短基線無源多站時差定位精度分析及快速計算方法

蔡春霞，王堃，成章，江 威

（電子信息控制重點實驗室，四川成都 610036）

無源時差定位由于具有隱蔽性強、定位精度高、易組網實現、對寬帶低譜密度信號適應能力強等優點，近年來在軍事領域被廣泛應用[1-5]。文獻[6-11]指出，多站時差定位中影響定位精度的因素有布站形式、基線長度、時差測量誤差、站址測量誤差等，并指出當構型形式一定時，基線越長，定位精度越高；時差測量誤差越小，定位精度越高；站址測量誤差越小，定位精度越高。但這些結論僅是定性地給出了規律，沒有給出參數變化量對定位精度變化的定量分析。

文中基于無源多站時差定位數學模型，先對定位精度影響因素進行理論分析，然后針對短基線遠距離定位場景，對時差測量誤差、站址測量誤差進行了定量分析，并給出了幾何精度因子（Geometric Dilution Of Precision，GDOP）的快速計算方法，最后通過實例仿真比較了快速計算GDOP與理論GDOP之間的誤差。

1 無源多站時差定位數學模型

與文獻[6-15]相同，假設無源多站時差定位系統由一個主站和N(N≥3)個輔站組成。在三維空間直角坐標系中，各站的坐標為(xi,yi,zi)，i=0,1,…,N，其中i=0 表示主站。目標輻射源的坐標為(x,y,z)，結合工程實際，引入WGS-84 地球模型，則有如式（1）所示的雙曲線定位方程組，求解方程組即可得到輻射源位置。

2 無源多站時差定位精度分析

對式（1）方程組兩端求全微分可得：

將式（2）寫成矩陣形式得FdX=dR+dS，在系數矩陣F滿秩的情況下，由最小二乘法得到dX=(FTF)-1FT(dR+dS)，其中F表征各測量站相對于目標位置的方向余弦，與目標位置和布站形式有關：

dX=[dx,dy,dz]T表征定位誤差；dR=[dr10,…,drN0,0]T=c[dτ10,…,dτN0,0]T=cdT表征距離差測量誤差或者TDOA 測量誤差；dS=[k1-k0,…,kN-k0,0]T表征站址測量誤差。

由于距離差測量誤差與站址測量誤差相互獨立，則定位誤差的協方差矩陣為：

式中，M=(FTF)-1FT，QR=E[dRdRT] 為距離差測量誤差的協方差矩陣，QS=E[dSdST] 為站址測量誤差的協方差矩陣。將Pdx代入GDOP=可得定位精度。

下面著重分析在短基線遠距離定位場景下，TDOA 測量誤差、站址測量誤差對GDOP 的影響。假設各測量誤差經系統修正后是零均值的，站址誤差在每次測量過程中的標準差保持不變，且站址誤差各元素之間以及各站址誤差之間不相關。

2.1 計算距離差測量誤差的協方差矩陣QR

設是距離差測量誤差方差，是TDOA 測量誤差方差，ηij為dτi0與dτj0之間的相關系數，當i≠j時取ηij=0，則有：

2.2 計算站址測量誤差的協方差矩陣QS

在短基線遠距離定位構型中，當i≠j時，各定位站到輻射源的距離近似相等，即r0≈ri≈rj，又主站和輔站i之間的距離ri0與主站到輻射源的距離r0相比非常小，即：

可用絕對位置誤差協方差矩陣QAS和相對位置誤差協方差矩陣QBS表示QS：

由式（5）、（11）可得，在短基線遠距離定位場景中，若考慮主站和輔站之間的相對位置誤差時，定位誤差的協方差矩陣為：

綜上可知，絕對位置誤差對GDOP 的影響遠小于時差測量誤差和相對位置誤差對GDOP 的影響，GDOP 與時差測量誤差、相對位置誤差均近似呈線性關系。在短基線遠距離定位工程應用中，由于項的，且絕對位置誤差σas不超過百米量級，因此項對GDOP 的貢獻很小，可以忽略。

3 GDOP定量分析及快速計算方法

若定位構型不變，則與位置有關的參數和矩陣F、M、QAA等均為定值。在短基線遠距離定位場景中，忽略絕對位置誤差，則有記常數矩陣MEQMT為PEQ，此時GDOP 可表示為：

在式（15）的基礎上進行推導，可得式（16）所示的GDOP 的快速計算公式。當TDOA 測量誤差變化ΔT、相對位置測量誤差變化Δσbs后，根據式（16）可快速得到新的定位精度GDOP'。

4 仿真分析

下面通過仿真分析，比較使用快速計算公式得到的GDOP 與理論GDOP 的誤差。

文獻[13-19]指出，在四站時差定位中要獲得最佳精度的構型為T/Y 構型或者倒T/Y 構型，針對遠場目標，在時差定位體制下，在二維平面中，輔站傳感器在以主站傳感器為圓心，某固定值為半徑的圓上均勻分布時定位誤差可達最小；在三維空間中，輔站傳感器在以主站傳感器為圓心，某固定值為半徑的圓球上均勻分布。因此，不失一般性，下面以四站時差定位為例，定位構型取為等邊倒Y 構型，如圖1(a)所示，三個輔站在以主站為圓心，基線長度D為半徑的圓上均勻分布，呈倒Y 結構。

定位精度算法在地心直角坐標系下進行運算，需要將東北天坐標系的ENU 坐標轉換到地心直角坐標系下的三維直角坐標。不失一般性，取主站經緯高坐標為(90°,30°,50 km)，如圖1（b）所示，在ENU坐標系下，基線長度D=5 km，主站到目標的投影距離L0=300 km，投影高H=50 km。

圖1 等邊倒Y定位構型

仿真一：改變TDOA 測量誤差初值σT0及其誤差變化量ΔT

參數設置如表1 所示，TDOA 測量誤差初值σT0范圍為[5 10∶10∶40]ns，誤差變化量ΔT范圍為[0∶5∶100]ns，絕對位置誤差σas取30 m，相對位置誤差σbs取1 m。

表1 仿真一參數設置

根據式（14）可得理論GDOP 仿真結果如圖2 所示，根據式（16）可得快速計算的GDOP 仿真結果如圖3 所示，兩者差值如圖4 所示，兩者差值/理論GDOP 的比例如圖5 所示。

圖2 理論GDOP（改變σT0 和ΔT）

圖3 快速計算GDOP（改變σT0 和ΔT）

圖4 快速計算GDOP與理論GDOP的差值（改變σT0 和ΔT）

從圖2 可以看出，TDOA 測量誤差與GDOP 近似呈線性關系，和前文公式推導的結論一致。從圖5可以看出，初值σT0越大，快速計算GDOP 與理論GDOP 的誤差越小，當σT0≥5 ns時，誤差小于4%；當σT0≥20 ns時，誤差小于0.3%。

圖5 兩者差值與理論GDOP的比例（改變σT0 和ΔT）

仿真二：改變相對位置誤差初值σbs及其誤差變化量Δσbs

參數設置如表2 所示，TDOA 測量誤差σT取30 ns，絕對位置誤差σas取30 m，相對位置誤差初值σbs范圍為[1 5 10 20 30]m，誤差變化量Δσbs范圍為[0:5:50]m。

表2 仿真二參數設置

根據式（14）可得理論GDOP 仿真結果如圖6 所示，根據式（16）可得快速計算的GDOP 仿真結果如圖7 所示，兩者差值如圖8 所示，兩者差值/理論GDOP 的比例如圖9 所示。

圖6 理論GDOP（改變σbs 和Δσbs）

圖7 快速計算GDOP（改變σbs 和Δσbs）

圖8 快速計算GDOP與理論GDOP的差值（改變σbs 和Δσbs）

從圖6 可以看出，相對位置誤差與GDOP 近似呈線性關系，和前文公式推導的結論一致。從圖9 可以看出，初值σbs越大，快速計算GDOP 與理論GDOP的誤差越小，當σbs≥1 m時，快速計算GDOP 的誤差小于0.2%。

圖9 兩者差值與理論GDOP的比例（改變σbs 和Δσbs）

以上的定量分析和仿真結果均考慮了主站和輔站之間的相對位置誤差，如果不考慮主站和輔站之間的相對位置誤差，那么站址測量誤差協方差矩陣為：

對應的定位誤差的協方差矩陣為：

在相同的仿真條件下，比較有無考慮主站與輔站之間的相對位置誤差對GDOP 的影響。仿真參數設置如表3 所示，計算結果也在表3 中給出，考慮σbs時的GDOP為3.89 km，不考慮時的GDOP為13.60 km，可以看出，前者定位精度遠優于后者。

表3 有無考慮相對位置誤差時的仿真參數設置及對應的理論GDOP結果

在不考慮主站與輔站之間的相對位置誤差時，對應的GDOP 快速計算公式如式（21）所示，因為沒有忽略任何項，所以其理論GDOP 和快速計算GDOP一致。

當TDOA 測量誤差變化ΔT、絕對位置測量誤差變化Δσas后，可得：

5 結論

基于無源多站時差定位數學模型，分析了定位精度的各個影響因素，針對短基線遠距離定位場景，給出時差測量誤差、站址測量誤差對GDOP 精度影響的定量分析及對應的快速計算方法，可以快速計算出參數變化后的GDOP。

通過實例仿真可知，在考慮主站與輔站之間相對位置誤差的情況下，當TDOA 測量誤差初值為5 ns時，快速計算的誤差小于4%；當TDOA 測量誤差初值在20 ns 以上時，快速計算的誤差小于0.3%；當相位位置誤差σbs≥1 m時，快速計算GDOP 的誤差小于0.2%。

由于快速計算的誤差很小，在實際工程應用中，尤其是在試驗外場等不具備仿真環境又必須根據現有的定位構型快速得到改變時差測量誤差或站址測量誤差后的定位精度時，快速計算得到的GDOP 有重要的指導意義。

此外，通過仿真比較可知，考慮主站與輔站之間的相對位置誤差時的GDOP 遠優于不考慮時的GDOP。同時給出了在不考慮主站與輔站之間的相對位置誤差時的GDOP 快速計算方法。在工程條件允許時，推薦考慮主站與輔站之間的相對位置誤差，可獲得更高的定位精度。