視場角受限的三維攻擊角度控制導引律

陳亞東，王琭珉，郭大慶，劉俊輝，王佳楠

(1.北京理工大學宇航學院，北京 100081；2.北京宇航系統工程研究所，北京100076)

0 引 言

有關攻擊角度控制問題的研究從20世紀70年代便已經開始，而且隨著實際應用的牽引和理論研究的深入，越來越多的約束引入到制導律設計中。Kim等[1]設計了一種用于再入飛行器的次優末端姿態角控制制導方法，在攻角為小角度的情況下，可將該方法應用于攻擊角度控制。隨著精確制導技術的發展，制導彈藥被廣泛用于反坦克和反艦船等場景。由于坦克和艦船防護的升級，進攻方需要采用具有攻擊角度控制能力的制導方法以提高導彈的穿甲能力。York等[2]在文獻[1]的基礎上進一步考慮了小攻角假設以及自駕儀響應時間對落角約束制導方法的影響。Ryoo等[3]采用線性化制導模型結合線性系統最優控制理論提出了考慮一階、二階自駕儀特性的最優攻擊角度約束制導方法，同時給出了剩余攻擊時間估算方法。Shaferman等[4]則基于線性化制導模型提出了一種線性二次型最優攻擊角度制導方法。劉丹等[5]提出了一種具有攻擊角度約束的最優制導方法。Ratnoo等[6]提出了一種基于狀態依賴黎卡提方程(State-dependent riccati equation，SDRE)的次優落角約束制導方法。劉俊輝等[7]考慮脈沖力控制形式特點，基于擴展極大值原理提出了一種帶攻擊角約束的脈沖式最優制導律。刁兆師等[8]采用反步法提出了一種考慮駕駛儀特性的攻擊角度控制方法。孫勝等[9]采用終端滑模控制方法提出了一種考慮駕駛儀動態特性的攻擊角度控制方法。除了基于最優控制理論和非線性控制理論等發展而來的攻擊角度控制方法，偏置比例導引和彈道成形方法也常用來設計攻擊角度控制制導律。Kim等[10]提出了一種偏置比例導引來實現比例導引的攻擊角度控制。Ratnoo等[11]則通過對比例導引攻擊角度的預測和控制實現了平面落角約束制導。Dhabale等[12]還采用了三次多項式彈道成型方法設計了一種針對靜止目標的攻擊角度約束制導方法。上述方法只考慮了平面攻擊角度約束制導問題，而三維攻擊角度控制問題則呈現出更為復雜的耦合特性，無法通過平面攻擊角度約束制導方法的簡單拓展實現，需要進一步的研究。

針對帶攻擊角約束的三維制導，已有不少研究工作。韓大鵬等[13]運用微分平坦理論設計了三維耦合條件下的多約束制導律。Oza等[14]提出模型預測靜態規劃(Model predictive static programming，MPSP)方法，實現了三維非線性攻擊角度約束制導，考慮了打擊靜止和機動目標的有推力和無推力導彈制導問題。馬培蓓等[15]則對三維制導過程的視線角動力學進行了分析，基于李雅普諾夫穩定性原理設計了一種針對靜止目標的三維落角約束制導方法。Lin等[16]則對SDRE在平面和三維攻擊角度約束制導中的應用進行了歸一化分析。熊少鋒等[17]針對大氣層內導彈逆軌攔截高速機動目標問題，將三維制導分解為兩個相互垂直平面內的二維制導，基于最優控制設計了帶角度約束的三維制導律。賴超等[18]對側滑轉彎(STT)導彈的攻擊角度約束制導問題進行了研究，提出了一種基于自適應終端滑模動態面控制的三維攻擊角度約束部分制導控制一體化方法。梁晨等[19]采用深度強化學習算法提出了一種三維攻擊角度約束制導律。Nanavati等[20]通過分析制導過程中速度前置角與攻擊角度之間的關系提出了一種三維攻擊角度約束制導方法，并驗證了該方法在導彈速度變化情況下的制導性能。上述工作對三維攻擊角度約束制導問題進行了研究，并獲得了一些解決方法。而隨著制導技術的發展，制導約束不斷耦合，需要進一步考慮多種約束情況下的制導方法。

隨著探測器測量性能的提升和捷聯制導算法的發展，越來越多導彈采用捷聯導引頭，尤其是低成本制導彈藥，而由于捷聯導引頭與彈體固連且探測視場有限，所以制導律設計需要考慮制導過程中的視場角受限問題。黃詰等[21]基于比例導引提出了一種具有視場角約束的攻擊角度控制方法，通過對偏置項進行三階段設計，使得制導過程同時滿足視場角和過載等約束條件限制。郭佳暉等[22]針對制導炮彈的末制導問題，基于有限時間滑?？刂评碚撛O計了一種帶有攻擊角度和視場角約束的有限時間導引方法，并采用擴展觀測器對目標機動進行了補償。李驍寶等[23]也通過有限時間滑模控制理論設計了一種針對機動目標且視場角受限的攻擊角度控制方法。Liu等[24]則提出了一種考慮飛行速度時變和過載飽和的攻擊角度和視場角約束制導方法。Kim等[25]則基于比例導引提出了一種具有時變偏置項的攻擊角度控制導引律，保證了制導指令的平滑且可滿足視場角約束。張道馳等[26]則針對空地導彈進行大落角攻擊時由于導引頭跟蹤誤差角過大導致目標丟失的問題，通過對最優彈道成型制導律下導引頭跟蹤誤差角的解析計算，提出了一種滿足導引頭視場角和落角約束的制導方法。Lee等[27]則對捷聯制導彈藥視場角受限情況下的攻擊角度控制范圍進行了研究。何紹溟等[28]則通過滑?？刂评碚撎岢隽艘环N具有視場角約束和有限時間收斂特性的魯棒攻擊角度控制方法。上述視場角受限的攻擊角度控制方法均為平面制導方法，忽略了三維制導過程中的耦合特性。為進一步提高多約束制導性能，需對視場角受限的三維攻擊角度控制方法進行研究。胡慶雷等[29]通過俯仰和偏航通道的三次多項式擬合彈道成型方法提出了一種具有視場角約束的三維解析攻擊角度控制方法。Liu等[30]則通過俯仰偏航分通道解耦實現了視場角約束情況下的三維攻擊角度控制。

通過文獻綜述可以發現最初的攻擊角度約束制導律大多采用平面制導模型，由于平面攻擊角度約束制導問題模型較為簡單，可采用最優控制理論、偏置比例導引、滑模控制、SDRE以及彈道成型等多種方法來解決。隨著制導問題研究的深入，一些學者對三維攻擊角度約束制導問題展開了研究。由于三維攻擊角度約束制導問題較為復雜，MPSP、SDRE、自適應終端滑模、強化學習等方法被用于解決該類問題。而隨著捷聯導引頭的普及，視場角約束問題也成為了研究的重點，一些學者對視場角約束下的攻擊角度控制問題進行了研究。目前大多數工作都是基于平面制導模型，少數成果中考慮了三維制導問題模型[27-28]?，F有視場角受限的三維攻擊角度控制導引律中多采用歐拉角坐標轉換來描述三維制導問題模型，存在坐標變換的奇異性問題，且制導指令的設計較為復雜，不夠直觀。本文采用三維矢量制導問題模型，首先結合四元數理論進行三維比例導引攻擊角度解析預測。然后設計末端攻擊角度變化方式，并利用空間幾何關系約束求解期望三維制導指令。進一步通過制導動力學閉環分析校驗了制導誤差的收斂性和視場角的有界性，并結合閉環制導方程的速度大小無關性證明了導引律對速度變化適應性。最后通過數學仿真校驗了算法的正確性和有效性。本文提出的導引律避免了坐標變換奇異性問題，且具有指令可解析計算以及誤差反饋閉環動力學簡單直觀的優點。

1 視場角受限的三維攻擊角度控制問題模型

1.1 三維制導模型

考慮如圖1所示的三維制導模型，OXIYIZI為慣性系，M為導彈，T為靜止目標，R為相對位置矢量，可表示為

R=PT-PM

(1)

式中：PT為目標位置矢量；PM為導彈位置矢量。

假設iI,jI,kI分別為沿慣性系OXIYIZI各軸的單位矢量，Vm,xI,Vm,yI,Vm,zI分別定義為導彈速度矢量Vm沿慣性系OXIYIZI各軸的分量。

圖1 三維制導矢量模型Fig.1 Three-dimensional guidance vector model

假設在末制導段飛行速度大小為常值，Am為導彈法向加速度矢量，Ωm為導彈速度矢量的旋轉角速度矢量，滿足

(2)

式中：vm為導彈速度大小。ΩR為彈目視線的旋轉角速度矢量，滿足

(3)

式中：r為彈目距離。

1.2 視場角及末端攻擊角度約束模型

隨著捷聯導引探測裝置的普及，視場角限制在導彈末制導階段廣泛存在。在小攻角假設下，可認為導引頭主軸與速度軸重合，進而可將視場角限制近似為速度前置角σ的約束

σ∈[0,σmax]

(4)

式中：σmax為最大速度前置角；σ定義為飛行速度和彈目連線之間的空間夾角大小，可表示為

(5)

式中：·代表點乘。而在速度大小定常假設下，末端攻擊角度約束可表示為

(6)

(7)

圖2 期望攻擊角度示意圖Fig.2 Diagram of desired impact angle

視場角受限的三維攻擊角度控制問題可視為在滿足約束條件(4)和(6)情況下的目標攻擊問題。

2 視場角受限的攻擊角度控制方法

2.1 三維比例導引及其末端攻擊角度預測

三維比例導引指令為

(8)

則根據式(2)可得比例導引下的速度矢量旋轉角速度為

(9)

由制導指令(8)可以看出導彈始終在速度-彈目連線構成的相對運動平面內機動，因此在比例導引條件下打擊靜止目標將在初始彈目相對運動平面內完成。

圖3 比例導引運動平面Fig.3 Motion plane of PNG

(10)

式中：kL為沿ZL方向的單位矢量，可表示為

(11)

飛行速度矢量的旋轉角速度可表示為

(12)

根據式(9)可得

(13)

對上式進行積分可得：

(14)

式中：t0,tf分別為初始和末端時刻。

通過式(14)可得

(15)

由于比例導引末端前置角為0，可知

(16)

根據式(15)～(16)可知

(17)

(18)

式中：φ為旋轉角度大小，可表示為

(19)

根據四元數理論可知

(20)

式中：

(21)

式中：

(22)

式中：

(23)

通過式(20)可預測比例導引末端速度矢量，即攻擊角度。

2.2 三維比例導引攻擊角度控制制導指令設計

(24)

圖4 比例導引攻擊角度控制示意圖Fig.4 Diagram of PNG impact angle control

(25)

式中：ka為攻擊角度控制增益；kVc是沿MZVc方向的單位矢量且可表示為

(26)

根據式(25)～(26)可得

(27)

圖5 制導指令示意圖Fig.5 Diagram of guidance commands

(28)

(29)

式中：AVf可通過ΩVf獲得

(30)

(31)

(32)

通過圖3可得

(33)

式中：ωr為視線角速率，可表示為

(34)

通過相似的推導可得

(35)

根據式(13)，(33)和(35)可得

(36)

(37)

由于采用了速度大小定常假設，可得

(38)

進而可得攻擊角度控制制導指令，即法向加速度指令為

(39)

在導引指令的計算過程中kL和kVc的計算在λ=0或者σ=0時會發生奇異。根據kL的定義可知：在σ=0時可以是垂直于R的任何單位向量，所以當λ≠0而σ=0時，可以認為kL=kVc。相似地當λ=0而σ≠0時，可以認為kVc=kL。當λ=0且σ=0，制導指令應為0，kL和kVc可取任意值。

2.3 制導誤差收斂性分析及視場角約束能力分析

根據式(33)和(36)可得

(40)

定義李雅普諾夫函數

S=λ2

(41)

對其求導可得

(42)

由于σ∈[0,σmax]，所以有

(43)

且等號僅當σ=σmax時成立。進而可得

(44)

在式(44)中，等號僅當σ=σmax,λ=π或λ=0時成立。由視場角約束能力的分析可知σ=σmax時，制導律趨于比例導引σ=σmax狀態無法維持，為不穩定平衡點。由攻擊角度誤差定義可知λ=π代表期望攻擊角度與當前比例導引攻擊角度反向，該情況下工程中出現概率極小，且一旦出現擾動系統將脫離該平衡點向λ=0處收斂，該平衡點也為不穩定平衡點。進而可知λ=0為閉環非線性系統的唯一穩定平衡點，因此制導律(39)可保證攻擊角度誤差的收斂性。進一步，根據式(25)和(40)可知，當λ→0時，偏置項接近于0，制導律趨近于比例導引，從而保證末端σ→0。

2.4 速度大小變化情況下的制導軌跡不變性分析

通過前面的理論推導和分析得到了速度大小定常情況下的導引律，由于本文研究的制導問題打擊對象是靜止目標，且視場角和攻擊角度約束條件也可通過制導軌跡特性得到滿足，若能證明在導引律(39)作用下制導閉環動力學在導彈速度大小變化情況下制導軌跡的不變性，則可證明該制導方法對導彈速度大小變化的適應性。

為證明制導閉環動力學在速度大小變化情況下的制導軌跡不變性，定義

(45)

由制導律的設計過程可知

(46)

根據式(36)和(38)進一步可得

(47)

因此導引指令(39)可表示為

(48)

式中：

(49)

根據定義可知

(50)

單位矢量Re和彈目距離的導數為

(51)

(52)

式中：

(53)

式中：Amt和Amn分為切向和法向加速度矢量。則有

(54)

式中：at為軸向加速度大小。進而可得

(55)

由于

vmdt=ds

(56)

式中：s為軌跡長度，進而可得

(57)

由于導彈飛行軌跡可通過R=Rer的變化來確定，結合式(57)可發現導彈飛行軌跡變化的動力學方程中不包含飛行速度大小，即飛行速度大小的變化不會影響飛行軌跡的形狀。

3 仿真校驗

3.1 制導軌跡的速度大小無關性校驗

設置2枚導彈以相同的初始狀態攻擊位于(0,0,0) km的固定目標，M1速度定常，M2速度變化，制導初始狀態為，R=(-10,-10,-10) km,Vm=(-100,-200,-100) m/s。M2切向加速度大小隨時間變化規律為

at=5sin(0.1t)

兩枚導彈的制導參數為N=3,ka=2。捷聯導引頭最大視場角為30°。設置攻擊角度約束為θc=0°,φc=-90°。仿真結果如圖6～9所示。

從仿真結果圖6可以看出，兩枚導彈具有完全重合的制導軌跡，且均成功命中目標。而從制導狀態的時間曲線圖7～9可以看出，由于兩枚導彈具有不同的速度，制導狀態在時間上的變化曲線有所不同。但圖8中的攻擊角度誤差均在末端時刻趨于零，而圖9中的速度前置角曲線均收斂至零。此仿真結果可驗證制導軌跡與導彈速度大小變化的無關性。

圖6 不同速度下制導軌跡Fig.6 Guided trajectories with different speed

圖7 不同速度下加速度大小曲線Fig.7 Curves of acceleration with different speed

圖8 不同速度下攻擊角度誤差曲線Fig.8 Curves of impact angle error with different speed

圖9 不同速度下前置角曲線Fig.9 Curves of leading angle with different speed

3.2 視場角約束能力校驗

由制導指令設計過程可知，制導過程中的視場角約束由系數項cos(πσ/(2σmax))實現，若將該系數項設為1，則制導方法對前置角無限制，成為文獻[31]中的控制方法。設置兩枚導彈以相同的初始狀態攻擊位于(0,0,0) km的固定目標，設置制導初始狀態為R=(-10,-10,-10) km,Vm=(-100,-200,-100) m/s。假設兩彈的最大視場角均為30度，M1采用本文所設計制導方法，M2采用文獻[31]中的方法，兩枚導彈的制導參數為N=3。設置攻擊角度約束為θc=0°,φc=-90°。仿真結果如圖10～13所示。

從仿真結果圖10中可以看出，兩枚導彈具有不同的制導軌跡，但均實現了對目標的擊頂打擊。圖11中的加速度曲線也有較大區別，M1的初始加速度較小而在末端加速度有一個拉升過程，但兩枚導彈的加速度最終均趨于零。圖12中攻擊角度誤差曲線顯示兩枚導彈具有相同的初始攻擊角度誤差，雖然誤差收斂過程有所不同，但最終均趨于零。而圖13中的速度前置角曲線則顯示，M1的前置角始終滿足視場角約束，而M2的視場角則在部分時段超過了視場角限制。仿真結果驗證了提出的制導方法在攻擊角度控制過程中的視場角限制能力。

圖10 視場角約束下制導軌跡Fig.10 Guided trajectories under field-of-view constraint

圖11 視場角約束下加速度大小曲線Fig.11 Curves of acceleration under field-of-view constraint

圖12 視場角約束下攻擊角度誤差曲線Fig.12 Curves of impact angle under field-of-view constraint

圖13 視場角約束下速度前置角曲線Fig.13 Curves of leading angle under field-of-view constraint

3.3 大范圍攻擊角度控制能力校驗

為驗證所提制導算法的大范圍攻擊角度控制能力，本場景將設置多種攻擊角度來對制導算法進行驗證。設定目標位置(0,0,0) km，導彈初始狀態為R=(-10,-10,-10) km,Vm=(-100,-150,50) m/s。視場角限制為60°，制導參數為N=3,ka=6。設置不同的攻擊角度約束如表1。不同攻擊角度約束條件下的仿真結果如圖14～17所示。

從制導軌跡圖14可以看出，本文所設計的導引律成功導引導彈實現了多攻擊角度約束條件下的目標全方位立體打擊，攻擊角度覆蓋范圍廣，角度變化范圍大。從圖15中的加速度曲線可以看出在大范圍攻擊角度約束條件下，導彈加速度最大值仍然處于較為合理的區間，小于3g。從圖16可以看出在大范圍攻擊角度約束條件下的初始攻擊角度誤差變化較大，但在末端時刻均收斂至零，即實現了攻擊角度精確控制。從圖17可以看出在所有條件下導彈的前置角曲線始終滿足視場角約束，小于60°，且在末端時刻均收斂至零。由此可見，本文所提出的算法具有視場角受限情況下的大范圍攻擊角度控制能力。

表1 攻擊角度設置Table 1 Impact angle settings

圖14 不同攻擊角約束下制導軌跡Fig.14 Guided trajectories with different impact angles

圖15 不同攻擊角約束下加速度曲線Fig.15 Curves of acceleration with different impact angles

圖16 不同攻擊角約束下攻擊角度誤差Fig.16 Impact angle error with different impact angles

圖17 不同攻擊角約束下前置角曲線Fig.17 Curves of leading angle with different impact angles

4 結 論

對于具有視場角約束的三維攻擊角度控制問題，本文基于三維矢量模型和四元數理論實現了制導模型的非奇異表達，并實現了三維比例導引的攻擊角度預測，進而根據空間幾何關系設計了一種比例導引攻擊角度控制方法，能夠滿足視場角約束條件下的三維攻擊角度的精確控制。此外，該制導方法生成的軌跡與導彈速度大小變化無關，進而保證了導彈速度變化情況下的制導性能。文中給出的仿真實例說明了該方法的有效性。