指向數學理解進階的體悟式教學實踐

摘 要 數學學習的過程是數學理解不斷進階的過程，數學素養的提升過程也與數學理解的進階緊密相關。要實現數學理解的不斷進階，需分解對象的要素、劃分理解的層次、明晰理解的內涵。圍繞認知要素設計合適的數學活動，能增加學生的具身體驗；設計恰當的思辨問題，能促進學生深度感悟。以“簡單圖形的平移”一課為例，可以組織五個層次的體悟活動：一是借助觀察體驗活動，在辨識中感知平移要素；二是借助操作體驗活動，在解惑中感悟平移特征；三是借助畫圖體驗活動，在追溯中掌握平移方法；四是借助想象體驗活動，在比較中感悟轉化思想：五是借助探究體驗活動，在應用中抵達創造生成的高度。

關? 鍵? 詞 數學理解進階 體悟式教學 表象理解 解釋理解

引用格式 王廣科.指向數學理解進階的體悟式教學實踐[J].教學與管理，2022（35）：49-53.

數學充滿著抽象的符號與嚴密的邏輯，數學學習的過程是數學理解不斷進階的過程。數學教學應該深入學生的思維層，使思維的提升過程與數學理解進階的過程同行并進。學科素養的提升是學生持續發展的動力，數學觀察、數學思考和數學表達等數學關鍵能力的提升都和數學理解的進階緊密相關。毋庸置疑，數學理解得到了廣泛的價值認同。但如何實現學生數學理解的不斷進階，路徑在哪里？教學如何優化？依然是值得深入探討的問題。筆者認為，教師深入解讀數學理解的內涵，明晰數學理解的進階路徑是數學理解不斷進階的前提；設計出指向數學理解的教學活動，引導學生深度體悟數學理解的對象，是數學理解不斷進階的基本路徑。

一、明晰數學理解進階的內涵

現代認知心理學認為理解建立在學習者對信息傳輸與編碼的基礎上，學習者根據自己的已有經驗和認知結構，主動建構心理表征，進而獲得心理意義。在此過程中原有知識與新的外界刺激相互作用，發生了意義同化[1]。從過程上看，數學理解是動詞，指的是學習者對學習對象進行數學化的再造；從結果上看，數學理解是名詞，指的是學習者對學習對象的認知層次。

國內外學者對數學理解的內涵、特征、層次和教學策略等進行了廣泛的研究，在語言表述上各有不同，但主要觀點是趨同的。第一，對需要理解的對象進行分解，把一個大的概念分解成若干要素逐步理解并建構關聯。宏觀上看，可以分為數學概念、數學命題和數學圖形。也有學者進一步細分為數學概念、數學符號、數學命題、數學技能、數學方法和數學思想。當然從微觀的角度，具體到一個概念，還需要根據具體課時進行厘定。第二，對理解的程度進行分層。二分法一般分為工具性理解和關系性理解[2]。SOLO分類理論根據理解的過程分為前結構水平、單點結構水平、多點結構水平、關聯結構水平、抽象擴展結構水平五個層次[3]。還有學者根據理解的深淺分為表象理解、解釋理解、建立聯系、思想運用、創造生成[4]。本文在研究“簡單圖形的平移”這一課時，采取第三種分層的方式。在橫向上將“簡單圖形的平移”拆分成平移現象、平移要素、平移特征、平移方法和平移思想，在縱向上，沿著“表象理解—解釋理解—建立聯系—思想運用—創設生成”的臺階不斷提升，以理解對象為經，理解層次為緯，經緯交織，升華學生的數學理解，發展學生的高階思維，提升學生的核心素養。

二、探明數學理解進階的路徑

如何幫助學生不斷進階數學理解？開展體悟式教學是一條重要路徑。體悟式教學就是把具身體驗和離身感悟這兩種學習方式結合起來的一種教學樣態，包括兩層含義：一是“體”，二是“悟”。“體”指向身體和體驗，強調對細節的具身認知，“悟”指向心靈和沉浸，強調對整體的全身心感悟。體悟式教學能夠充分發揮師生生命的自主性和自覺性，通過共同體驗、反思與感悟把認知對象融入到師生的內心世界中，并與原有的認知結構、生活經驗相結合，以生成新的意義，最終實現學生的全面發展。

由此，我們可以探明數學理解不斷進階的路徑：從“具身認知的體”走向“離身認知的悟”，這需要做好兩件事：一是設計合適的數學活動，增加學生的具身體驗；二是給學生創設自主反思的時空，在“回頭看”的過程中洞察本質，關聯知識、習得策略、感悟思想，不斷提高數學理解的水平。

三、明確數學理解進階的操作步驟

借助以上觀點來分析“簡單圖形的平移”這一課時，可以分解出四個數學理解對象（平移現象在三年級已經掌握，屬于學生的前概念）和理解的五階水平。對應數學理解的對象可以選擇或者設計出對應的體悟式數學活動（如圖1），借助這些活動給學生創造深層體驗的機會，引導學生在反思中獲得深度感悟，構建“為理解而教，為理解而學”的數學課堂。

五輪體悟式數學活動的設計，拾級而上，指向不同的理解對象，將學生的理解層次引領到相應的發展水平。五輪體悟式數學活動的開展，既充分尊重學生的主體地位，讓學生入乎其中進行沉浸體驗，實現“深入”；又充分發揮教師的組織引導作用，讓學生出乎其外，把握數學理解的關鍵，實現“簡出”。

1.表象理解：借助視覺體驗，辨識中感知平移要素

認知過程是一個從模糊到清晰、從具體到抽象、從整體感知到聚焦關鍵的過程。認識簡單圖形的平移，學生具備的前概念是“能辨別生活中的平移現象”，本課時的學習是一次從生活中的平移走向數學上的平移的一次飛躍，例1的“小船圖”和“金魚圖”（如圖2）既具備生活的元素，也具備平面圖形的特征。

“小船圖和金魚圖是怎樣運動的”和“它們的運動有什么相同點和不同點”這兩個問題指向平移的兩個要素：方向和距離。為了給學生帶來更加強烈的視覺沖擊，教學時，可以將靜態的素材做動態化處理，在觀察中形成簡單圖形的平移表象，有了表象的支撐，學生比較容易發現平移的方向相同。但對另一個要素——平移的距離，會產生一定的分歧，有的學生回答“平移的速度不同”，有的學生回答“平移的時間不同”，還有學生回答“平移的距離不同”等等。對此，教師可以再次慢放平移的過程，看清楚是“平移速度相同”“平移時間不同”“平移距離不同”。接著引導學生說一說速度、時間和距離的關系，借助數量關系“速度×時間=距離”，引導學生認識到它們是相關聯的三個量，研究圖形時，數學更關注的是距離這個要素。這樣，學生就從圖形的大小、平移速度、平移時間、平移距離、平移方向等眾多要素中抽離出方向和距離，對平移現象的整體辨別上升到對平移要素的準確辨識，數學理解水平實現了第一次進階。

2.解釋理解：借助操作體驗，解惑中感悟平移特征

兒童的思維在他們的指尖上，將學生的思維從平移的外部特征引向對平移內部特征的探究，離不開動手操作這一關鍵環節。教材設計的第二個環節是“數簡單圖形平移的距離”（如圖3）。

數一數，下面的小船圖向右平移的距離是幾格？

教師把這個問題拋給學生之后，出現了三個答案：4格、5格、9格。面對三種情況，教師要謹防“一鳥入林，百鳥壓音”的現象。切記不要讓回答正確的學生先發言，否則其他學生就不會表達出自己的真實想法，“病癥”就會被掩蓋。教師應該先讓平移4格、平移5格的同學說出自己的想法，最后再讓平移9格的同學回答。平移4格的同學認為應該數平移前后兩條船之間的間隔長度（如圖4），平移5格的同學認為應該數平移前后兩條船之間的間隔格數（如圖5），平移9格的同學認為應該數對應點之間的距離（如圖6）。由此，我們發現學生出現分歧的關鍵點是對平移距離這一概念的理解不同。要解開學生心中的疑惑，需要回歸平移距離這一核心要素，引導學生重新思考：“平移距離是什么意思？”聚焦了關鍵點，學生就會在合作交流中認識到以下兩點：第一，距離是長短而非大小，平移幾格，不能數方格，而要數長度，平移5格的想法是在數方格，對距離的理解認知不到位，所以是錯誤的。第二，不能把間隔距離當作平移距離，否則會出現矛盾，比如“船帆之間的間隔”“甲板之間的間隔”和“船底部之間的間隔”都不一樣。另外，回歸到初始狀態進行二次操作驗證，能夠發現小船圖實際上平移了9格。在獲得正確答案之后，進一步追問：“除了數船頭這一組對應點之外，請你再選擇一組對應點，數一數平移的距離，看一看還是9格嗎？小船圖上有多少組對應點？”通過選擇不同的對應點數平移距離，容易發現平移的特征：每組對應點之間的距離都相等 。

基于上述教學片段，我們能夠得出這樣的教學經驗：結果源于方法，方法源于概念，學生的方法出現問題，要溯源到概念上進行解決。因為學生對概念的理解不同，解決問題的方法才會出現差異，推演出的結果才會各不相同。僅僅著眼于方法，用正確去覆蓋錯誤，不能真正解決學生的困惑。引導學生回歸概念，緊扣“什么是平移距離”進行思考，準確把握內涵之后，數平移距離的方法以及平移的特征也就在概念認知的基礎上自然而然地生長出來。學生數學理解也從表象理解的水平發展到了解釋理解的水平。

3.建立聯系：借助畫圖體驗，追溯中掌握平移方法

“簡單圖形的平移”需要學生理解和掌握的第三個對象是：畫平移后圖形的方法。思考怎么畫的過程本質上是在應用中再次認知平移要素、感知平移特征的過程（如圖7）。第一種畫法是錯誤的，可以追溯到平移距離，進一步強調平移距離是對應點距離而非間隔距離。第二種畫法也是錯誤的，可以追溯到平移方向，實線圖形是平移后的圖形，應該畫在右側。第三種畫法也是錯誤的，可以追溯到平移的特征，學生對錯誤的認知往往只能達到第一層水平：平移前后圖形的形狀不能改變。教師可以做進一步的追問：為什么圖形的形狀會發生變化呢？從整幅圖聚焦到關鍵點，引導學生從平移的核心特征——所有對應點平移相同的格數去思考，進而理解圖形變形的內在原因是沒有按照平移的特征進行操作，平行四邊形上面的邊平移了6格，而下面的邊平移了7格，每組對應點平移的格數不同，因而發生了形狀變化的問題。

畫出平行四邊形向右平移6格后的圖形，下面的三種畫法對嗎？

借助對錯因的追溯，不僅深化了對畫平移后圖形的方法的理解：把每組關鍵對應點平移相同的格數，再依次連線。而且巧妙地將平移要素、平移特征和畫平移后圖形的方法這些認知點聯系在一起，學生對“簡單圖形平移”的理解也上升到了建立聯系的認知水平。

4.思想運用：借助想象體驗，比較中明晰轉化方法

“簡單圖形的平移”是數學認知的對象，具有獨立性，同時也是認知其他數學對象的手段。平移不僅僅是一種運動，也是一種策略。因此，對“簡單圖形的平移”的認知，不能僅僅停留在概念的內部，而應該放在“圖形與運動”這個領域去認知。平移是將平行四邊形轉化成長方形的重要方法，雖然這節課的教學是在學習平行四邊形的面積之前，但在練習環節，可以做出適當的拓展（如圖8）。

（1）將第一幅圖中左邊的三角形向右平移（? ? ）格可以把平行四邊形轉化成（? ? ?）形。

（2）將第二幅圖中左邊的梯形向右平移（? ? ）格可以把平行四邊形轉化成（? ? ?）形。

處理這個問題時，可以引導學生借助想象在大腦中進行簡單圖形的平移。學生借助表象平移，能夠想象出平移后拼成的是長方形，但容易產生“第二幅圖平移距離更遠”的錯覺。此時可以引導學生聚焦關鍵點思考，借助平行四邊形左側斜邊上的點，學生能夠發現：不管是切下直角三角形，還是切下直角梯形，都是把切下的圖形向右平移6格。這樣處理，一方面發展了學生的空間觀念，另一方面體會到將面轉化成點進行思考的價值，并為后續推導平行四邊形的面積公式做好思想層面的鋪墊。其數學理解也從建立聯系的理解水平發展到思想運用的理解水平。

5.創設生成：借助探究體驗，應用中創生解題策略

對平移的理解，不僅要跳出平移這一節課，在“圖形與運動”領域進行研究；還可以跳出“圖形與運動”的知識領域，與解決問題相結合，引導學生進行探究，在應用平移思想的過程中， 引領學生將數學理解升華到創設生成的高度。例如圖9中的問題。

小船的速度是每秒5格，小魚的速度是每秒4格，它們同時出發，通過一段5格的深水區，誰先通過？

解決“誰先通過”這個問題，也就是計算穿越深水區的時間問題。根據“時間=路程÷速度”，很顯然，需要先明確小船圖和金魚圖平移的距離，這就需要本節課學習內容的支撐。首先需要引導學生明確“穿越深水區”是“船尾”和“魚尾”都要通過深水區，因此應該選擇船尾和魚尾上的一個點作為觀測點進行思考，得出小船圖需要平移10格，每秒5格，需要2秒。金魚圖需要平移8格，每秒4格，也是需要2秒。在這個問題的解決過程中，需要借助數量關系，將“誰先通過”這個實際問題轉化成計算時間這一數學問題，再將計算時間的問題化歸為確定平移距離的問題，最后將確定圖形平移距離的問題轉化成確定關鍵點平移距離的問題，學生獲得了豐富的解題經驗，同時又深化了對平移的理解，在平移解決問題的過程中，抵達了創設生成的高度。

數學理解是數學學習的核心，內隱于學生思維之中，不易察覺，但依然可以通過合理的教學設計促進它不斷地進階。可以設計適合具身認知的數學活動，激活學生的思考；可以組織有效的交流，體察學生數學理解的水平；可以提出思辨性的問題，引發學生感悟，實現最后一公里的提升。我們應該認識到：在小學階段，很多時候教師的高度就是學生的“天花板”。因此，教師提升自身的數學素養尤為重要。我們更應該認識到，數學理解的不斷進階必須由學生自己來完成，因而教學不應該是教師“曲高和寡”的一味灌輸，而應該是教師引導下的具身體驗加離身感悟。

參考文獻

[1][2] 李新成.現代認知心理學關于理解過程的研究［J］.教育理論與實踐，1997（02）：46－50.

[3] 郝小飛.基于SOLO分類理論的數學理解水平研究[D].上海：上海師范大學，2021.

[4] 王瑞霖，綦春霞.數學理解的五層遞進及教學策略[J].中國教育學刊，2014（12）：40-45.

*該文為江蘇省教育科學“十四五”規劃青年專項重點課題“基于具身認知的小學數學‘體悟式教學研究”（C-b/2021/02/57）的研究成果