澳大利亞“高考”數學文化試題特征及其評析——以2017—2021年VCE進階數學試題為例

唐恒鈞，周雯馨

澳大利亞“高考”數學文化試題特征及其評析——以2017—2021年VCE進階數學試題為例

唐恒鈞，周雯馨

（浙江師范大學 教師教育學院，浙江 金華 321004）

基于對數學文化的理解，借鑒相關研究構建數學文化試題的分析框架．從試題結構及總體題型題量、數學文化試題占比、數學文化類型、融入試題方式和學生行為期望5個方面，分析澳大利亞VCE進階數學試題中數學文化的考查情況，以期為中國數學文化試題的編制提供借鑒．研究啟示：正確對待數學文化的考查，呈現多樣化的數學文化試題，采用更加內在而自然的運用水平，提高對學生數學思維品質的關注．

數學文化；澳大利亞VCE進階數學；試題分析

近年來，數學文化作為關于數學知識濫觴、嬗變和進化的一種兼具專業化和社會性的共有記憶、符號結構和理念系統，在數學教育和數學共同體內已經獲得廣泛認可[1]．《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》也明確提出“注重數學文化的滲透”“高考試題融入數學文化”等觀點[2]．高考作為選拔人才的重要手段，要發揮對中學數學教育的導向作用，更要體現數學的文化價值[3]．但有研究表明，數學文化在高考試卷中的落實情況不容樂觀，有的試題僅將數學文化素材作為試題背景來考查學生的數學能力[4]．澳大利亞數學課程重視數學文化，該國維多利亞州VCE考試（Victoria Certificate of Education）在全球具有一定的影響力，已有學者對VCE考試體系及數學教材[6–7]進行過分析，也有學者對澳大利亞全國數學統一評估試題中的數學文化[8]進行過分析．這里將進一步考察VCE進階數學考試中數學文化試題的特征，以期為中國數學文化試題的編制提供借鑒．

1 研究對象與方法

1.1 研究對象的選取

VCE數學考試分為進階數學（further mathematics）、數學方法（mathematical methods）和專業數學（specialist mathematics）3類．進階數學偏向應用，內容淺顯易懂；數學方法偏向理論，難度較大；專業數學的難度更高．3類試卷中進階數學試題與數學文化的融合尤為突出，因此選取2017—2021年進階數學試題為研究對象．

1.2 分析框架

VCE進階試題中的數學文化可從試題結構及總體題型題量、數學文化試題占比、數學文化類型、融入試題方式和學生行為期望5方面加以分析．

由于研究者視角的多元化，不同學者對數學文化內涵的界定不同．一般而言狹義的“數學文化”是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展；廣義的“數學文化”還包括數學史、數學家、數學美、數學教育、數學與人文的交叉、數學與各種文化的關系等[9]．一般而言，數學教材、試題的數學文化研究以廣義的內涵為主．已有學者據此提出數學文化的不同類型，如汪曉勤將其分為數學史、數學與生活、數學與科學、數學與人文、數學與藝術、趣味數學6類[10]．王建磐等將其整合為數學史、數學與現實生活、數學與科學技術、數學與人文藝術4個方面[11]．唐恒鈞、張維忠將其分為數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文社會、數學游戲、數學與藝術體育等6類[8]．基于上述研究，將試題中的數學文化分為數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文藝術4類．具體界定借鑒祁平[3]和王建磐[11]的研究，在此不加贅述．

就融入試題方式而言，沈春輝等將運用數學史的方式分為點綴式、附加式、復制式、順應式和重構式；其它數學文化的運用水平分為外在型和內在型[12]．唐恒鈞等將試題中數學文化的融入方式統一為附加型和整合型兩大類，其中整合型又分為可分離的數學文化和不可分離的數學文化兩種[8]．基于以上研究，將數學文化融入試題方式分為附加型、可分離型和不可分離型．

就學生行為期望而言，結合喻平的研究及數學文化試題特征，將學生行為期望分為理解、遷移和創新[13]．理解是指在較為明確的背景下，領會其中的數學問題，對基礎知識和基本技能的掌握與應用；遷移是指在較為復雜的情境中，采用多種規則或多種方法解決問題；創新是指學習者能夠對問題進行推廣、變式，能夠提出合理的猜想并證偽或證實，能夠解決開放性、探究性問題，能夠適度生成超越教材范圍的新知識，形成優良的數學學科思維品質．

因此，在試題分析過程中形成如表1所示的分析框架．

統計過程遵循如下標準：首先，以數學文化要素和試題為共同的分析單元，即當一個數學文化要素出現在不同題目時分別計數，一個題目中出現多種數學文化要素時也分別計數；其次，解答題含不同小問時，其學生行為期望也會不同，因此在統計中按小問計數．

表1 數學文化試題分析框架

2 VCE進階數學試題中的數學文化

VCE進階數學考試分兩場進行，即VCE進階數學考試1（VCE Further Mathematics Written Examination 1）和VCE進階數學考試2（VCE Further Mathematics Written Examina- tion 2）．按照數學文化試題的分析框架，對2017—2021年10套VCE進階數學的數學文化試題進行分析．

2.1 試題結構及總體題型題量

2.1.1 試題結構

VCE進階數學考試1和考試2均分為兩部分，第一部分是必做題，第二部分是選做題．必做題含兩個模塊：數據分析、遞歸與金融建模；選做題含4個模塊：矩陣、網絡與決策數學、幾何與測量、圖與關系．題型為選擇題和解答題，考試1為選擇題，考試2為解答題．

2.1.2 總體題型題量

2017—2019年與2021年的總體題型題量相同．具體地，考試1總分40，其中第一部分共24道選擇題，每題1分，共24分；第二部分4個模塊，每個模塊8道選擇題，學生任選兩個作答，共16分．考試2總分60分，其中第一部分有6～9道解答題，共36分；第二部分4個模塊，所選的兩個模塊有6～8道解答題，共24分．兩次考試總分100．

2020年的題量與另外4年略有差異．具體地，其選做題由原來的4選2變為了4選1，但每次考試的總分沒有變化．此外，考試1的第一部分增至30題，第二部分每個模塊增至10題．考試2第一部分增至11題，第二部分每個模塊依舊有3～5題．

2.2 數學文化試題占比

為考察VCE進階數學試題融入數學文化的情況，對數學文化試題在整份試卷的占比進行統計．如表2所示，2017—2021年數學文化試題在整份試卷的總占比差別不大，均高達七至八成．考試2的解答題尤為突出，均體現了數學文化．就考試1而言，第一部分必做題的數學文化試題占比依舊較高；第二部分選做題隨著難度的升高，純數學題相應增多．總體而言，VCE進階數學試題融入數學文化較多．

表2 數學文化試題占比

2.3 數學文化類型

近5年VCE進階數學僅含有數學與生活和數學與科技兩類數學文化試題．如表3，2017—2021年數學與生活類試題占比最大，僅有少量試題屬于數學與科技，且比例不穩定．可見生活情境是VCE進階數學試題的顯著特色．在考試1中，幾道選擇題常常會共用一個背景；在考試2中，同一模塊的幾道解答題，也常常以情境發展的脈絡展開，衍生出真實問題．如2018年考試2遞歸與金融建模模塊，問題1中朱莉將一定金額存入儲蓄賬戶，計算復利情況；問題2中朱莉取出一定金額為公司添置一輛汽車，為了納稅，計算汽車的折舊率；問題3是朱莉退休后將退休金投資，考慮不同方案的獲利情況．這就將試題所考查的知識與能力滲透于問題解決的過程中，潛移默化地培養學生的數學核心素養．

表3 數學文化類型占比

2.4 數學文化融入試題方式

對2017—2021年10套VCE進階數學所涉及的數學與生活、數學與科技兩類試題中數學文化融入方式進行分析（圖1），發現兩類試題均以不可分離型的融入方式為主，占比分別為53.85%、75.00%．這類試題著重強調用文化理解數學，或用數學解決文化中固有的問題．

圖1 數學文化融入試題方式

如例1，亞歷克斯是一名汽車修理師，若客戶未在到期之前支付賬單，他將會收取相應利息，依此來估計客戶應支付金額．此類問題存在于日常生活中，是該情境中本應解決的問題，并非人為強加上去的．

例1 （2017考試2遞歸與金融建模題6）

亞歷克斯修理完汽車后將帳單發給客戶．若客戶未在到期前付款將收取相應利息．逾期后對未支付賬單每月收取1.5%的利息，按月復利計算．

a. 亞歷克斯寄給馬庫斯200美元賬單．

馬庫斯逾期一個月支付全部賬單．馬庫斯共支付多少?

亞歷克斯寄給莉莉428美元賬單，她未在到期前付款．設A是逾期月的支付金額．

b. 用0、A+1和A寫出一個遞歸關系來模擬賬單金額．

c. 莉莉逾期4個月支付全部賬單．莉莉支付多少利息？

其次是可分離型，占比分別41.96%、25.00%．這類試題往往是為解決其中的數學問題而人為強加于文化素材之上．如題目中已給出32名男性的身體質量指數，要求學生計算這組數據的中位數以及超重的比例等（2020考試2數據分析題1）．

僅數學與生活類試題涉及附加型的融入方式，占4.20%．如題目畫出一個長方體盒子，并給出長寬高，要求學生計算盒蓋的面積、盒子的表面積，并給出另一個與其相似的盒子，計算這兩個盒子的體積之比（2017考試2幾何與測量題1）．此題只不過指出這個盒子是美琪的儲物箱，刪去該文化要素對試題本身沒有影響．

2.5 學生行為期望

VCE進階數學解答題中不同小問對學生的行為期望逐步升高，考查每題達到的最高水平可以發現（圖2），兩類試題均在遷移水平占比最高，分別為51.98%、51.72%．

圖2 學生行為期望

如例2，需要學生具備一定的閱讀理解能力，將復雜情境中流浪貓及流浪狗的問題抽象為數學問題，正確理解3個變量間的相互關系及聯系，以判斷不同觀點的正誤．

例2 （2017考試1數據分析題12）

10年內所收集的數據表明，一個大型城市每年流浪貓和流浪狗的數量存在強正相關關系（=0.87）．該市人口與流浪貓數量（=0.61）及流浪狗數量（=0.72）也是正相關．數據收集期間，該市人口從34?564增至51?055，可得（ ）．

A. 若貓主人少養狗，則流浪貓數量就會減少．

C. 報告中流浪貓和流浪狗之間的數量關系未得到合理解釋，這只是偶然現象．

D. 人口越多，流浪貓和流浪狗數量越多，流浪貓和流浪狗之間的數量關系可用共同的第三個變量解釋，即該市人口增長規模．

E. 人們不像從前一樣細心照料他們的貓，所以流浪貓越來越多．

其次是理解水平，占比分別為47.07%、42.53%．如例3，該題情境較為簡單，學生只需運用網絡與決策數學的基礎知識即可解決問題．

例3 （2020考試2網絡與決策數學題1）

陽光海岸板球俱樂部新加入5名球員：亞歷克斯、波、卡梅倫、戴爾和埃莫森．圖3顯示在加入前彼此打過板球的球員．如亞歷克斯和波之間的連線表示他們以前一起打過板球．

a. 在加入球隊前有多少球員和埃莫森打過板球？

b. 在加入球隊前，誰和亞歷克斯和波都打過板球？

c. 又一新球員芬恩加入了球隊，他沒和任何球員打過板球．在圖中表示該信息．

圖3 例3插圖

再次，處于創新水平的試題較少，占比分別為0.95%、5.75%．如例4難度較高，考查學生的數學思維品質，要求學生根據五分位數及箱型圖探究最低日氣溫與月份的關聯，這需要把握各種統計量的本質，靈活運用統計量做出合理猜想并給出理由．

例4 （2019考試2數據分析題3）

2017年2、5、7月最低日氣溫分布的五分位數匯總如表4，相關箱型圖見圖4（數據來源：澳大利亞政府氣象局）．

為什么上述信息支持最低日氣溫與月份相關的論點，請借助適當的統計值作答．

表4 氣溫分布

圖4 例4插圖

3 結論與啟示

研究發現，VCE進階數學試題融入數學文化較多且題型多樣，其中絕大部分屬于數學與生活類，是該試題的一個顯著特色；試題主要采用不可分離型及可分離型的融入方式；關注學生的知識理解和遷移水平，強調應用知識解決現實生活中的數學問題．基于上述分析，在對數學文化試題的編制中可關注以下4方面．

3.1 正確對待數學文化的考查

當前，數學文化在高考試題中的落實情況不容樂觀．有的試題僅是增添一些“文化”佐料來考查學生的數學能力．這種簡單化的理解，不僅異化了數學文化的內涵，窄化了數學文化的外延，而且沒有觸及數學文化的精神實質，難以達到對數學文化的真正考查，無形之中增加學生的學習負擔[5]．

學科核心素養的提出，強調教學目標從以知識教育為重心轉向以素養教育為核心．無論是數學課堂教學，還是數學考試都應切實站在學生的立場，堅持立德樹人的教育思想，用數學文化去關心人與自然和社會的和諧發展[3]．這樣才能更好地理解并把握數學文化，發揮其對學生數學精神、理性思維等潛移默化的作用．

3.2 呈現多樣化的數學文化試題

VCE進階數學中的數學文化試題較多且題型多樣．其選擇題與解答題均有涉及，但絕大部分是數學與生活類試題，數學與科技類試題較少，沒有涉及數學史和數學與人文藝術．近年來，中國愈加關注高考融入數學文化并已取得一定成果，但也存在著一些問題．如數學文化試題數量較少；題型較為單一，多以選擇題和填空題為主；數學文化類型單一，大多數為數學史和數學名題等．中國作為“文明古國，禮儀之邦”，應充分發揮其優勢，挖掘更多數學文化素材，借鑒VCE進階試題生活情境的經驗，呈現更加多樣化的數學文化試題．如結合數學史、著名古建筑、雕塑繪畫、學生日常生活、當前新冠肺炎疫情、最新科技前沿等蘊含的數學元素來設計問題．利用民族數學促成感性體驗向理性思維的轉變[14]，這樣既有助于拓寬學生的數學文化視野，也有助于學生形成較為全面的數學文化觀．

3.3 采用更加內在而自然的運用水平

第一，使用科學嚴謹、真實的數據設置情境，以增強問題的真實性．VCE進階數學考試有一個必做模塊是數據分析，該模塊涉及大量數據，這些數據科學嚴謹且真實．比如有的數據來自TomTom公司、澳大利亞政府氣象局、國際奧委會等．使用真實的數據，一方面可以體現數學學科的嚴謹性，另一方面也可以讓學生更好地體會數學的應用價值．

第二，試題以情境發展的脈絡加以呈現，并在情境發展過程中衍生出真實問題．VCE進階數學很多模塊的幾道解答題以情境脈絡為出發點，衍生出與考查目標相關的問題，用問題鏈來聯系每道題目，層層遞進．這種試題編制方式有以下優點：首先，真實的情境拉近了學生與試題的距離，讓人感受到問題隨情境的發展而變化，充滿人性化；同時能引起學生思考并激發學生解決問題的欲望．其次，模塊的幾道解答題逐步深入，學生每解決一個問題，并不意味著結束，而是自然地又衍生出一個新問題；實現了數學雙基、問題解決、數學思維和數學精神目標的統一[15]．最后，試卷中的題目不是孤立的個體，而是密切相關、層層遞進的整體，一來體現試卷的結構化、邏輯性，二來有助于學生數學核心觀念的形成．

第三，采用不可分離型的融入試題方式以密切數學與人類其它子文化的聯系．VCE進階數學考試中，大量試題以現實生活為背景，數學文化不再是試題的“點綴”，而是讓學生感受到數學既根植于文化，又促進文化的發展．提升學生通過文化理解數學和用數學解決文化中固有問題的能力，展現數學文化的工具價值、認識價值和文化價值．高考試題的編制也應真正立足于數學文化的本質，而非呈現長篇大論的數學文化素材，應是將數學文化“隱性化”，切實考查學生的數學核心素養．

3.4 提高對學生數學思維品質的關注

經研究發現VCE進階數學考試旨在培養應用型人才，更注重基礎知識和基本技能的掌握與應用．而中國高考作為選拔型考試，在關注基礎知識與基本技能的同時，更要關注學生數學精神、理性思維和創新能力的培養，這是核心素養教育的一項重要任務．創造性思維是學生應對未來多變世界的必備素養，是數學課程標準所確立的重點課程目標，因此在高考試題的編制中，應依據學生創造性思維發展的心理特點，在學生創造性思維的“最近發展區”提供相應的數學任務[16]，培養學生的數學高階思維能力．

總之，隨著課程改革的推進，人們越來越認識到數學文化對數學教育的重要價值．但數學文化還存在著低應用的問題，如何考查、考查什么需要引起注意．通過對VCE進階數學的數學文化試題進行統計分析，旨在探索其特征和規律，為中國數學文化試題的編制提供一些合理化的意見和建議．

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聲 明

《數學教育學報》與中國知網、萬方數據知識服務平臺、超星、維普網、中國人民大學復印報刊資料庫等合作，投稿的同時，我刊認為作者自愿將其擁有的對該論文的匯編權（論文的部分或全部）、翻譯權、印刷版和電子版的復制權、網絡傳播權和發行權轉讓給編輯部．若有異議，煩請來信告知．

Analysis and Suggestions on Propositional Characteristics of Mathematics Culture in the Higher School Certificate in Australia——Talking VCE Further Mathematics from 2017 to 2021 for Example

TANG Heng-jun, ZHOU Wen-xin

(College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China)

Based on the understanding of mathematics culture and referring to the relevant research, the analytical framework of mathematics culture test questions is constructed. In order to provide some reference for the proposition of mathematics culture text questions in China, this paper analyzes the mathematics culture text questions in VCE Further Mathematics from the following five aspects: the structure of the questions and the overall question type, the proportion of mathematics culture text questions, the types of mathematics culture, the way of integrating the test questions and students’ behavior expectations. Research implications: treating the examination of mathematics culture correctly, presenting a variety of mathematics culture text questions, adopting mathematics culture more internally and naturally, and increasing the attention to the quality of students’ mathematical thinking.

mathematics culture; VCE further mathematics; test analysis

G40–059.3

A

1004–9894（2022）06–0070–05

唐恒鈞，周雯馨．澳大利亞“高考”數學文化試題特征及其評析——以2017—2021年VCE進階數學試題為例[J]．數學教育學報，2022，31（6）：70-74．

2022–08–06

全國教育科學“十四五”規劃教育部重點課題——指向深度理解的“問題鏈教學”研究（DHA200318）

唐恒鈞（1979—），男，浙江余姚人，教授，博士后，博士生導師，主要從事數學課程與教學研究．

[責任編校：周學智、張楠]