豐富問題情境探尋等量關系
——《實際問題與方程例1》素養進階習題展評與教學建議

文|葉 青 崔丹青 宋煜陽

一、習題展評

●習題一

1.習題內容。

已知九宮格中每行、每列以及兩條對角線上的數字和都相等，求出x 的值。

（1）列出的方程是________。

（2）求出x 的值為（ ）。

（3）請你把這一結果當作已知數進行檢驗。

2.能力指向。

等量關系的尋找。通過數形結合理解題意，建立等量關系列出方程，培養學生推理意識和驗算反思意識。

3.學情分析。

對城區小學30 名學生進行了后測。第（1）小題除了個別學生看不懂題意外，絕大多數學生能結合圖文信息找出等量關系，列出方程。方程主要集中在①2.4＋3.4＋2.0＝3.4＋x＋1.8②3.4＋x＋1.8＝7.8③x＋1.8＝2.4＋2.0 這三種，其中方程③在方程①的基礎上運用等式的性質進行推理：觀察發現共用數字3.4 可以去除，只要另外兩個數相加的和相等即可，這樣更加簡便。第（2）（3）小題，少部分學生方程正確但求解錯誤，只是把答案抄入，沒有進行計算檢驗，屬于無效驗算。

●習題二

1.習題內容。

（1）上述四幅圖中，能用方程x＋30＝180 來解答的有（ ）（填序號）。

（2）明明說：圖②應該用方程x－30＝180 來解答，你同意他的想法嗎？為什么？

2.能力指向。

對不同數量關系的分析。將方程、角的度量、數軸以及生活實際相結合，考查學生綜合運用數學知識分析數量關系的能力，初步形成模型思想。

3.學情分析。

第（1）小題錯誤主要集中在圖①和圖④的判斷上。結合訪談，沒有選圖①的學生分兩種：一是看不懂題意；二是聚焦于整個周角，認為方程應該是2x＋30×2＝360。沒有選圖④的學生題意理解有誤，認為x 表示的是“一段數是x”而不是一個點上的數，方程應該為3x＝180。

第（2）小題所有參測學生都選擇同意，但在理由表達上有差異。大部分學生能從等量關系“原價－優惠的金額＝現價”說明原因。少部分學生出現如下情況：①認為優惠券是減少的錢，所以現價肯定比原價少，求少的用減法；②只提到了求現價用減法。

綜合以上分析，當練習材料把數與代數、空間與圖形的有關元素進行融合，學生對等量關系的提取產生了一定困難。

●習題三

1.習題內容。

共享單車的廣泛使用正不斷改變人們的出行方式。近日某市根據本市情況調整了共享電單車的計價方式，如下表。

請你根據兩位同學的對話計算a 和b 的值。

2.能力指向。

真實情境的實踐應用。考查學生解決生活實際問題的能力。能在比較中感受方程與算術思維的區別，體會順向思維的優勢；同時激發應用方程解決問題的興趣，提高應用意識。

3.學情分析。

根據學生解決問題的具體表現，劃分為五個水平層級，如表1。

本題綜合性較強，涉及ax＝b和ax＋b＝c 兩種方程類型。題目信息量比較大，又與分段計費解決問題相結合，部分學生題目理解存在困難，出現算術方法與方程方法不能切換的現象。

二、教學建議

1.創設多樣情境，培養應用意識。

教學中，一方面要用好教材資源，將數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐等領域知識與方程解決問題有機整合，相互聯系，圖文并茂；另一方面可以提供一些真實、富有意義的現實題材，引導學生經歷“將實際問題抽象成數學問題→尋找等量關系→列方程并求解”的過程，感悟方程思想。如習題二通過數形結合的方式，將方程與角的度量、數軸以及生活實際相結合；習題三中呈現的共享電單車的現實情境，既實現了知識的融合，豐富了呈現的形式，也有利于激發學生的學習熱情，培養應用意識。

水平層級 具體表現水平0 毫無解題思路，甚至空著沒寫。水平1不能很好地理解題意，數量關系不清，無法求出a、b 的值。（如：每分鐘的價錢、時間、總價之間的關系不清或未進行分段計費。）images/BZ_41_844_1924_1545_2130.png水平2能用方程求出a 的值，但不能求出b 的值，無法與分段計費的知識相關聯。images/BZ_41_843_2165_1545_2488.png水平3方程法有一定困難（特別是求b 的值），但能用算術法解決問題或者未知數a、b 未參與運算。images/BZ_41_830_2504_1541_2826.png能聯系分段計費知識，找出等量關系，列出方程并求解。水平4images/BZ_41_532_2910_1350_3141.png

2.梳理分析策略，尋找等量關系。

尋找等量關系是列方程解決問題的關鍵，應對分析等量關系的策略作必要指導。比如，根據常見的數量關系、公式、性質找等量關系、根據題目中描述數量關系的句子找等量關系等，在此過程中積累列方程解決實際問題的經驗。如根據“九宮格中每行、每列以及兩條對角線上的數字和都相等”這一關鍵句、“平角是180°”這一性質、“原價－優惠的金額＝現價”這一數量關系尋找等量關系；又如，共享電單車情境中的分段計費問題，抓牢數量關系“每分鐘的價錢×時間＝總價”的同時，明確6.1 元由8 分鐘的價格和超出的3分鐘的價格組成。這些策略的梳理有利于提高學生尋找等量關系列出方程的能力。