小學數學“數學廣角”課堂教學優化策略
——以“雞兔同籠”為例

林聰強

課堂中的教學設計關乎課堂教學活動的有效性，而如何優化教學設計是“數學廣角”教學中的重要問題，其有效與否直接影響到學生的學習效果。然而，在實際教學中，盡管很多教師在優化“數學廣角”教學設計上花費了大量的精力，但是效果依然不盡如人意。為此，筆者結合自己的研究與實踐，從四個方面論述如何有效優化教學設計。

一、講究溝通聯系，避免解法零散

小學數學教材是課堂教學的重要載體，也是教師備課的重要依據。但部分一線教師在研究教材的內容時，過分依賴教材，錯誤地以為只要簡單地把數學知識教一遍即可，機械地進行教學，沒有理順知識點之間的結構關系，導致學生只是囫圇吞棗，并沒有吃透知識背后的道理。例如：“雞兔同籠”問題的解決方法眾多，譬如列表法、畫圖法、假設法。然而很多學生并不知道畫圖法和假設法有什么共同點，他們錯誤地以為這是幾種不同的方法。在課堂最后串聯數學方法的時候，教師一般會先假設，再調整，但是部分學生無法掌握這種方法，因為其學得不夠扎實，解法過于零散，沒有將知識點進行聯系。同時部分學生對于這些方法的關系理解得不夠明確，所以一般會把它們當作一個個獨立的方法進行解答，而沒有建立統一的聯系。數學是一個整體，不一樣的數學方法之間有著緊密的聯系，通過溝通聯系知識的本質，可以幫助學生更好地理解解法背后的關聯[1]。

人教版教材將“雞兔同籠”問題從六年級移至四年級是考慮到學生的認知發展水平。教師在教學設計中如果沒有充分設計溝通環節，學生就難以感悟到方法間的聯系。而且四年級學生的思維正處于發展階段，由于受到思維深度的限制，學生要在教師的指導下才能更好地實現對知識的加工。如果缺少了教師的正確引導，學生追求知識的渴求可能會被削弱。同時在課堂教學中，有些教師忽視了各種方法間的內在聯系，沒有進行合理的整合和梳理，對教材中的知識采取簡單粗暴的處理方式。這樣不但可能會導致學生對知識的掌握不夠系統連貫，而且還有可能會造成學生認知結構的混亂。具體表現在：一部分教師在講解列表法、畫圖法以及假設法時，只是片面籠統地對這三種方法進行教學，學生只是被動進行吸收；還有一部分教師會詳細地對這三種方法進行教學，導致上課時間不夠，占用了學生的休息時間，使得學生很疲倦。為了讓學生形成完整清晰的知識關聯思路，筆者優化教學過程，從學生的角度出發，以列表法為基礎，串聯畫圖法，突出假設法，在教學過程中關注雞兔腿數的等量代換，讓學生不斷地嘗試用雞換兔，或者是用兔換雞。接著讓學生從已有的腿數變化，過渡到一步跳躍式列表法，建立列表法與畫圖法之間的相互聯系。最后由圖表轉化為假設法，使得學生清楚地明白每一步計算背后的道理，構建解法之間的聯系。筆者在設計過程中注重方法間的聯系，關注方法間的精髓，這樣學生在后續的實踐應用中，就能舉一反三。

二、講究建構模型，避免機械模仿

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，核心素養的主要表現就包括模型意識，它主要是指對數學模型普適性的初步感悟。模型意識有助于開展跨學科主題學習，增強對數學的應用意識，是形成模型觀念的經驗基礎[2]。教師在課堂中要通過建立相關的數學模型來解決數學問題，運用數學的概念與方法解釋問題，設計一定的抽象教學過程，把握學生已有的生活經驗，實現模型的有效建構。大部分學生在一開始解決“雞兔同籠”實際問題時，都是直接就開始計算，沒有把雞兔進行區分。當算不出來的時候才猛然想起來需要先找出題目中雞兔的關系，其在方法的使用上也不懂得根據實際情況進行有效的選擇。一些一線教師在教學中也會讓學生去找雞兔的關系，但是并沒有讓學生明白“雞兔同籠”問題的根本用意，所以就算學生找到了誰是“雞”，誰是“兔”，也找不到解題的路徑；還有一部分教師在教學中只是機械地讓學生記住假設法的計算公式，卻沒有引導學生厘清為什么雞兔腿數之差是2，使得學生再遇到其他類型的變式題時就會很茫然。因此，筆者建立“雞兔同籠”模型，讓學生對“雞兔同籠”的問題模型架構形成清晰的認識，這樣學生在解題時才不會出現手足無措的現象，從而使學生建立完整清晰的問題模型，對模型進行一定的固化，也就是要讓學生在大量的問題情境中提煉出真正的模型。

基于以上問題，筆者在教學過程中先是從“龜鶴算問題”“貨幣問題”等不同情境中找出“雞兔同籠”的初步模型意識，接著鞏固模型，最后從“雞兔同籠”問題延伸到倒扣分類型題，從而建立清晰完整的模型?！半u兔同籠”課堂教學中的模型構建是本節課的一個重要環節。學生要先理解雞兔的腿數、頭數，明確一只兔子比一只雞多兩條腿。然后開始進行建模，假設全是兔子（雞），計算假設后的腿數和實際相差多少，多（少）出來的腿數就是多算了的雞（兔）的腿數，再除以每只兔子比每只雞多出來的兩條腿，結果就是雞（兔）的腿數。最后讓學生用自己的方式來表示，完成整個模型的建構。通過設置問題情境，學生能夠進行原型對比、分析聯系、提煉本質；通過學習建模，學生能夠認識到從問題到模型，再到方法（列表、假設、畫圖）的邏輯思維。這樣一來，學生的頭腦中會形成清晰完整的解決“雞兔同籠”問題的模型，充分體會到雖然問題的情境在變，但本質是不變的，從而提煉出“雞兔同籠”問題的結構特征和解決問題的一般性策略，有效地構建“雞兔同籠”問題的模型，滲透模型思想，強化數學建模核心素養的培養。

三、講究列表推理，避免公式亂用

小學階段核心素養中的推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。“數學廣角”中“雞兔同籠”教材的編寫意圖主要是利用例題來引導學生提出對雞兔的只數和腿數的猜想假設，同時利用畫圖或者列表的形式進行合理的推理，進而通過調整雞兔的只數來解決這道實際問題。雖然“雞兔同籠”問題看起來是比較抽象的，但是在之前的教材中已經有所鋪墊，即“租船問題”。

筆者在磨課過程中，時常會遇到學生出現這樣的問題，即用26÷2或者26÷4這樣兩道除法算式，先算出全部是雞可能有幾只，或者全部是兔子可能有幾只。一開始計算都是雞的情況，剛好可以算出整數是13，但是到了計算兔子的情況就不行了，因為結果是有余數的。遇到這樣的問題，有的教師就會簡單地認為是學生用錯了方法，從而直接否定學生的想法。然而實際上26÷2是在嘗試假設全是雞的情況可能有幾只，26÷4是在嘗試假設全是兔子的情況可能有幾只。因此教師要深度剖析學生的思想，只有這樣，才能做到因材施教。筆者在教學中為了改變學生的固定思維，先只給定一個條件，即雞兔的頭數是8，那么腿數可能有幾種情況？請學生動筆列表計算。當學生在列表過程中明白雞兔只數之和是8的腿數不同情況有9種時，就能夠厘清雞兔腿數之間的關系，感受不變中的變化，同時明白表格的規律，即增加一只兔子，減少一只雞，總腿數增加2條。接著再給出另一個條件，即雞兔的總腿數是18，那么可能有幾種情況？讓學生再次列表計算，得出雞兔腿數之和是18的情況有5種。可以先固定兔子的只數，再變化雞的只數，讓學生再次感受不變中有變化，同時明白表格的規律，即增加1只兔子，減少2只雞，總腿數不變。最后出示題目：雞兔的只數是8，雞兔的總腿數是26，那么可能有幾種情況？因為學生已經有前面的兩個例子做鋪墊，所以一些學生很快就能夠算出來。學生可以借助單個條件的經驗，抓住每只雞兔腿數分別是2和4的條件，以折中數3來進行嘗試，得出雞兔一樣的情況是24條腿。因此第一次嘗試用（4，4），這時候會發現腿數少了2條，所以只需要拿1只雞換1只兔子就可以了。此外，還可以出示另外一組題目：雞兔的只數是10，雞兔的總腿數是38，那么可能有幾種情況？學生有了前面的列表經驗后，自然而然就能發現雞兔只數一樣時總腿數是30。因此第一次嘗試用（5，5），這時候發現腿數少了8，所以只需要拿4只雞換4只兔子就可以了。一些學生認為實際腿數與假設腿數差距較大，所以就考慮都是兔子的情況，那么總腿數就是40，只要把1只兔子換成1只雞就可以了。通過幾次的條件設置，學生已經具備了一定的探究基礎，能夠初步感知雞兔只數的變化和腿數的變化。基于此，將計算融入表格，使學生明白利用列表可以進行折中嘗試。這樣一來，雞兔的數量關系就顯得很清晰，從而讓學生體會列表法的妙處，同時明白通過列表推理能清晰地區別假設的前后數量關系的變化過程，進而消除之前的26÷2或者26÷4的定式思維。這樣的教學方式可以使學生有效對比方法的不同之處，體會數學思想方法，進而優化教學設計。

四、講究思想滲透，避免理解淺顯

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在闡述理念時指出課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調使學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱“四基”）。這更加表明數學思想方法在小學數學課堂教學中的重要性。一些教師對教材的理解只是停留在教學上，并沒有對教材進行過多的提煉和研究，導致學生對知識的認識只停留在感性層面。筆者建議在課堂教學中要通過表象看到知識的本質，最終把數學思想體現出來。因此一線教師在教學過程中，不能一味地關注基礎知識和基本技能的教學，更要讓學生在學習中逐步感悟數學知識背后蘊含的數學思想。

“雞兔同籠”這節課的思想方法有：假設思想、化繁為簡思想、數形結合思想、模型思想。在這幾種方法中，最難設計的就是化繁為簡思想，因為學生在一開始并沒有考慮到數據的煩瑣，也就沒有想到需要對數據進行化繁為簡。很多時候課堂上思想方法的滲透只是教師的主觀意愿，譬如部分教師會在一開始就對學生說“為了方便研究，我們運用化繁為簡的思想”，然而實際上學生并不明白為什么要簡化，簡化的意義是什么。筆者認為教學應該是教學生之所需，解學生之所惑，讓學生真正明白化繁為簡的意義。因此筆者在教學過程中會直接給出簡化版的“雞兔同籠”問題，讓學生能對數據進行猜想、假設、驗證，在課堂的末尾告訴學生：其實我們剛才解決的“雞兔同籠”是降級版本的，這時候順勢出示《孫子算經》中“雞兔同籠”的原題，使學生在讀題過程中逐漸感悟到數據的大小差別，明白教師的用心良苦。一開始將數據變小，把復雜的問題簡單化，能夠使化繁為簡數學思想潛移默化地深入學生心中。正如日本數學家、教育家米山國藏曾經說過：“學生在學校所學到的數學知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的數學，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，那種銘刻于頭腦的數學精神與數學思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發揮著重要的作用?！盵3]“雞兔同籠”的解決方法是多樣的，很多時候教師只是關注到本節課的假設法、畫圖法、列舉法，忽略了化繁為簡的數學思想?；睘楹喴彩且环N核心數學思想，一旦掌握了這種思想，復雜問題就能迎刃而解，從而構建清晰穩定的解決問題的認知結構，形成數學核心素養。通過優化“雞兔同籠”的教學過程，不僅能使學生在解題方法上有所提升，積累一定的解題經驗，同時還可以提升其數學思維，使其學會用數學思想方法解決實際問題。因此，思想方法在學生學習生活中的重要性是不言而喻的。教師在設計教學中不僅要讓學生掌握必備的基礎知識和基本技能，而且還要凸顯基本數學思想和基本活動經驗的作用。因此，有必要對化繁為簡的思想進行進一步優化，最終讓學生感悟數學思想方法，積累必要的活動經驗。

綜上所述，在小學數學“數學廣角”的教學實踐中，只有不斷地優化教學過程，通過溝通聯系，深化列表法的運用，才能實現模型的建構，達到思想上的滲透，從而積累活動經驗。