LDPC 碼與數字圖像加密

邵一丹，王中訓，李心宇，張夢雨

（煙臺大學物理與電子信息學院，山東煙臺 264005）

在當今世界，網絡信息技術幾乎覆蓋到了每一個角落，生活中的很多方面都離不開計算機。人們享受著計算機帶來巨大便利的同時，隱私信息也面臨著被泄露的風險。

圖像包含的信息量較多，作為信息存儲和傳輸過程中的一種重要載體，被廣泛應用[1]。圖像在人們的生活中發揮著越來越重要的作用，大量的圖片在社交網絡中傳輸，但也容易泄露個人的隱私。比如，有的人用他人的照片通過人臉識別取走當事人的快遞，在網絡世界中，人們也可以通過圖像來獲得各種各樣的信息，如何保證圖像信息的安全傳輸和存儲，成為信息安全的一個及其重要的領域[2]。

為了提高數字圖像安全性，這里運用了2D Logistic-Sine 混沌系統與LDPC 碼相結合的圖像加密方案，相比較一維的混沌系統，有著更為優良的特性，不易被破解，從而提高了密圖的安全性。最后通過Matlab 進行仿真分析，得到了不錯的加密效果。

1 LDPC碼

1.1 LDPC碼概述

LDPC（Low Density Parity Check）碼概念首次出現是在1960年，由Gallager 教授在其博士論文中提出。由于相較于校驗矩陣H的長度，它的行列中存在著特別小的非零數[3]，即“1”的數目要遠遠比“0”的數目小得多。這也是LDPC 碼之所以會被稱作為低密度奇偶校驗碼的原因。正是出于這個原因，使得LDPC 碼的復雜程度低，并且提高了其性能，使得LDPC 碼得到了較為廣泛的應用。

H為校驗矩陣，其大小設定為m×n，并用它來對LDPC 碼進行定義。在校驗矩陣H當中，校驗信息由每行來對應，碼字信息則由列與其對應。校驗矩陣H中每列非零元素的個數稱為列重[4]，并用λ來表示；同理可得，行重則是每行非零元素的數目，這里用ρ來表示。

校驗矩陣H有著如下幾個特點：

1）每行的元素1數目是一致的。“1”的數目即為行重。在如式（1）所表示的校驗矩陣H中，該行重為3。

2）每列的元素1 數目是相同的。“1”的數目即為列重。在如式（1）所表示的校驗矩陣H中，該列重為2。

3）任何兩行或者兩列之間，非零元素重合的次數小于或等于1。不是零的元素分布較為稀疏。

當HcT滿足等于零的條件時，也可以用方程的方式來表述LDPC碼，校驗方程如式（2）所示:

除了校驗矩陣和方程這兩種方式能表述LDPC碼之外，Tanner 圖也可用于表示LDPC 碼。Tanner 圖中運用圖形來表示，更加清楚地展示了碼元節點跟校驗節點之間的關系。利用碼字的校驗方程來表現碼字就是Tanner 圖的本質所在。

兩種頂點(比特節點以及校驗節點)出現在Tanner圖當中。從某一個節點，例如從C0開始，不經歷重復的邊，最終又返回到這個節點的閉合回路稱為環。在閉合回路中走過的邊的數目是環長，最短環長也可以稱作圍場,指的是經歷邊數最少的環。Tanner 圖如圖1 所示。

圖1 H（6，2，3）校驗矩陣的Tanner圖

在Tanner 圖里存在著循環，在譯碼的過程中有概率會出現校驗信息重復反饋的情況，從而使得譯碼的準確率降低，因此,構造校驗矩陣的過程中應盡量避免圍長較短的循環產生[5]。

1.2 BP譯碼方式

經典的置信傳播（Belief Propagation,BP）算法，是一種軟判決算法[6]。BP 譯碼算法的原理：其譯碼思想和BF 類似，在信息傳輸過程中沿著Tanner 圖邊進行傳遞，這種傳遞是雙向的[7]。

BP 譯碼方式第一步就是將變量節點進行初始化，然后每個變量節點通過與校驗節點相連的邊將概率信息傳遞給校驗節點[8]。信息經過校驗節點計算更新之后再傳回到變量節點中，接著，變量節點依據更新以后的信息做判決，這便是一次迭代的過程。最終結束譯碼的條件是找到了允許使用的碼字或者是到達了最大的迭代次數。通過多次迭代計算使得譯碼結果更加精準，誤碼率更低[9]。

若xl表示變量節點，sm代表的是校驗節點，那么表示的是xl向sm傳遞的信息，則sm傳遞給xl的信息就用來表示。不包含xl這個變量節點的L(m)集合記為L(m)l，不包括sm這個校驗節點的M(l)集合記為M(l)m。

如果Hml滿足等于1的條件，則l執行下面的步驟。

3）變量節點更新如下：

在上述公式中，aml是一個比較特殊的存在，它可以使得與兩者的和保持為1。

4）似后驗概率更新如下：

其中，al與aml作用相類似，它的存在可以使得與兩者的和保持為1。

5）比特判決，當的取值大于0.5時，xl的數值就等于0；否則，判定的xl數值就等于1，l=1,2,…,N。當HTx=0 或者到達了最大迭代次數時，結束譯碼，輸出譯碼結果x，如果還未滿足要求，則跳回到步驟2）循環執行。

2 混沌系統

混沌系統有許多特性，如初值敏感性、隨機性、遍歷性和不可預測性等特點，被廣泛應用于圖像加密[10]。

2.1 Logistic

Logistic 映射表現為一種迭代或映像過程[11]。Logistic 映射用數學公式可以描述為[12]：

經過多次的實驗，如果想要映射處于混沌的狀態，μ要滿足的條件是3.569 945＜μ≤4。參數μ與數值4 越相近，x的取值范圍越是平均分布在0 和1 的整個區域[13]。其結果展現出了偽隨機分布狀態。μ=4時，Logistic 映射進入滿映射狀態[14]。

2.2 Sine

Sine 映射公式為：

2.3 2D Logistic-Sine

2D Logistic-Sine 公式為：

其中，α∈[0,1]。

2D Logistic-Sine 的加密流程如圖2 所示。

圖2 加密流程

3 加密方案

首先，把待加密處理的圖像進行位平面的分割，得到了8 個二值位平面，再對最高的兩位位平面進行LDPC 編碼，重構位平面，得到10 bit 灰度圖。設定初值x0=0.5,y0=0.8,a=0.99。利用混沌系統對圖像進行置換以及行列擴散操作。

原始圖像如圖3 所示。

圖3 原始圖像

首先，將圖像進行置亂操作，結果如圖4 所示。

圖4 置亂后圖像

對圖像再進行行擴散與列擴散操作，結果分別為圖5 與圖6 所示。

圖5 行擴散后圖像

圖6 列擴散后圖像

分離出高兩位位平面作為內部密鑰輸出，剩余8位位平面構成的密文圖像輸出。

最終加密圖像如圖7 所示。

圖7 最終加密圖像

解密就是取反的過程，依次進行列解密、行解密、置亂恢復。分離出高四位位平面，經過LDPC 譯碼最終得到解碼之后的位平面。將解碼之后的位平面與6個位平面重構，得到解密圖像如圖8所示。

圖8 解密圖像

4 Matlab仿真實驗及分析

4.1 直方圖分析

直方圖是基本統計特征，它所表示的是灰度級函數。分布越均勻，越能掩藏明文圖像像素值的散布情況，使對抗人員難以破解，獲得相關的信息[15]。

直方圖的定義如下:

原圖像的直方圖如圖9 所示，加密后直方圖如圖10 所示。

圖9 原圖像直方圖

圖10 加密圖像直方圖

加密后的直方圖較為均勻，說明加密效果較好。

4.2 相鄰像素的相關性

圖像相鄰像素相關性能夠真實反映圖像相鄰位置像素灰度值的相關程度[16]。

計算公式如下：

表1 為圖像的相關性。

表1 圖像的相關性

相鄰像素點的相關性取值越小，表明了圖像相鄰像素灰度值關聯程度就越低，圖像就更加的無序混亂，所以應使加密后的圖像相鄰像素的相關性系數越小越好。

4.3 信息熵

信息熵反映了灰度值的分布狀態。如果灰度值均勻分布，就有著更大的信息熵。

原始圖像信息熵為7.009 7；加密圖像信息熵為7.997 2，接近于8。越接近于8，經過信息熵來獲取圖像的信息就越困難。

4.4 密鑰敏感性

選擇不正確的初值進行解密，如x0=0.499 99，y0=0.800 01，再進行解密，錯誤解密圖如圖11 所示。

圖11 錯誤解密圖

解不出原始圖像，說明該系統較為敏感。

4.5 密鑰空間大小

假設精度為10-16，那么該算法的密鑰空間為1048，密鑰空間大于Logistic 映射的1030，更能抵御窮舉攻擊。

5 結論

該文采用LDPC 碼與2D Logistic-Sine 相結合的加密方法，對圖像進行加密，加密后無法用肉眼獲得有用信息，加密效果較為理想。而且相對于一維的混沌系統，有著更大的密鑰空間，也相對不容易被破解，提高了安全性，然而LDPC碼的編譯碼速率還有待進一步提升。