激發下具有分數導數的廣義Duffing-van der Pol系統的隨機分岔，認為噪聲強度、分數階參數和相關時間的變化均能導致隨機分岔的發生。而對于含分數階的碰撞振動系統作為一個典型的非光滑系統，由于其具有復雜的動力學特性，使得適用于光滑系統的許多方法均不再適用，因而分數階非光滑碰撞振動系統的分岔行為需要更加深入的研究。Xiao等[19]對隨機激勵下具有分數階項的碰撞系統的響應進行了詳細的研究。Yang等[20-21]基于非光滑變換研究了隨機激勵下具有分數階項的van der Pol單邊碰撞振動系統的響應及隨機分岔。綜上所述，學者們對Duffing振子、van der Pol振子的隨機分岔的研究已經相對成熟。而對于Rayleigh振子的研究相對較少，對于具有分數階微分項的Rayleigh碰撞振動系統的隨機分岔的研究幾乎沒有。因此，研究含有分數階的Rayleigh振子的隨機分岔很有必要。

基于上述問題，本文對隨機激勵下含有分數階微分的Rayleigh振子單邊碰撞系統的隨機分岔進行研究，并分析各項參數對系統產生分岔的影響。首先對系統進行非光滑變換，應用隨機平均法推導系統的FPK方程并得到系統的近似解析解，進而進行數值模擬驗證解析結果的有效性，最后應用突變理論得到隨機P-分岔的臨界條件，并對分析主要參數的變化對系統分岔的影響。

1 建立模型

由于碰撞Rayleigh振子在隨機動力學中的復雜特性[22]，以及其在分數階領域內較少的研究，本文對乘性高斯白噪聲激勵下單邊碰撞的分數階Rayleigh振子進行研究，其相應的隨機微分方程可寫為

(1)

式中:ζ(t)為高斯白噪聲，滿足E[ζ(t)]=0，E[ζ(t+τ)ζ(t)]=2Dδ(τ)；f為高斯白噪聲的幅值；m，k，c，g，p，α分別為質塊質量、彈簧剛度系數、線性阻尼系數、非線性阻尼系數、分數階阻尼系數和分數階階次系數；e為碰撞恢復系數，且0

對式(1)進行無量綱化

則得到

(2)

式中，Dα[x]為Caputo意義上的分數階導數，具有以下形式

(3)

根據文獻[23]所知，與分數階導數相關的項用作經典阻尼力和恢復力。參考文獻[24]，當α→0時，分數階項可以簡化為線性阻尼和等效非線性剛度，而α→1時，分數階項簡化為黏性阻尼和等效線性剛度。

(4)

將式(4)代入式(2)，可以得到

(5)

2 非光滑變換

鑒于非光滑因素的存在對系統的研究不易直接進行，因此引入非光滑變換[25]。

(6)

故原始系統可以變換為

(7)

引用狄拉克函數，脈沖項具有以下形式

(8)

將式(8)代入式(7)，可以得到

Fyζ(t)

(9)

其中，

3 隨機平均法

根據文獻[26]，式(9)的解可以假定為

(10)

將式(10)代入式(9)，得到振幅和相位的標準方程為

(11)

其中

(12)

(13)

應用隨機平均法[27-28]，可以得到振幅對應的伊藤隨機微分方程

dA=a1(A,φ,ω0t)dt+σ(A,φ)dB(t)

(14)

其中，

(15)

對φ進行一個周期內的平均

(16)

(17)

由此

(18)

式中，B(t)為獨立的單位Wiener過程。

由式(18)可以看出振幅A不依賴于φ的變化，進而可以得到關于振幅A的Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK)方程

(19)

(20)

式中，C為歸一化常數，滿足

將式(13)代入式(20)，可以得到完整的表達式

(21)

(22)

由非光滑變化可知，系統的聯合概率密度函數為

(23)

(24)

其中，

(25)

將非光滑變換代回得到

(26)

4 數值模擬

采用Chen等提出的數值方案來模擬分數階導數，然后利用隨機數生成高斯白噪聲，最后應用龍格-庫塔法對原系統無量綱化的式(2)進行數值仿真得到數值結果，以證明解析得到的振幅概率密度函數式(20)以及聯合概率密度函數式(23)、式(24)的正確性。

設置一組參數進行模擬：e=0.5，K=-0.5，F=1，μ1=0.1，D=1，b=1，α=0.7，ω0=1。圖1分別為系統振幅、位移和速度的平穩概率密度函數圖。

(a) 振幅A的PDF

由圖1可以看到，數值解與解析解具有較好的擬合性，由此驗證了隨機平均法的有效性。并且，還可以看到位移的概率密度函數在約束處達到峰值，速度的概率密度函數是對稱的。

5 隨機分岔

為了進一步分析該碰撞振子的隨機動力學，根據前面解析得到的穩態概率密度曲線，引入突變理論，得到系統發生隨機P-分岔的臨界條件并通過穩態概率密度曲線的結構變化進行驗證。當系統穩態概率密度曲線結構發生變化時(如曲線單雙峰之間的變化等)，則系統發生了P-分岔現象。下面分別通過系統振幅概率密度曲線及位移和速度聯合概率密度曲線得到系統隨機P-分岔的臨界條件，結合數值仿真進行驗證，并分別討論分數階系數、分數階階次、線性阻尼系數、非線性阻尼系數和碰撞恢復系數的變化對系統隨機P-分岔的影響規律。

5.1 振幅概率密度的P-分岔條件

隨機P-分岔的臨界條件可以由概率密度函數的極值點的數目推斷出來。由突變理論可知[29]，極值的變化應滿足以下兩個條件

(27)

將式(21)代入式(27)整理得到分岔臨界條件方程

(28)

根據式(28)可以得(D,α),(D,e),(D,K),(D,μ1)4種參數空間的分岔臨界圖，分別對應圖2(a)、圖3(a)、圖4(a)、圖5(a)。

首先分析噪聲強度和分數階階次對系統分岔的影響。

固定其他參數K=0.8，μ1=0.1，e=0.7，b=1，F=1。由圖2(a)可以看到藍色臨界條件曲線將(D,α)平面分為兩個區域。在整個平面中取3個點(0.5,6),(0.5,7),(0.6,7)，由三個點畫出的振幅概率密度曲線可以從圖2(b)中看到，由區域上方的點得到的概率密度曲線的峰值不在A=0處，說明振子以較大的概率穩定在非零的位置。而在區域下方的點得到的概率密度曲線的峰值出現在A=0處，說明振子以較大的概率穩定在碰撞振動系統的平衡位置，即發生了隨機P-分岔。

從圖2(a)中可以看出，分岔臨界曲線在分數階階次大約0.5處達到峰值，說明在同樣的噪聲強度下分數階次為0.5會更接近分岔現象，或分叉現象更明顯。此結論可以從圖2(b)中得到證實，當噪聲強度為7時，分數階次為0.5比為0.6時的峰值更高，更接近分岔現象。

從另一個角度看，不同于(D,e),(D,K),(D,μ1)這三種參數臨界圖，(D,α)的參數臨界圖并不是單調的，這表明分數階的階次變化并不是單一的使分數階完全呈現剛性或阻尼特性，而是介于兩者之間，也以此印證了分數階的理論特性。

(a) (D,α)分岔臨界圖

其次分析e，K，μ1分別與噪聲強度對系統分岔的影響。

同樣固定其他參數，可以分別得到各自的臨界條件曲線，由圖3(a)、圖4(a)、圖5(a)可以看到，與分數階系數和噪聲強度所得到的臨界曲線不同，這三個系數與噪聲強度所得到的臨界曲線均是單調的，可以相對容易推斷出變化規律。從圖3(b)、圖4(b)、圖5(b)可以看出，當噪聲強度不變時，碰撞恢復系數越小、分數階系數越大、線性阻尼力越大會使得系統發生分岔的概率大大增加。并且從這四種變化圖整體來看，噪聲強度同樣也是影響系統穩定性的重要因素，噪聲強度越小，振幅的概率密度曲線峰值越趨近于0，也就會導致系統發生隨機P-分岔。

(a) (D,e)分岔臨界圖

(a) (D,K)分岔臨界圖

(a) (D,μ1)分岔臨界圖

5.2 位移和速度聯合概率密度的P-分岔條件

類似于振幅的穩態概率密度的P-分岔條件求解，系統位移和速度聯合概率密度的極值點數目變化條件為

(29)

將式(26)代入式(29)，得到

2ω1(e-1)-b1π=0

(30)

式(30)即為系統位移和速度的聯合概率密度發生隨機P-分岔的臨界條件。

為了研究分岔臨界條件中各個參數對系統位移和速度聯合概率密度的影響，得到了(e,α),(e,K),(e,μ1)三種參數變化所對應的P-分岔臨界曲線圖，分別如圖6(a)、圖7(a)、圖8(a)所示，而與之對應的圖6(b)、圖7(b)、圖8(b)則是在分岔臨界曲線所在平面內固定碰撞恢復系數，選取不同分數階階次、分數階系數、阻尼力得到的速度概率密度函數,圖(c)和圖(d)則是在圖(b)基礎上選取圖中變化參數中較小與較大值所得到的位移和速度的聯合概率密度三維圖。圖9是在圖8的基礎上固定阻尼力，選取不同的碰撞恢復系數值所得到的圖。

(a) (e,α)分岔臨界圖

(a) (e,K)分岔臨界圖

(a) (e,μ1)分岔臨界圖

首先，研究分數階階次α對系統的影響。

當K=-0.7，μ1=0.1，b=1.5，D=2，e=0.9時，分數階階次分別為0.2，0.5，0.8時，速度的概率密度函數曲線的峰值數量發生了變化，峰值數量由一個變成兩個，這種現象表明系統發生了隨機P-分岔，從圖6(b)中可以看出分數階階次從0.2增加到0.8時，分岔現象也越來越明顯，分數階階次從0-1變化，表明分數階項從完全阻尼到完全剛度進行轉變,綜合來看，系統的剛度越大越容易發生分岔現象。在與之對應的聯合概率密度函數圖中也清楚地看到，在分數階階次變化后，峰的形狀也由單峰變成了火山口的形狀。與振幅概率密度函數分岔臨界曲線走向一致，(e,α)臨界曲線與(e,K),(e,μ1)不同，也是非單調曲線，在一定程度上驗證了上述研究的正確性。

其次，研究分數階系數K對系統的影響。

保持其他參數不變，當α=0.9，e=0.9時，同樣可以看到K值從-0.6到-0.2的變化會引起速度概率密度函數的峰的數量由一個變成了兩個，同樣表明K值變化也會導致系統發生隨機P-分岔，可以從對應的三維立體圖更清楚地看到峰形狀的變化。

隨后研究了參數μ1對系統的影響，參數α=0.9，e=0.8固定時，μ1分別取0.1，0.2，0.3時速度的概率密度函數變化圖如圖8所示，其中取值在分岔臨界線上半部分會導致系統發生隨機P-分岔。從圖8(b)可以看出阻尼項從0.3降到0.1的過程中，系統速度的概率密度函數圖的分岔也越來越明顯，從相反角度印證了增加剛度也會使其發生分岔，驗證了分數階階次變化時其發生分岔規律的正確性。同樣為了更清楚的看到變化，從與之對應的位移與速度的聯合概率密度函數圖中可以看到圖形的形狀由單峰變為火山口的形狀。

最后研究了碰撞恢復系數e對系統的影響，與上述無異，固定μ1=0.1，α=0.9時，e分別取0.1，0.5，0.9時速度的概率密度函數變化圖如圖9所示，在碰撞恢復系數從小到大變化時，峰值個數有一個變成兩個，說明系統也在進行隨機P-分岔行為。從圖9(a)中可以看到碰撞恢復系數從0.1到0.9變化，系統速度的概率密度函數圖分岔現象越來越明顯，符合一般的動力學規律。同時可以從與之對應的位移速度聯合概率密度圖中更直觀的觀察到峰的形狀的變化，以證明所得結論的正確性。

(a) 不同恢復系數系統速度的PDF

6 結 論

本文主要研究了具有Rayleigh振子及分數階的碰撞振動系統在受高斯白噪聲激勵下的隨機P-分岔。首先對系統進行非光滑變化，然后利用狄拉克函數將碰撞條件看成脈沖阻尼，隨后對系統使用隨機平均法求得其穩態概率密度，并對其進行數值模擬對比以驗證理論研究的正確性。最后使用突變理論得到系統發生隨機P-分岔的臨界條件表達式，同時選取系統相應參數值得到的概率密度函數圖進行分析。研究結果表明：分數階系數、分數階階次、線性阻尼系數、碰撞恢復系數的變化均會誘導系統穩態概率密度函數發生隨機P-分岔。而非線性阻尼系數的變化不會使系統穩態概率密度函數發生隨機P-分岔。