經歷探究過程建立數學模型
——《植樹問題》教學設計與意圖

文|朱 歡

【教學內容】

人教版五年級上冊第106、107 頁及相關練習。

【教學過程】

一、創設情境，引入新課

師：生活中處處有數學，伸出你們的一只手，張開手指，用數學的眼光觀察一下，你看到數字幾？

生：數字5。

師：5 個？

生：手指。

師：除了看到數字5，還看到了數字幾？

生：數字4。

師：4 個？

生：4 個手指縫。

師：手指縫，在數學上我們可以把它叫作間隔。那么，5 個手指之間有幾個間隔？4 個手指之間有幾個間隔呢？3 個手指呢？2 個手指呢？

生：4 個、3 個、2 個、1 個。

師：通過剛剛的學習過程，你有什么發現？生：間隔數比手指數少1。

師：在數學上，我們把這種和間隔數有關的問題，統稱為植樹問題。（板書課題：植樹問題）

二、自主探究，構建模型

1.出示問題，引出三種不同的情況。

課件出示：同學們要在全長100 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵樹？

師：請看大屏幕。自己讀一讀，說一說找到了哪些有用的數學信息？要解決的問題是什么？

生1：小路長100 米，每隔5米栽一棵樹。

生2：是在小路的一邊植樹。

生3：要解決的問題是“一共要栽多少棵樹”。

師：“一邊植樹”是什么意思？

生：小路有兩邊，我們只要在一邊植樹就可以了。

師：“每隔5 米栽一棵”，你們是怎么理解的？

生1：栽一棵樹，隔5 米再栽一棵樹。

生2：兩棵樹之間的距離是5米。

師：同學們理解得真到位。猜一猜，100 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵樹？

生：20 棵、21 棵、19 棵。

師：有三種不同的答案，怎么辦？

生：動手畫一畫。

師：好主意。接下來，請同學們在草稿紙上畫一畫，看看到底能栽幾棵樹？

師：照這樣一棵一棵地畫下去，感覺怎么樣？

生：太麻煩了。

師：是啊！一節課的時間有限，這么長的路我們可不可以——

生：取其中的一部分。

師：取多長為好呢？

生：10 米、20 米、30 米……

師：10 米太短了，30 米又有點長，那就選20 米吧。像這樣從簡單的情況入手，在數學上叫作“化繁為簡”。（板書：化繁為簡）

課件出示：在20 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵樹？

師：同學們能不能試著在紙上畫一畫或是算一算，然后再與你的同桌說一說。

教師巡視，適時參與學生的討論與交流，選擇三位同學的作品展示在黑板上。

師：仔細觀察這三位同學的作品，它們有什么相同的地方？

生1：他們都是每隔5 米栽一棵樹。

生2：都是4 個間隔。

師：你們知道這4 個間隔是怎么算出來的嗎？

生：20÷5=4（個）。

［板書：20÷5=4（個）］

師：20 表示？5 是？4 是？

生：20 表示小路長20 米，5表示每5 米栽一棵，4 表示4 個間隔。

師：剛才我們比較了相同的地方，現在我們來比較不同的地方。

生1：第一位同學種了5 棵樹，第二位同學種了4 棵樹，第三位同學種了3 棵樹。（板書：5 棵、4棵、3 棵）

生2：第一位學生兩頭都種了樹，第二位同學只在一端種了樹，第三位同學兩端都沒種。

師：為什么第二位同學只在一端種了樹，第三位同學兩端都沒種呢？他們可能遇到了什么情況？

生：可能有房子或障礙物。

師：是的，當一端或兩端有房子的時候，還能種下樹嗎？

生：不能。

師：我們能不能給這三位同學種樹的情況想一個名字？

生：第一位學生兩端都栽，第二位同學只栽一端，第三位同學兩端不栽。（板書：兩端都栽、只栽一端、兩端不栽）

2.發現棵樹與間隔數的規律。

師：4 個間隔5 棵樹、4 個間隔4 棵樹、4 個間隔3 棵樹，棵樹與間隔數如此的接近，看來棵樹和間隔數之間一定有聯系，你能找出來嗎？

生：兩端都栽的情況：棵樹=間隔數+1；只栽一端的情況：棵樹=間隔數；兩端不栽的情況：棵樹=間隔數-1。（板書）

師：除了看數字之間的關系，還可以從哪里看出來？

生：從圖中看出來。

師：一棵樹對應一個間隔，在數學上叫作：一一對應。（板書：一一對應）下面我們就用一一對應的方法來看一看其他的兩種情況。

師：好了，現在咱們回到開始要解決的問題：要在全長100 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵樹？同學們說一說：栽21 棵是怎么來的？

生：先 求 間 隔：100÷5=20（個），再用20＋1=21（棵）。

師：這是屬于植樹問題的哪種情況？

生：兩端都栽的情況。

師：那你們知道20 棵和19棵分別屬于植樹問題的哪種情況嗎？

生：只栽一端和兩端不栽的情況。

三、分層練習，形成能力

1.基礎題。

（1）工人們正在架設電線桿，相鄰兩根間的距離是200m。在總長為1000m 的筆直路上，一共要架設多少根電線桿（兩端都架設）？

（2）迷你馬拉松比賽全程約12km，平均每3km 設置一處飲水服務點（起點不設，終點設），全程一共有多少處這樣的服務點？

（3）一根木頭長8m，每2m 鋸一段，需要鋸幾次？

2.拓展題。

找一找生活中類似植樹問題的情況。

3.拔高題。

四、課堂小結，拓展延伸

師：說一說，這節課你有什么收獲？