職業院校數學建模課程建設的實踐探索*
——以鎮江高等職業技術學校為例

黃 磊 王 燕 張 立

《中等職業學校數學課程標準》指出，數學建模屬于六大學科核心素養之一；并作出如下界定：數學建模是將現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。充分發揮數學建模的作用，幫助學生掌握數學建模能力，有助于數學核心素養的形成。［1］

開展數學建模課程建設的研究是職校數學教育改革的發展趨勢。職校數學建模課程的設計與實施應在注重培養學生良好數學素養的同時，著力于學生未來就業所需要的數學應用意識、能力養成和專業基礎知識積累。課程內容應貼合專業的情境案例，能夠滿足不同專業學生的實際需求，以突出數學課程作為公共基礎課程的重要地位。

鎮江高等職業技術學校（以下簡稱“我校”）數學教研組自2018 年起啟動校本數學建模課程項目，初始作為校公選課程，面向全校學生開設。自2020 年《中等職業學校數學課程標準》頒布后，我校依據標準、明確規范，改革課程框架、模式與內容；結合專業凸顯類型教育，強化價值引領，落實立德樹人，彰顯課程思政。在此基礎上，課程建設取得了一定成果，形成了較為完善且不斷豐富的數學建模線上線下課程資源與案例集。

一、課程的設計與架構指向“以生為本”

依托原有校本建模課程，我校緊扣《中等職業學校數學課程標準》要求和專業實際，開發并實施了實用、易學、有趣的專題課程，注重體現職業特色，著力培養學生數學綜合應用能力和職業發展力。

（一）情境化、遞進式的專題設計

依據課標要求，聚焦學生數學建模、數據分析、邏輯推理、數學抽象等核心素養的培養，我校將課程內容整合為走進數學建模、函數模型、立體幾何模型、概率統計模型、線性規劃模型、數列模型，情境設計由簡單到復雜，應用由生活入專業，循序漸進，進階提升。

初階為生活、專業實例中簡化出的理想案例，如函數模型中創設了經過優化的理財問題情境：有閑置資金100 萬，銀行提供三種理財方案，請同學們判斷哪一種方案收益最高。教師引導學生初步嘗試用建模的方法解決實際問題。顯然，初階從學生易于接受的理想化的理財情境入手，讓學生學方法、打基礎。進階嘗試解決給定數據的實際工作情境問題，如某企業根據銷量制訂采購計劃，并估算不同的銷量分別需要多少廣告投入。教師教會學生處理數據并進行初步簡化，而后利用建模方法解決問題。如此進階的設計，與初階問題相比多了處理數據的過程，能有效促進學生對數學建模整體過程、方法的理解和掌握。此外，更接近現實工作的情況使學生感受到數學知識和方法的實用性。高階則通過團隊合作完成真實的工作任務，如預測2022 年學校創業園中菜鳥驛站的快遞收發情況。與進階任務相比又多了收集現實數據的過程，學生要通過查資料收集菜鳥驛站歷年來的真實數據，而后進行數據的處理和優化，利用已有的數學知識和建模方法進行預測。高階任務的設計完全依托真實的工作環境，對學生的認知能力要求更高。從初階到高階，從生活到專業，培養了學生數據分析、數學運算、邏輯推理等數學核心素養，更提升了學生的溝通合作能力、分析概括能力、綜合應用能力等。

（二）應用問題導向的探究式教學模式

課程教學采用問題導向的探究式教學模式，以實際問題解決為出發點和主線，啟發學生不斷思考，探究解決問題的方法，提高解決問題的能力。日常教學中，在積極創設不同形式的生活或者職業情境的基礎上，用有聯系有層次的問題幫助學生打破難度壁壘，搭建認知腳手架，讓學生在問題解決的過程中，找到抽象與方法、現實與理想的橋梁。而后，教師進一步鼓勵和引導學生主動去發現、分析和解決問題，讓數學知識在探究活動中得以加深和內化，幫助學生發展數學思維，以強化數學知識的遷移、應用能力。問題導向的探究教學模式，從理解問題到分析問題再到解決問題，均是在問題串的引導下，由教師和學生共同探究完成。

（三）以“問題解決”為主線，實施“三階段五環節”教學流程

基于問題導向的探究式教學模式，遵循數學建模課程學習規律，結合學情與目標，組織教學流程，包括問題準備、問題解決及活動評價三個階段。問題準備指確定建模課題，圍繞真實生活、專業情境進行課題設計；問題解決階段包含教師活動和學生活動，包括建立模型、求解結果、分析檢驗三個環節；活動評價階段包括對整個活動過程和活動設計的評價，學校應嘗試從多個評價角度出發，兼顧教師和學生的反饋評價。［2］實施過程著力培養學生解決實際問題的能力，并基于學科核心素養培養學生的綜合素質。教學中重視數學思想方法的應用，增強學生數學學習的體驗。

在此教學流程中，數學建模的各個專題均是建立在問題準備、問題解決、活動評價三個階段的基礎上，經歷分析問題、建立模型、求解結果、分析檢驗、多元評價的過程。學生在自主探究的過程中，根據教師的要求或者小組討論結果確定選題—整理資料—建立模型—形成方案—展示成果，在建立和求解模型過程中又按照模型準備、模型假設等五環節來完成，由此形成數學建模課程中的“三階段五環節”的教學流程（如圖1所示）。

圖1 “三階段五環節 ”教學流程

二、課程的側重與特色彰顯職教屬性

（一）源于生活與專業的真實情境

課程在情境案例選擇上，設置與職業生涯密切相關的教學內容（如在電子商務專業中采用求職規劃、商品定價、銷售策劃案例等）并注重與專業課程銜接，有機融入職業道德、職業精神教育。學生通過建?；顒?，小組協同解決專業對應崗位上要面臨的實際問題，在應用數學的過程中體會職校數學作為公共基礎課程的職業性。

（二）信息技術資源與教學深度融合，構建高效課堂

教師借助泛雅平臺建設數學建模課程。平臺課程資源包括各類音視頻資源，如微課、情景動畫、科普短片等；包含知識點素材，有課前任務單、問題思考與提示、預備知識等；有多種形式的課后分層作業。學生可根據自己的水平、興趣等選擇合適的主題或任務開展研究，并將成果、問題、想法等上傳至學習平臺，教師進行線上指導、反饋、評價。

信息化手段可以充分輔助課堂教學。如在函數模型中，不同類型函數間的計算復雜，學生無法完成，但利用Geogebra 繪制函數圖像進行比較，結果就顯而易見。立體幾何建模課中，學生利用瑪雅軟件進行包裝設計、觀察三視圖、計算表面積、設置內隔板等。學生通過資源與軟件的運用，順利化解復雜立體結構的計算難點。

教師應在課程實施過程中及時采集各類學習數據，為評價提供依據。平臺根據學生觀看學習視頻的次數和時間，以及評論的次數、熱點、作業完成的精選次數進行記錄，對客觀題的答題情況進行評分，對教師的評分和評價進行記錄，匯總形成成長檔案，為綜合評價提供依據。

（三）以過程性評價為主的多元評價，關注能力提升

數學建模課程評價具有典型的綜合化特征，具體表現為指標多維、方式多樣、主體多元。其中，從指標設計層面來看，一方面比較看重數學建模的基礎知識、能力等，另一方面比較看重情感、態度等目標，旨在促進學生全面發展。從評價方式層面來看，主要有軟性評價、硬性評價等，其中，前者主要以“數學建模手冊”為出發點，立足創新性、有效性等方面展開過程評價；后者主要評價的是成績，包括教師評價和學生自評與互評。評價貫穿學生數學知識的構建過程與問題的解決過程，重點關注能力的獲得與提高。

（四）蘊含數學文化、思想與精神，課程“德智交融”

數學建模課程由多種文化要素構成，包括數學思想方法、審美等。建模過程即立足數學視角去看待問題，借助數學思想去分析問題，選擇適用的數學方法去處理問題。值得強調的是，過程中對嚴謹求真的意志品質的追求，對數學方法美、理性美、和諧美的切實體會，對數學知識本身的應用，都彰顯數學學科育德育人特質。［3］課程通過選取有深度的社會熱點問題，精心設計情境進行課程思政。比如環境保護問題，教師結合國家碳達峰、碳中和的戰略決策，激發學生的民族自豪感與國家認同感，使學生感受大國擔當，同時提升其環保意識。

三、課程的改革與創新注重應用能力

（一）構建“生活經驗+專業應用X”特色課程

職業教育突出專業技術知識和實際操作技能的培養和提高，在教育內容上更側重實踐性和應用性。職業教育中的數學課程是職業學校必修的公共基礎課，因此具有基礎性、發展性、應用性和職業性等特點。數學建模專題就屬于職業學校數學課程中的任選模塊，尤其注重數學應用于實踐和專業的特性。為此，我校數學教研組通過精心搜集、整理、設計，從學生熟悉的生活情境中提煉數學問題。以電子商務專業為例，教師可以以理財、職業選擇、環保等問題為切入點，并與其他專業教師協同教研，提煉對應崗位情境中的數學問題，如商品定價、商品銷售、商品包裝等。數學建模課程開發的初衷，面向的不僅僅是電子商務專業的學生，而是全體學生。課程入系部，銜接不同專業時，會調整活頁教學資料與線上資源，增補專業情境案例，開設面向專業X 的數學建模專題，即“生活經驗+專業應用X”。于是，學生通過對數學知識、思想方法、核心素養的綜合應用，借助“生活經驗+專業應用X”的情境問題，提升自身的應用和專業能力。活頁式教學資料與教學過程中產生的大量生動具體的教學、學習資源，既能形成校本教研的課題和新的資源包，又能為專題課程的發展儲能。

（二）基于STEAM理念的課例設計

STEAM 教學強調多學科融合“項目式學習”，即以完成某產品設計為目標，確保學生利用不同學科的知識，在動手實踐的作用下，結合自身認知，持續獲取新知識和新能力，進而實現“做中學”。總體來說，STEAM 教育理念和數學建模教學存在顯著共性，即“做中學”，通過為學生創設情境，讓學生產生興趣，進而作出思考。［4］如立體幾何模型課例中，就以中國陶瓷器設計、制作包裝為任務，要求省料兼顧美觀，任務聚焦的數學問題是怎樣設計使得包裝表面積最小。學生在完成任務的過程中，運用瑪雅軟件構建模型，以減少包裝材料為目標，運用立體幾何知識設計與調整，設計中既要融合中國元素提升美感，又要兼顧牢固實用。課例以“三階段五環節”展開，引導學生將數學知識與其他學科知識聯系起來，旨在培養和強化他們的發現、創新實踐以及協同等能力。

（三）數學建模手冊的運用

數學建模課程采用活頁式教學資料與線上資源庫，每個學生都配備數學建模手冊。建模手冊也是活頁式的，以隨時添加附件，包括解決問題的具體過程，思維痕跡等；手冊中內容包括小組分工情況、本小組研究的問題、建模過程以及解決問題的方法、體會、反思和改進。每一個模型專題都有評價表和總結報告。評價表包括自評、小組互評和教師評價；總結報告則是每個小組對專題研究的過程分析與小結反思?？偨Y報告運用匯報的交流形式，有助于學生使用規范的數學語言，準確、簡潔地表達自己的觀點。整本建模手冊將伴隨學生學習專題的全過程，記錄問題解決的過程，積累做數學、學數學、用數學的經驗，深化學生對數學及其價值的認識。

四、結語

在數學建模課程實施過程中，我們認識到一些問題和困難，主要有數學建模教學經驗不足、契合專業的教學內容選擇和組合難度較大、資源開發周期較漫長、學生學法不適應等。下一步，我們將一方面挖掘更多專業案例情境以面向更多不同專業、不同學習需求的學生；另一方面，通過學校立項的數字資源采購項目，繼續豐富平臺功能，完善評價路徑，打造精品課程。同時，我們將繼續研究如何更好地在教學組織方式、教學安排上滲透職業教育元素，并通過設置與職業生涯密切相關的教學內容，增加實踐環節，注重與專業課程銜接配合等，在數學課程中有機融入職業道德、職業精神教育。