地面參考系和磁源參考系中感應電流的功率

高 振

山東省平邑縣教育和體育局教研室，山東 臨沂 273300

根據非靜電力的起源，電磁感應現象中的感應電動勢可分為動生電動勢和感生電動勢。由洛倫茲力作為非靜電力產生的電動勢叫動生電動勢；由感生電場力作為非靜電力產生的電動勢叫感生電動勢。在求解磁場區域運動產生的電磁感應現象中感應電流的功率問題時，要注意區分不同參考系中感應電動勢的本質（非靜電力的起源）及其方向，才能正確地等效電路、計算感應電流的功率。

1 一道高考題引發的問題

原題 （2017年江蘇高考第13題）[1]如圖1所示，兩條相距d的平行金屬導軌位于同一水平面內，其右端接一阻值為R的電阻。質量為m的金屬桿靜置在導軌上，其左側的矩形勻強磁場區域MNPQ的磁感應強度大小為B，方向豎直向下。當該磁場區域以速度v0勻速地向右掃過金屬桿后，金屬桿的速度變為v。導軌和金屬桿的電阻不計，導軌光滑且足夠長，桿在運動過程中始終與導軌垂直且兩端與導軌保持良好接觸。求：

圖1 原題圖

（1）MN剛掃過金屬桿時，桿中感應電流的大小 I；

（2）MN剛掃過金屬桿時，桿的加速度大小a；

（3）PQ剛要離開金屬桿時，感應電流的功率P。

該題前兩問比較簡單，在此不作討論。

引發的問題：由于磁場區域和金屬桿運動的速度選擇的是地面參考系，但第（3）問感應電流的功率沒有明確要求在哪個參考系計算，難道感應電流的功率與參考系無關嗎？

2 引發問題的主流觀點

在幾個全國物理教師QQ大群（有些群人數高達數千人）討論上述“引發的問題”時，群里面教師的主流觀點如下：

由于金屬桿所在處磁場的磁感應強度B不變，觀察者無論是以地面為參考系，還是以產生磁場的“磁源”（磁體或載流線圈）為參考系，在PQ剛要離開金屬桿的極短時間Δt內，穿過該回路的磁通量的有效面積減小均為ΔS=d（v0-v）Δt，由法拉第電磁感應定律得回路總電動勢大小為

從（1）式的得出過程中可以看出，回路總電動勢與所選慣性參考系無關。

而感應電流的功率

由（1）（2）式得感應電流的功率

（3）式與高考參考答案的結果一致。

因此，QQ群中主流觀點認為，感應電流的功率與所選的慣性參考系無關。

筆者查閱文獻發現，文獻[1]的觀點和所求結果與（3）式明顯不同，而文獻[2]和[3]的觀點和所求結果以及高考參考答案均與（3）式相同。究竟誰是誰非呢？

3 不同慣性參考系中的定量分析和計算

3.1 在地面參考系中等效電路，計算感應電流的功率

第（3）問沒有明確指出參考系，一般默認是地面參考系。地面系中的觀察者看到的不是靜磁場，而是磁場區域的運動（本質是產生磁場的源磁體或載流線圈的運動）產生的電磁場，既有磁場又有感生電場。根據電動力學中不同參考系的電磁場變換公式，可以得到地面參考系中的磁場和感生電場。

以產生磁場的“源”磁體或載流線圈為參考系，由于磁源系相對于地面系（靜系）的運動速度v0遠小于真空中的光速c，忽略洛倫茲膨脹因子，可得地面系（加撇的量）和磁源系（不加撇的量）的電磁場變換公式[4]：根據題目條件，磁源系中只有磁場，而電場=0，可知地面系中既存在沿金屬桿向下的感生電場E'=v0B，又存在垂直于導軌平面向下的磁場B'=B。因此，桿中的自由電子受到的非靜電力是沿桿向上的感生電場力（大小為F非1=eE'=ev0B）和沿桿向下的洛倫茲力（分力，大小為F非2=f洛=evB）的矢量和，由電動勢定義得回路總電動勢

從非靜電力的起源看，地面系中回路總電動勢（4）式由兩部分組成：一部分是桿中自由電子受沿桿向上的感生電場力eE'，產生感生電動勢E1=Bdv0，其方向在圖1中沿金屬桿向下（與回路電流方向一致，金屬桿扮演著“發電機”的角色）；另一部分是桿中自由電子受沿桿向下的洛倫茲力（分力）evB，產生動生電動勢E2=Bdv，其方向在圖1中沿棒向上（與回路電流方向相反，是反電動勢，金屬桿扮演著“電動機”的角色）。因此，回路等效電路如圖2所示。

圖2 地面系的等效電路

顯然，地面系中該題呈現的物理情境的本質就是一個電磁驅動[5]問題，金屬桿同時扮演著“發電機”和“電動機”的雙重角色。從電路角度看，回路等效電路圖2是含有反電勢的非純電阻電路。所以，從地面系中觀測到的能量轉化是：感生電動勢E1=Bdv0提供電能，動生電動勢（反電動勢）E2=Bdv和電阻R都消耗電能，則地面系中感應電流的功率

而回路中的感應電流

由（4）—（6）式得，地面系中感應電流的功率

（7）式與文獻[1]的結果一致，顯然文獻[1]是在地面參考系中計算的感應電流的功率。

3.2 在磁源參考系中等效電路，計算感應電流的功率

在磁源系中觀測到的僅是靜磁場B，圖1中金屬桿在磁源系中以速度（v0-v）向左運動，桿中隨桿向左運動的自由電子受到沿桿向上的洛倫茲力（分力）f洛=eB（v0-v）是產生動生電動勢的非靜電力。因此，電路中只存在動生電動勢，由電動勢定義得回路總電動勢

由于磁源系中觀察者僅觀測到一個動生電動勢，觀察者認為金屬桿只是提供電能的發電機，等效電路如圖3所示，是一個純電阻電路。顯然，兩個參考系中回路的等效電路明顯不同（圖2、圖3）。

圖3 磁源系中的等效電路

由圖3和（8）式易得，磁源系中感應電流的功率

可見，QQ群中主流觀點的（3）式、高考參考答案以及文獻[2]和[3]的結果，均與磁源參考系中的（9）式一致。

對比（7）式和（9）式可知，地面參考系和磁源參考系中感應電流的功率不同。

4 結束語

本文對磁場區域運動產生的電磁感應現象中感應電流的功率問題，在地面參考系和磁源參考系中做了深入的對比分析和計算，指出了兩個參考系中感應電流的功率不同的物理根源。

由于高考題目條件中沒有明確指出在哪個參考系中計算感應電流的功率，一般默認是在地面為參考系中的功率，因此第（3）問感應電流的功率應該是文獻[1]指出的地面參考系中計算的。而高考參考答案和文獻[2]和[3]中的感應電流的功率，也是沒有錯誤的，只要指出這是磁源參考系中感應電流的功率即可。