基于BOPPPS模型培養數學思維的高等數學教學設計
——以“定積分的概念”為例

宋彩虹

南京城市職業學院 江蘇南京 211200

高等數學作為高等職業院校理工科專業的一門重要基礎課程，是面向大學一年級學生開設的必修課。根據高等職業教育人才培養目標，高等數學課程教學需遵循“適度、夠用”的原則[1]，即培養適度的邏輯思維、夠用的計算能力。通過學習本課程，既能掌握足夠的數學知識，又能提升數學核心素養，為后續專業課程的學習和職業發展、終身學習奠定基礎，最終達到高等職業教育的人才培養目標。

數學思維是運用數學知識，有條理地進行理性思維、邏輯推理等的一系列思維活動。比如轉化與化歸、類比、從一般到特殊、從特殊到一般、數形結合、積微成著等思想。數學思維的本質是數學抽象和邏輯推理，所以，也決定了高等數學的學習具有一定的難度。而由于高職院校招生來源的多樣性，學生數學基礎參差不齊，大部分學生對高等數學課程有畏難情緒，同時，傳統的教學模式效果不盡如人意。因此，高職院校的高等數學課程教學改革迫在眉睫。

在高等數學課程教學中，如何設計有效培養學生數學思維、注重數學應用的教學方案，是任課教師需要思考和研究的。文章將BOPPPS模型引入高等數學教學中，并以定積分的概念為例，展示了培養學生數學思維的策略和做法。

一、BOPPPS模型

BOPPPS模型[2]是加拿大廣泛推行的教師技能培訓體系ISW的理論基礎[3]，是一個指導教師拆分并探究教學過程、發現教學盲點、達成教學目標的有效工具。根據學生專注力持續時間(大約15分鐘)的規律[4]，把課堂教學過程分為六個模塊(也稱為六要素)：導入(Bridge-in)、學習目標(Objective)、前測(Pre-assessment)、參與式互動學習(Participatory Learning)、后測(Post-assessment)和總結(Summary)[5-6]。根據BOPPPS模型，課堂教學被分成若干個教學小單元，每個教學小單元(約15分鐘)內具有“起承轉合”的功能，且每個教學小單元組合而成的課堂也要遵循“起承轉合”的脈絡[4]。

BOPPPS模型從教學設計結構上給出了遵循“教學目標—教學行為—學習活動—教學評估—教學目標”的教學循環過程，使得教師能夠有效地組織課程教學，獲得反饋信息[7]；該模式強調以學生為中心的教學理念，在全面了解學情的基礎上，從學生的興趣點和學生能夠接受的知識點出發，明確教學目標，以參與式互動學習為核心，通過后測環節發現教學盲點，反饋教學目標達成情況，最后進行總結，整合學習要點，布置課后作業，鞏固學習目標。該教學模型有明確的操作步驟，具有非常強的可實施性，它可以使課堂教學設計更加條理化、合理化。

二、BOPPPS模型在“定積分的概念”教學中的應用

定積分的概念是學習定積分的基礎，在高等數學中占有重要地位，上承導數和不定積分，下啟定積分的計算與應用。BOPPPS模型將本次課堂教學過程拆分為六個模塊，具體設計框架見下表：

BOPPPS模型的六個教學模塊表

(一)導入(Bridge-in)

本次課的導入環節采用問題形式，教師給出實際問題：“某城市綠化園劃撥了一塊形狀不規則的土地，用于綠化，已知每平方米的綠化費用，請你預算一下綠化的總費用?”這個問題從生活中的實際案例出發，結合定積分的幾何意義，從學生已有的知識過渡到新知識，激發學生探求“定積分的概念”這一核心知識的興趣，強化數學有用的思想。

(二)學習目標(Objective)

教師利用多媒體闡明本節課的學習目標，讓學生有目標地參與后續課堂教學中，從而提高學習效率。本節的學習目標：

知識目標：(1)深刻理解定積分的概念；(2)了解定積分概念的發現過程；(3)理解定積分的幾何意義和物理意義。

技能目標：(1)掌握求解實際問題的“分、勻、和、精”的數學思想；(2)能利用定積分的幾何意義求簡單平面圖形的面積；(3)能用積分的思想進行簡單的數學建模解決實際問題。

素養目標：(1)通過兩個引例的求解讓學生感受“化整為零、以直代曲、積微成著”的數學思想；(2)培養學生類比、抽象、數形結合等數學思維的能力；(3)結合中華傳統文化，提升學生數學文化素養。

(三)前測(Pre-assessment)

教師通過學習通平臺布置課前學習任務，發布微積分發展史及劉徽的割圓術的相關微課視頻，并提出三個問題：(1)矩形的面積公式？(2)劉徽的割圓術運用了什么數學思想？(3)如何描述極限的定義？

學生觀看微課并回答問題，通過前測環節，教師可以了解學生對預備知識的掌握情況、興趣點和參與度，更好地掌握學生的學情，為參與式互動學習環節做好準備。

(四)參與式互動學習(Participatory Learning)

為解決導入環節的綠化建設預算費用問題，教師引導學生對問題進行轉化，通過分析，將問題轉化為求封閉曲線所圍成的平面圖形的面積。利用PPT演示動畫：一條不規則的封閉曲線，用兩組互相垂直的平行線對其進行分割，如圖1所示，所得的圖形為曲邊梯形和曲邊三角形，而曲邊三角形可以看作是曲邊梯形的特殊情況，最終，把問題轉化為求曲邊梯形的面積。由此給出第一個引例：

圖1

引例1 求曲邊梯形的面積？

首先，讓學生思考如何利用化歸的數學思想，將難的問題轉化為易于解決的問題，啟發學生學會如何化整為零、以直代曲；接著，教師演示動畫，讓學生直觀地看出:隨著區間分割越來越細，分割的小矩形越來越多，每個小矩形的面積就越接近于所在的小曲邊梯形的面積，所有小矩形的面積之和就越接近所求曲邊梯形的面積；此時，教師向學生提問：結合所學知識，用什么樣的數學工具來刻畫這一動態過程？最后，教師根據學生的回答，引導學生總結出借助極限求解曲邊梯形面積的表達式。然后，教師給出第二個引例：

引例2 求變速直線運動的路程？

利用已知求未知的數學思想，從勻速直線運動的路程入手，引導學生回憶平均速度和瞬時速度之間的關系，進而用“分、勻、和、精”的數學思想，推導出變速直線運動的路程表達式。

最后，教師引導學生進行類比，歸納總結出上述兩個引例的共性：一是求解的量具有相同特征；二是解決問題的思想方法和步驟相同；三是都歸結為具有同樣數學結構的和式極限的計算。進而抽象出一般函數在區間上定積分的定義。然后，教師完整講解定積分的定義，并引導學生找出定積分與不定積分的區別與聯系，為定積分的計算做好鋪墊。

教師在圍繞教學主線(見圖2)實施教學的過程中，需引導學生積極參與、思考和歸納。通過兩個引例，使學生了解定積分這一抽象概念的發現過程以及解決類似問題所用到的“分、勻、和、精”的數學思想，理解定積分的幾何意義和物理意義，突破教學的重難點。

圖2 教學主線

(五)后測(Post-assessment)

圍繞定積分的概念這一重點，在學習通平臺設置后測問題，請學生思考并動手做一做：

(1)用定積分表示出y=x2與x=1、x軸圍成的平面圖形的面積？

設計意圖：本題需要學生利用數形結合的方法，用定積分正確表示出所求平面圖形的面積。注意定積分的兩要素—被積函數和積分上下限的確立方法。

設計意圖：本題主要考查學生如何將定積分轉化為對應平面圖形的面積的能力。

(六)總結(summary)

本次課學習的主要內容為定積分的概念，從貼近生活的案例出發，激發學生學習的興趣，從而避免課程枯燥。根據定積分的幾何意義，可以通過求對應平面圖形的面積來計算出定積分，為下一次課的教學內容——牛頓-萊布尼茲公式的引入埋下伏筆。教師通過布置課后作業，鞏固數形結合思想，加深對定積分概念的理解。

三、結論

教師在進行高等數學課程教學設計時，需遵循“必需、夠用”為度，“實用、會用”為主的原則，即以理論夠用，技能運用為主的原則，教學內容上要弱化嚴格的論證、繁瑣的推導和復雜的運算，強化高等數學的基本知識和技能有用的意識并學會如何應用。具體到應用BOPPPS模型進行高等數學教學設計時要注意：

(1)要以前測環節為前提，全面了解學生學情。可通過問卷、考試、作業、提問或討論等形式全面了解學情，對不同學情的學生進行針對性的教學設計。從學生的興趣及能夠接受的知識點出發，采用多樣化的教學手段，制定一套以學生發展為中心的教學體系。

(2)要確立學生作為參與式互動學習環節的主體地位。教師在設計整個教學過程時，要堅持“以學生為中心”的教學理念，須從傳統教學的講授者轉變為引領學生全方位參與探究式學習的領航者，以培養學生主動學習和創新意識。

(3)要以學習目標為核心。導入、學習目標、前測、參與式互動學習、后測和總結，這六個環節都是為有效達成學習目標而開展的教學過程。因此，教師要按照人才培養方案，制定好課程標準，準確把握課程學習目標，開展有針對性的教學設計。而數學思維最終是要運用到不同學科中解決實際問題，因此，教師在進行高等數學教學設計時，可以根據需要，設計與其他學科相關的應用案例，以培養學生將數學思維運用到其他學科專業的能力。這種教學理念可鼓勵教師跨越本學科與其他學科之間的界限，更加主動地學習新知識、新理念和新技能，從而有效地提高教師的教學能力和綜合素質，進而提升高等數學課程的教學質量。