固推約束下的火星表面起飛上升制導律設計

郭敏文，李 琨，黃翔宇，郭延寧

(1.北京控制工程研究所，北京 100094；2.哈爾濱工業大學航天學院控制科學與工程系，哈爾濱 150001)

0 引 言

目前，中國已經通過嫦娥五號探測器實現了月面采樣返回，即將開展小行星就位探測任務，火星采樣返回任務也進入方案論證階段。與地球和月球任務不同的是，火星面臨的干擾和不確定性較大，可觀測的數據較少，并且存在著通信困難的問題，因此火星采樣返回任務困難重重。其中，火星表面上升是火星采樣返回中最具挑戰性的關鍵技術，世界上尚無任何先例。由上升段、無動力滑行段和入軌段構成的三段式上升方案是一種經典且有望實用的技術路線，但其面臨著初始起飛狀態和干擾力矩不確定性大、火星上升器質量特性變化快和氣動環境復雜多變等多項挑戰。最終入軌精度對于同火星軌道器的交會對接、樣本轉移等具有重要的影響，因此具有很高的要求。馬歇爾太空飛行中心對上升器的推進方案進行了設計與預研，由于固體方案相比于固液混合方案具有更低的起飛質量，系統整體復雜度相對較低并且對工作溫度限制不敏感，能夠適應較為復雜的環境，所以固體方案更能適應飛行任務的條件與需求[1]。但采用固體發動機也面臨獨特的困難，一方面是推力大小固定，帶來了控制能力有限的問題;另一方面其自身特性要求在燃燒掉所有推進劑前不能提前關機，因此需要針對上升器設計額外的能量管理策略[2]。為了保障上升器能夠在固體推進劑約束的條件下定時定點地進入預定軌道，火星表面上升過程的制導控制系統面臨著嚴峻的挑戰。

制導策略是上升器安全、高精度地飛行到預定軌道的重要保障。目前關于火星上升制導律的研究相對較少，主要有兩種方法：預測校正制導和標稱軌跡跟蹤制導[3]。預測校正制導主要是通過對最終狀態進行預測來分析軌跡，逐步校正，具有較強的靈活性。McCormick等[4]早在1986年就提出了基于預測校正的火星表面上升制導方法，有效處理了各種偏差，但其計算量大、對模型要求較高。洪海超等[5]分別考慮了導彈和著陸器的狀態和輸入約束，提出了一種新的預測凸規劃模型，能夠快速高效地解決制導問題。標稱軌跡跟蹤制導主要任務為跟蹤離線優化的標稱軌跡，根據實際飛行軌跡與標稱軌跡之間的誤差設計制導策略。文獻[3]總結了火星上升器制導算法的發展和面臨的諸多困難，雖然對火星上升器的研究不多，但是可以參考地球、月球表面上升的方案[6]。目前大多數火星探測任務中，出于對可靠性的要求，標稱軌跡跟蹤制導仍是優先考慮使用的方法。

標稱軌跡跟蹤制導可主要分為標稱軌跡的獲取和制導律的設計[7]。標稱軌跡的獲取即在滿足約束條件下最優化預先設定的性能指標來確定飛行軌跡的過程。制導律設計的目的就是通過設計控制加速度或執行機構狀態，使上升器能夠克服各種干擾與不確定性的影響，對標稱軌跡實現跟蹤。Ro等[8]使用最優控制理論提出了一種應用在火星大氣捕獲的阿波羅再入標稱軌跡跟蹤制導方法。文獻[9]將該方法應用到火星上升過程，并通過蒙特卡羅仿真對算法的性能和魯棒性進行了評價。但是這種方法簡化忽略了火星大氣的影響，在加入一定約束條件后制導精度會有所下降。文獻[10]對該方法進行了改進，增加對滑行段火星大氣阻力導致的速度損失的解析預測，使得改進后的制導方法在相對推力角約束下的制導精度得到提升。另外，文獻[11]將Lambert制導和通用能量管理方法應用到火星上升器的制導過程中，通過控制上升器偏離最優飛行軌跡，使得上升器具有燃燒多余推進劑的能力，最終完成入軌。

后來為了適應更復雜的情況，逐漸衍生了諸如土星五號火箭的迭代制導和航天飛機的動力顯式制導。迭代制導利用簡化形式下最優控制解的必要條件來進行自適應制導，它不需要進行大量的地面計算，并且對于外界存在較大干擾的情況具有較好的適應性能[12]。國內的長征二號F火箭首次應用迭代制導方法取得了較高的入軌精度[13]。迭代制導方法是目前應用于液體運載火箭的主要制導方法。吳榮[14]將迭代制導應用于可重復使用火箭返回制導任務中。動力顯式制導由Jaggers[15]在基于雙線性正切自適應制導的技術上改進發展。McHenry等[6]針對動力顯式制導應用于航天方面進行了詳細介紹。

綜上，目前的火星表面起飛上升制導研究一般關注于某一階段，尚缺乏全過程整體設計，且未考慮滑行段的制導。但在整個上升過程中，滑行段消耗的時間要遠大于其他階段[16]，如果不考慮該段的制導問題，則會造成滑行段結束時距離遠拱點誤差較大，最終會給入軌段的制導過程增加較大的難度。

因此，本論文基于標稱軌跡跟蹤制導方法，主要針對上升段、無動力滑行段和入軌段全過程進行制導律設計。在上升段引入了阿波羅式制導策略。考慮到上升器在滑行段的控制需求，在滑行段設計了滑模制導律，通過傾側角的調整實現上升器所受氣動力的改變進而完成對標稱軌跡的跟蹤,并在最終入軌段采用Lambert制導策略實現精確入軌。

1 問題描述與建模

起飛上升過程可以分為三個階段，如圖1所示。首先，上升器第一級固體發動機點火進入上升段，該階段目的是使上升器達到一定的高度與速度，固體推進劑消耗完之后，上升段結束，隨后進入較長時間的無動力滑行段，當上升器飛到目標軌道遠拱點附近時，該階段結束。最后，第一級分離，第二級點火，在入軌段進行修正后進入目標入軌點。

圖1 飛行過程Fig.1 Flight process

在上升段由于氣動力相對于發動力推力來說很小，為了方便分析在建模時忽略氣動力的影響，上升段和入軌段采用Queen[9]提出的動力學模型：

(1)

式中：h為上升器距離火星表面的高度；T為發動機推力；m為上升器的質量；α為攻角；γ為飛行路徑角；gm是上升器當前位置的重力加速度；ψ是方位角；v為上升器速度；RM為火星半徑。

在無動力滑行段持續的時間較長，發動機不施加推力，如果忽略大氣影響則會產生較大的制導偏差，因此借鑒大氣進入段的制導方案，通過控制傾側角來改變上升器所受的氣動力，建立無動力滑行段的動力學模型：

(2)

式中：θ是經度；φ是緯度；σ是傾側角；L和D分別為升力和阻力。升力和阻力的計算方式為：

L=ρv2SCL/(2m)

(3)

D=ρv2SCD/(2m)

(4)

式中：ρ是大氣密度；S是參考面積；CL是升力系數；CD是阻力系數。

2 制導律設計

首先利用高斯偽譜法優化得到一條標稱軌跡，基于該軌跡設計整個飛行過程的制導律。其中上升段采用阿波羅式制導策略，無動力滑行段和入軌段分別采用滑模軌跡跟蹤制導和Lambert制導策略。

2.1 上升段制導

在發動機點火后，由于采用固體推進方案，推力大小為常值，因此只能通過角度的控制來完成該階段的制導。在該階段主要通過類攻角和類側滑角的閉環控制來使上升器跟蹤標稱軌跡。

(1)類攻角的閉環控制

為了使無動力滑行段結束時的高度與目標軌道遠拱點的高度Rt誤差最小，定義目標函數：

minJ=ΔR2=(R-Rt)2

(5)

建立相應的哈密頓函數：

H=λhvsinγ+λv(Tcosα/m-gsinγ)+

λγ(Tsinα/(mv)+vcosγ/(RM+h)-gcosγ/v)

(6)

可以得到相關的協態變量方程：

(7)

λγcosγ/(RM+h)-λγgcosγ/v2

(8)

λγvsinγ/(RM+h)-λγgsinγ/v

(9)

為了得到上升段的協態變量λ=[λh;λv;λγ]，以上升段協態變量的終端值作為條件，反向積分到上升段初始時刻，由此就可以建立上升段的協態變量表。

將上升器的速度v作為獨立變量可以從協態變量表中獲取當前速度下對應的協態變量，然后通過式(10)計算得到類攻角的修正量。將該修正量與當前速度對應標稱軌跡的控制量相加即可得到類攻角的控制量輸入，關于類攻角控制的結構如圖2所示。

Δα=-λTΔX/λα

(10)

圖2 類攻角的閉環控制Fig.2 Closed-loop control of the angle of attack

(2)類側滑角的閉環控制

類側滑角的控制主要是根據當前方位角和飛行路徑角進行計算，結構圖如圖3所示。

圖3 類側滑角的閉環控制Fig.3 Closed-loop control of the sideslip angle

首先獲得當前飛行參數，然后以速度為獨立變量在標稱軌跡中獲得目標方位角，再通過式(11)計算出類側滑角控制輸入量，以實現目標方位角的跟蹤過程。

β=arcsin[mv(ψdes-ψact)cosγact/(ΔtT)]

(11)

式中：ψdes是目標方位角；ψact是實際方位角；Δt是制導控制周期。

2.2 無動力滑行段制導

在多數無動力滑行段的飛行方案中，往往認為該階段飛行時不受大氣的影響，而由軌跡優化的結果可知在該階段時有一段時間處在火星大氣層內，在沒有施加推力的情況下，如果忽略氣動力的影響，可能會產生較大的入軌偏差。

即使阿波羅式火星表面上升段制導方案能夠在上升段較好地跟蹤標稱軌跡，但是在第一級耗盡點產生偏差后，滑行段由于沒有施加控制進行修正，會引起偏差的進一步擴大，造成最終入軌精度較低的問題。

經過分析，無動力滑行段的飛行過程與大氣進入段相似，因此可以借鑒大氣進入段的控制方案，考慮到上升器在滑行段的控制需求，在滑行段設計了滑模制導律，通過傾側角的調整改變上升器所受的氣動力，實現對標稱軌跡的跟蹤。

首先構建輔助變量，并且令r=h+RM：

(12)

可以得到

(13)

式中：d1和d2代表著參數不確定性和外界擾動，并且假設它們的變化率是有界的。

對滑模面進行求導可以得到

g(x)u+Xd+d1+kd2

(14)

(15)

d1和d2不能被精確測量，所以需要設計觀測器對d1和d2進行估計。

下面對d1進行估計，選取滑模面

(16)

觀測器可以設置為

(17)

為了盡快收斂到滑模面，提高控制器的性能，選擇趨近律

(18)

最終，可以得到制導律如下

u=g-1(x)(-f(x)-Xd-k1sgn(s0)-

(19)

(20)

σ=arccos(u)

(21)

改變傾側角的符號不會影響縱向運動的精度，而能起到改變橫向運動的效果。因此，通過設計傾側角的符號邏輯，實現控制上升器橫向運動的效果。

將航向角誤差閾值作為傾側角符號切換的判據，將閾值設計為上升器速度的一次函數：

s3=η1v+η2

(22)

當航向角誤差到達閾值邊界時，傾側角改變符號，即

sgn(σ)=-sgn(eψ)

(23)

2.3 入軌段制導

在整個飛行過程中，滑行段的時間較長，而兩級上升器的燃燒時間都很短，因此可以將其看為兩次點火的Lambert轉移。在飛向目標的過程中，滑行段占用的時間越多，Lambert制導的效果就越好。另外，Lambert制導策略可以保證在達到目標位置時燃料消耗完畢，能夠滿足能量管理的需求。Lambert制導的思路是：從無動力滑行段結束時開始，計算在固定燃燒時間(第二級的燃燒時間)下上升器從當前位置轉移到目標位置所需要的速度vgo，根據當前速度v0和計算出的當前所需速度vgo可以得到在該狀態下所需的速度增量如下式所示：

Δv=vgo-v0

(24)

(25)

根據式(25)可以將該速度增量轉化為目前所施加的控制量u，即完成了當前時刻的控制量的求算，在入軌段不斷循環該過程即可實現入軌段的Lambert制導，具體流程如圖4所示。

由于發動力推力的大小是不變的，利用Lambert制導時的一個缺陷就在于,計算得到的速度增量轉換為推力方向產生的控制效果并不能夠瞬時產生相應的速度增量作用于系統，因此每一次計算都會產生一定的偏差，為了消除偏差對最終入軌精度的影響，結合軌跡優化得到的控制量對最終的控制u進行加權處理如下：

u=w1·uLam+w2·unor

(26)

圖4 Lambert制導流程Fig.4 Lambert guidance process

式中：w1和w2分別為Lambert制導策略計算得到的控制量uLam和標稱控制量unor的權重。該處理的目的是使最終控制量的成分中既包含Lambert制導又包含參考軌跡，并且由于控制飽和問題的存在，因此對權重要求并不高，主要根據前兩段的跟蹤效果進行選擇。這樣既避免了采用開環制導帶來的弊端，又能結合參考控制量對Lambert制導算法帶來的問題進行補償，進一步提高了入軌精度。

3 仿真校驗

兩級固體上升器每一級的參數配置如下：

表1 MAV參數表[10]Table 1 MAV parameters[10]

根據以上參數采用高斯偽譜法進行軌跡優化作為標稱軌跡，對上升器制導全過程進行數值仿真，其中仿真案例為從赤道上0 km的高度發射上升器飛行到高度500 km、軌道傾角為45°的圓形環火軌道，在入軌段制導時控制權重取值為w1=0.6和w2=0.4，可以得到以下結果：

圖5 上升高度Fig.5 Flight altitude

圖6 飛行速度Fig.6 Flight speed

圖7 軌道傾角Fig.7 Orbital inclination

圖8 軌道偏心率Fig.8 Orbital eccentricity

由圖5～圖8可以看出,所設計的全過程制導策略能夠對標稱軌跡實現較好的跟蹤，并且在入軌點處的軌道傾角和偏心率都能夠控制在期望值附近。

為了進一步驗證該方法的魯棒性，在如表2所示的隨機誤差范圍下進行500次蒙特卡洛仿真，可以得到以下仿真結果。

根據以上仿真結果可以看出500次實驗的制導效果，在考慮初始偏差和參數不確定性時，該制導策略具有一定的魯棒性。在上升段制導結束存在誤差的情況下，無動力滑行段通過對氣動力的調控減小了誤差帶來的影響，最后完成入軌段制導，實現了高精度的入軌。

表2 隨機誤差范圍Table 2 Random error margins

圖9 上升高度Fig.9 Flight altitude

圖10 飛行速度Fig.10 Flight speed

圖11 軌道傾角誤差Fig.11 Orbital inclination errors

圖12 軌道偏心率誤差Fig.12 Orbital eccentricity errors

4 結 論

本文研究了固推約束下三段式火星表面起飛上升全過程制導律的設計問題。首先，分別針對上升過程中的三個階段進行建模分析，在上升段采用阿波羅式上升制導方案，而針對于滑行段設計了一種滑模軌跡跟蹤制導方法，通過調整傾側角來控制飛行器的運動軌跡，使得對標稱軌跡跟蹤的精度大大提升，最后在入軌段采用Lambert制導策略進一步縮小入軌誤差，通過實際仿真驗證了所設計制導方法的可靠性。