聚焦主題拓展實現算理融通
——特級教師蔣守成《鋪地錦》教學片斷賞析

文劉 留

“你知道嗎”是蘇教版小學數學教材中的一類“主題欄目”，起到拓展本單元教學內容和弘揚數學文化的作用。如何有效開發教材中的“主題欄目”，放大數學學科育人價值是亟需我們探索的話題。特級教師蔣守成提出“主題拓展教學”主張，基于某個主題將“你知道嗎”“動手做”等欄目開發成數學拓展課，幫助學生突破原有的認知邊界，促進數學對于人的整體培育。筆者有幸聆聽了特級教師蔣守成的《鋪地錦》一課，深受啟發。

●片斷一：故事增趣，激發主動探究的欲望。

1.故事導入，闡述“鋪地錦”的時代背景。

師：同學們，今天的數學課我們一起聽聽民族英雄戚繼光的故事，他創建了一支偉大的軍隊“戚家軍”，你瞧！（課件出示）

師：戚家軍以36 人為一旗，在一次戰爭中，戚繼光將軍派出了72 旗迎戰敵軍，請你幫戚繼光將軍算算一共派出了多少士兵？

生：可以用36 乘72，通過列豎式算出來一共有2592 名士兵。

2.問題激趣，喚醒對“鋪地錦”的探究欲望。

師：同學們很快就通過列豎式計算出了結果，但是大家不妨想一想在戚繼光的時代有沒有“列豎式計算”呢？

生：我認為沒有，當時的人們應該還不會列豎式計算。

師：雖然戚繼光將軍不會“列豎式計算”，但是他有自己的一套方法，大家能看懂他的算法嗎？

師：請同學們思考兩個問題，第一個問題：兩個乘數和積分別寫在什么地方？第二個問題：戚繼光將軍是如何算出2592 的？

生1：戚繼光將軍先畫了一個長方形，將乘數36 寫在長方形的上面，乘數72 寫在長方形的右邊，2592 寫在長方形的左邊和下面。

生2：戚將軍先算2 乘6 得12 寫在右下角，再算6 乘7 得42寫在右上角，然后算2 乘3 得6寫在左下角，最后算十位上3 乘7得21 寫在左上角，將它們斜著相加，就能算出來結果是2592。

師：兩位同學用自己的語言講出了戚繼光將軍的運算方法，蔣老師好奇的是為什么右下角填“12”，而左下角卻填“06”呢？

生：那是因為2 乘3 得6，6是一位數，所以左下角的方框里只能寫成“06”。

師：這下我有點明白了，原來方框里的數是兩個乘數十位和個位上的數相乘算出來的。明朝時期人們從平日里織的綢緞、錦緞中獲得靈感發明了這種算法，便給它起了一個非常好聽的名字———“鋪地錦”，用“鋪地”的方法算乘法。

【賞析：蔣老師將“鋪地錦”算法融入到民族英雄戚繼光的故事中，闡述了該算法的時代背景，古代算法至今依然熠熠生輝存在思考價值。那么到底有怎樣的價值呢？蔣老師講述的故事產生了懸念，學生滿懷好奇心自然地經歷了觀察、思考和表達“鋪地錦”算法的全過程，并嘗試用自己的語言講述對算法的理解。這類“主動研究型”的課堂教學值得我學習，既實現了數學文化傳播，又在學生心中播下一顆“主動學習”的種子。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出：學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式。蔣老師用實際行動踐行著新課標的要求，在探索算法的過程中幫助學生將“鋪地錦”與之前的數學學習建立起聯系，充分激發學生主動探究“新算法”的欲望，從最接近學生的起點出發走向最遠的終點。】

●片斷二：對比不同算法，凸顯內在關聯。

1.初次對比，強調“滿十進一”的重要性。

師：請你用剛學的“鋪地錦”求出這兩道乘法算式的答案。

生：我算了第一道題，先在“地錦”中算出1 和4 的乘積寫成“04”，4 和5 的乘積寫成“20”，1和2 的乘積寫成“02”，2 和5 的乘積寫成“10”，再斜著全部相加得到1224。

師：對于第二道題，蔣老師發現了大家有兩種不同的答案。有的同學算出來是1472，還有的同學算出來是13172，你們認為哪個答案是正確的？說說你的想法。

生1：用“鋪地錦”的方法算出十位上分別是8、1 和8，全部斜著相加得到17，十位上滿10 應該向百位進1，得到1472 而不是13172。

生2：我覺得13172 肯定不對，將46 看作50，32 看作30，可以估算出46×32 大約是1500,而不是一萬多。

師：沒錯！“鋪地錦”的算法也要遵循“滿十進一”的計算原理。

2.再次對比，凸顯不同算法之間的聯系。

師：在運算過程中，我們延伸“鋪地錦”算法得到了下面兩種不同的列豎式計算方法，你能看懂它們嗎？（課件出示）

生1：第一種豎式計算是先算十位，再算個位，和我們平時學習的列豎式運算順序相反。十位上30 乘40 等于1200，30 乘6 等于180。個位上2 乘40 等于80，2 乘6 等于12，全部相加等于1472。

生2：第二種豎式計算類似“鋪地錦”，先算“右下角”，2 乘6等于12；再算“左下角”，2 乘4 等于8；然后算“右上角”，3 乘6 等于18；最后算“左上角”，3 乘4 等于12。

生3：我還發現了第一種豎式計算在運算過程中沒有省略0，而第二種省略了0。

生4：第一種豎式計算是從高位算起，第二種是從低位算起，它們的運算順序不同。

師：通過大家的交流，可以發現你們對于以上幾種算法的認識已經很充分了。“鋪地錦”算法是流行于我國明朝時期的算法，而第一種豎式計算是印度人所使用的算法，第二種豎式計算則是我國臺灣省所使用的算法，它們貌似不同，背后都有著相似的道理！

【賞析：主題拓展的本質不是“拼盤”，而是“融合”。蔣老師通過算法對比制造了學生優化算理認識的“關鍵事件”。首次對比中，學生開展了關于“鋪地錦”算法的遷移運用，得到“13172”和“1472”兩種答案，他們依據已有經驗敏銳地辨別出“13172”這個答案的不合理性，深刻體會到“鋪地錦”算法依然要遵循“滿十進一”的計算原理，古今算法在本質上一脈相承。再次對比中，課件呈現運用“鋪地錦”算法、印度算法、中國臺灣算法計算同一道題的過程，學生發現明明運算順序不同———有的從高位算起，有的從低位算起，卻得到了相同的答案。這對于剛學完“筆算兩位數乘兩位數”的學生來說無疑是認知方面的巨大沖擊，打破了其腦海中關于筆算順序的“原有桎梏”，獲得了關于筆算方法的“全新理解”。學生反復思考后發現這幾種算法都是先按照一定順序將各個數位上的數依次相乘得到若干個千、百、十和一，然后基于相應計數單位的累加算出最終結果。蔣老師以此基礎支架打通不同算法之間的“隔斷墻”，保留算理認識的“承重墻”，實現法與理的相融共生，算與術的交相輝映，讓學生在更廣闊的運算空間里徜徉。】

●片斷三：挖掘算理本質，實現觸類旁通。

1.在實踐應用中豐富對“鋪地錦”的理解。

生：我們可以根據積反過來推算乘數是多少。先用24 除以6得到4，再用35 除以5 得到7，說明另一個乘數就是47。緊接著56和47 相乘，算出右下角應該填42，左上角應該填20，算出來積是2632。

師：算得有理有據，如果我們在“地錦”的下面再加上一行呢？右邊再加一列呢？

生：那么我們就可以用它來算“三位數乘三位數”是多少。

師：國外還將這種算法稱作“格子算法”，本質上和明朝的“鋪地錦”算法是一回事。請你再說一說這種算法背后的道理。

生1：乘數46 表示4 個十、6個一，乘數32 表示3 個十、2 個一，先將其依次分別相乘，再將運算結果斜著相加，這和現在的列豎式計算是差不多的。

生2：斜著的數都在相同數位上，比如“2 個一”在個位，“8 個十”在十位，“1 個百”在百位，“1 個千”在千位。因為數位相同，所以這些數才能相加，算出最終有幾個千、幾個百、幾個十和幾個一。

【賞析：“鋪地錦”和“列豎式計算”有著千絲萬縷的聯系，兩者在算理上是相通的，更多體現在表現形式和運算順序的不同。蔣守成老師積極引導學生辨析復雜的算法，在橫向對比中實現舉三反一，尋求共通的算理，以理馭法直抵數學理解的新境界——學會系統地思維。“融通算理”是主題，“鋪地錦”是載體，致力于幫助學生走好數學運算的“后50 公里”。】

2.在算理融通中實現對“不同算法”的觸類旁通。

師：再給大家介紹一種“畫線法”，或許你對“鋪地錦”又會有新的認識，哪位同學看明白這種算法了？

生：它是用五條直線（三條+兩條）表示32，三條直線（兩條+一條）表示21，直線相交表示兩數相乘的過程，將點數豎著相加就能得到各個數位上的數是多少。

師：看來不論是“鋪地錦”，還是“畫線法”，都需要將各個數位上對應的數相加。

師：后來人們對“鋪地錦”進行改良，發明了“棋盤計算器”。它既是一種工具，讓運算更加便捷；又是一種文化，讓我們看到前人的智慧結晶。正是算法的不斷更新，才有了我們今天常用的算法。未來大家一定能發明更加先進的算法！

【賞析：教材不是學生的全世界，全世界都可以成為學生的教材。蔣老師向我們展示了如何基于課堂教學在豐富數學學習的同時，幫助學生形成系統化、結構化的思維方式。用整體的眼光看待“格子算法”“畫線法”和“棋盤計算器”，它們都需要累加相同的計數單位。在《鋪地錦》教學中，學生不僅習得了“鋪地錦”算法，更掌握探索新算法、理解新算法的關鍵能力。一方面，讓學生體會到數學是一種工具，讓我們的生活更加方便快捷。另一方面，數學也是一種文化傳承，從“地錦”“棋盤計算器”到現在的“電子計算器”，彰顯出科技進步和出守正創新的奮斗歷程。筆者以為本節課真正的價值在于拓寬學生的眼界，放大了“主題欄目”的價值，為我們更好地開發利用教材提供了一種新思路———從照著“書”教轉向照著“人”教，促進數學學科對于人的全面培育。】