基于結構圖譜的小學數學計算教學新范式

摘要 計算教學的關鍵是強化與計算相關的概念、公式、命題的理解，幫助學生從程序化操作走向理解性應用，形成靈活合理運算的自覺意識。結構圖譜能通過層次明晰的認知結構圖的呈現，幫助學生經歷知識動態發展的過程，進行不同表征內部的轉換，體現了知識產生、發展、應用的順序，在知識表征過程中形成結構化、直觀化的理解，實現對知識的理解進階。教學中針對不同知識點，以多層結構圖譜促進計算方法生長化，以多元結構圖譜促進計算理解結構化，以多維結構圖譜促進計算應用多樣化。

關? 鍵? 詞 結構圖譜 小學數學 計算教學 理解進階

引用格式 楊熠.基于結構圖譜的小學數學計算教學新范式[J].教學與管理，2022（35）：38-41.

結構圖譜是學習者針對某一學習內容，根據自己的思維過程并依據一定的關系，用簡要的文字、符號、圖形等畫出層次明晰的認知結構圖的過程[1]。有別于幾何直觀或思維導圖，結構圖譜并不只是一張靜態的圖示，而是由多種、多張圖示動態發展而成，有直線型、網狀型、輻射型等表現形態。結構圖譜可以幫助學生經歷知識動態發展的過程，進行不同表征內部的轉換，體現知識產生、發展、應用的順序，在知識表征過程中形成結構化、直觀化的理解，實現對知識的理解進階。

計算是抽象的，計算教學要強化與計算相關的概念、公式、命題的理解，幫助學生從程序化操作走向理解性應用，形成靈活合理運算的自覺意識。計算的理解與應用是一個過程，從基于已有經驗的初始理解，到思維碰撞產生的生生互動，再到結構化的理解關聯形成，最后到基于理解的遷移和運用，無不需要在多元表征基礎上建立相互之間的聯系。因此，我們需要通過直觀、結構化、生長性的結構圖譜，改進和促進小學計算教學。

一、以多層結構圖譜促進計算方法生長化

依據知識發生發展的順序和學生對知識的理解過程，可以形成線性發展的結構圖譜。學生對計算的理解是一個漸進的過程：先依據生活經驗和已有知識產生對學習內容的初步理解，接著通過交流、比較后得到計算的一般方法，再在實際應用中達成對“算法”的反復理解，實現“算法”內化。但教學中教師往往只重視通過一次圖示幫助學生理解“為什么要這樣算”，而忽略了在思維可視化背景下前期和后期的思維結構化，從而造成學生沒有經歷計算思維的生長過程，對運算意義的理解不全面。因此，在計算方法的學習過程中，需要通過思維線性推進的路徑實現理解進階。從展示學生初始思維狀況到歸納比較得出合理算法再到深入理解算法背后的算理，再到打破固定思維模式，形成靈活運算意識，最后感受算法發展歷史，體驗數學文化。

如人教版《數學》三年級下冊兩位數筆算乘法“18×12”的教學。

第一次，算法層面，鼓勵學生自由表征算法并分析不同算法的聯系與區別。

（1）學生思考，交流，匯報。教師出示點子圖，引導學生在點子圖上圈一圈，用直觀圖示表示自己的想法。

（2）小結：把其中一個因數拆成兩數相乘、相加或相減的形式，不同方法的計算結果都是相同的。按照所應用的不同運算定律進行分類，得到類似18×2×6的一類或18×10＋14×2的一類，進而明白不同計算方法背后算理的區別，加深理解。

（3）結合17×11，思考哪一種方法是計算兩位數乘兩位數的通用方法。學生討論后得出：把其中一個兩位數拆成整十數加一位數的方式是通用的計算方法。

第二次，算理層面。怎樣把上面的通用算法用豎式的形式表示出來？學生嘗試、討論，把點子圖和乘法豎式相結合，理解乘法豎式的算理（如圖2），掌握乘法豎式計算方法。

第三次，靈活應用。兩位數乘兩位數不一定要用豎式計算，如計算25×12，轉化為25×4×3計算最簡便；計算37×19，轉化為37×20－37×1最簡便（如圖3）。歸納得出：要根據數字特征，靈活選擇運算定律，使計算更簡便。

第四次，數學文化。把現在的筆算乘法和古代中國的“鋪地錦”、古意大利的“格子乘法”、古印度的“畫線法”聯系起來[2]，理解不同方法背后的道理都是一樣的，感受人民群眾的智慧和數學的魅力。

四次構圖形成關于兩位數乘兩位數的線性結構圖譜，實現了“特定題目的多樣算法→從不同算法之間的區別與聯系中找通用算法→算理理解→特定題目的靈活應用→理解數學文化”的理解進階（如圖5）。學生理解了筆算乘法作為普適性方法背后的道理，又培養了他們根據數字特征靈活運算的意識。

小學數學計算和生活聯系比較緊密，且教學內容以螺旋上升的形式編排，學生在學習計算前一般都會有一定的基礎。因此，學習計算方法時要開展多層構圖，激發學生主動參與算理理解、實踐體驗、文化滲透等活動，引發積極的內心體驗，形成靈活的運算意識，促進計算思維的生長。

二、以多元結構圖譜促使計算理解立體化

數學理解就是實現不同表征之間的轉換。計算理解需要實現文字符號、算式、實物、圖形、生活實例等多元數學表征形式的內在聯結，構成水平層面的網狀結構圖譜；同時要聯系前后相關知識點，形成縱向層面的知識發展脈絡。兩者相結合，構建立體知識體系，促進學生對算理的立體化理解。

以人教版《數學》四年級下冊乘法分配律的學習為例。

（1）不同表征方式的橫向聯結。用來說明、解釋乘法分配律的方式有很多，但其作用和論證方式不同。如通過算式驗證，是運用不完全歸納推理；舉生活實例和畫矩陣圖說明，是運用類比推理；用乘法的意義進行算理解釋，則運用了演繹推理。在小學階段，這些方式都可以用來說明和解釋乘法分配律，也都存在各自的片面和局限。而把這些表征方式聯系起來，形成網狀結構圖譜（如圖6），不同表征之間就可以互相映襯、互相解釋，融為一個整體。

（2）知識發展的縱向聯結。接著，聯系教材中與之相關的前后知識，形成知識發展脈絡圖（如圖7）。可以看到，從三年級上冊的兩位數乘一位數到多位數乘一位數，再到三年級下冊的兩位數乘兩位數，都在運用乘法分配律，而乘法分配律后續又將應用于五年級多邊形面積的計算等眾多內容。這樣，就可以建立前后知識之間的聯系，使學生理解乘法分配律在學習中的重要地位。

（3）不同運算定律的區別。把乘法分配律和最容易混淆的乘法結合律放在一起進行比較。以2×3×4和2×（3＋4）為例，通過圖形表征，幫助學生形成與算式相對應的圖形表象，使學生理解，乘法結合律相當于求若干個相同長方形的總面積（如圖8-1），乘法分配率相當于求兩個寬相等的小長方形的面積之和（如圖8-2）。避免兩者情況混淆。

（4）正誤辨析。把學生解答時的易錯點進行比較。如25×（8＋40）×125，通過下面的圖形表征，讓學生明白為什么25×（8＋40）×125=25×125×8＋25×125×40（如圖9-1）。而如果寫成：25×40＋8×125，其中25×40還可以在圖中表示，8×125則無法在圖中表示（如圖9-2）。

以上教學，基于系統化的邏輯關系，通過建立乘法分配律不同表征形式的橫向網狀結構、不同學習時期的縱向發展脈絡、不同運算定律之間的區別、正誤辨析等結構模型，形成關于乘法分配律的立體結構圖譜，促使學生更好地理解乘法分配律的意義，在實際運用時不再是機械地模仿，而是基于運算定律意義理解的活動。

多元構圖促使學生在比較和聯系中進行分析、綜合、創造，培養了學生探究數學、發現規律、應用規律的高層次數學思維能力，把計算學習重心由計算訓練引向核心素養，實現基于理解的學習。

三、以多維結構圖譜促成計算應用輻射化

數學知識只有在廣闊的場景中反復應用，才能幫助學生更好地掌握。從不同維度描述知識結構，可以使知識的作用輻射得更廣、更深刻。當前對計算應用的場景拓展程度不夠，仍處于“為計算而計算”，沒有形成“自覺運用計算知識解決問題”的意識。教師要開展創造性的實踐應用，通過輻射狀的多維結構圖譜，統籌計算內容和其他知識的關系，實現教學全過程深度優化融合，給學生提供從整體上思考的情境，使學習超越計算范疇，在問題解決中升華運算思維，建立計算教學新體系。

如“等差數列求和”，如果學生僅學習到“（首項＋尾項）×項數÷2”的計算公式，并不能幫助學生形成系統的運算思維。教學中應聯系更廣闊的應用場景，以促進學生更高層面思維的發展。

（1）求和。以計算“3＋5＋7＋…＋13”為例，結合梯形面積公式（上底＋下底）×高÷2，理解兩者之間的共同之處（如圖10-1）?；仡櫶菪蚊娣e公式的推導過程，數形相結合，進一步加深對等差數列求和方法的理解，使學生的思維從有限到無限。

（2）求項數。結合植樹問題，理解求等差數列的項數相當于求植樹問題中的棵數。如要知道數列“3＋5＋7＋…＋13”中共有幾個數，相當于求“每隔2米種一棵樹，從第3米一直種到第13米（兩端都種），一共有幾棵樹？”（如圖10-2）

（3）拓展。把等差數列與“數線段條數”“數角的個數”“數長方形個數”等相聯系，增加等差數列求和的應用場景。如解答圖10-3中的問題，都只需要計算等差數列“6＋5＋4＋3＋2＋1”的和。

這樣的教學，把看似分屬不同知識體系的“等差數列求和”“梯形面積”“植樹問題”“數圖形”等通過計算融合在一起，促使計算應用場景創新，促進學生思維聯結，提升教學效果。

又如，在“比的應用”中聯系生活應用、國旗制作、圖形知識、行程問題等，讓學生初步體會到比的知識的廣泛應用場景（如圖11）。

結構圖譜清晰地描繪出計算知識層級遞進、互聯互通、應用輻射的狀況，實現了計算教學更新教育理念、變革教學方法的深層變革[3]，構建了教與學的新范式。學生在描繪知識結構圖譜的過程中促進了不同知識之間的聯通，形成計算的理解模型，把計算和問題解決相結合，從更高、更廣的層面形成問題解決的能力，培養高階思維能力。

參考文獻

[1] 葛敏輝.概念構圖：讓數學理解看得見——基于“數學理解層次”的可視化學習新探索[J].小學數學教師，2021（12）：5-11+2.

[2] 楊熠.立足教材資源，指向素養提升——小學數學“你知道嗎”的深度閱讀策略[J].教學月刊·小學版：數學，2020（11）：48-50.

[3] 李永智.教育數字化轉型的構想與實踐探索[J].人民教育，2022（07）：13-21.