任意時(shí)間收斂碰撞角約束制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

劉遠(yuǎn)賀, 謝年好, 歐陽(yáng)海, 黎克波*

(1.國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410072；2.空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410072)

0 引 言

對(duì)制導(dǎo)武器而言，制導(dǎo)系統(tǒng)的主要作用是根據(jù)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息，給出合適的制導(dǎo)指令，使導(dǎo)彈精確命中目標(biāo)。為了充分發(fā)揮導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能，提高對(duì)目標(biāo)的毀傷能力，在以最小脫靶量攻擊目標(biāo)的同時(shí)，希望其能以不同的落角或碰撞角實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的全方位攻擊[1-2]。如反艦導(dǎo)彈期望從近防武器系統(tǒng)防御薄弱的角度攻擊戰(zhàn)艦，如圖1所示；鉆地彈在攻擊地下目標(biāo)時(shí)，期望的攻擊角度為垂直于地面；反坦克導(dǎo)彈希望以大落角對(duì)坦克頂部的薄弱裝甲實(shí)施攻擊等。

圖1 碰撞角約束制導(dǎo)律示意圖

碰撞角約束制導(dǎo)律(Impact Angle Constrained Gui-dance，IACG)最早由Kim等[3]于1973年提出，此后針對(duì)不同的作戰(zhàn)場(chǎng)景和需求，并基于不同的控制理論，產(chǎn)生了不同類型的IACG。總的來(lái)說(shuō)，IACG的設(shè)計(jì)方法主要有偏置比例導(dǎo)引、最優(yōu)制導(dǎo)、滑模制導(dǎo)、先進(jìn)幾何制導(dǎo)等幾類[4-6]。

為了實(shí)現(xiàn)碰撞角約束，可在純比例導(dǎo)引律(Pure Proportion Navigation, PPN)的基礎(chǔ)上加入偏置項(xiàng)，用以消除打擊終點(diǎn)的落角或碰撞角誤差。文獻(xiàn)[7]基于類李雅普諾夫方法，提出一種具有碰撞角約束的修正比例導(dǎo)引律，不僅可以打擊固定和慢速移動(dòng)目標(biāo)，對(duì)具有一定加速度的機(jī)動(dòng)目標(biāo)也具有良好的打擊效果。文獻(xiàn)[8]推導(dǎo)了具有角度約束的偏置比例導(dǎo)引律的閉合解，可以解析地確定所需的角度偏差，方便逆向推導(dǎo)以確定合適的攔截平面和導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力大小的初始條件。文獻(xiàn)[9]提出一種有偏置項(xiàng)的反比例導(dǎo)引律，可用于攔截高速目標(biāo)，并實(shí)現(xiàn)碰撞角控制。文獻(xiàn)[10]針對(duì)半捷聯(lián)末制導(dǎo)碰撞角約束問(wèn)題，研究了圓弧比例導(dǎo)引和偏置比例導(dǎo)引兩種制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[11]針對(duì)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)，提出一種考慮導(dǎo)引頭視場(chǎng)角和過(guò)載能力限制的碰撞角約束偏置比例導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[12]以高超聲速滑翔飛行器末制導(dǎo)角度約束問(wèn)題為背景，通過(guò)對(duì)PPN的性能分析，推導(dǎo)了碰撞角約束下的閉環(huán)非線性自適應(yīng)制導(dǎo)律，但該制導(dǎo)律在初始階段會(huì)帶來(lái)較大的誘導(dǎo)阻力。文獻(xiàn)[13]改進(jìn)了該方法，在制導(dǎo)初始階段設(shè)計(jì)了一種定向制導(dǎo)策略，提出一種復(fù)合制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[14]將該制導(dǎo)律進(jìn)一步擴(kuò)展到打擊常速目標(biāo)的情況，設(shè)計(jì)了一種兩階段比例導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[15]考慮外部擾動(dòng)，又引入積分滑模控制方法和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，設(shè)計(jì)了IACG。上述文獻(xiàn)所涉及的多種制導(dǎo)律仍存在形式復(fù)雜、制導(dǎo)參數(shù)過(guò)多、物理涵義不明確等問(wèn)題，當(dāng)前導(dǎo)彈碰撞角約束制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)與工程應(yīng)用仍有很多可改進(jìn)之處。

導(dǎo)彈制導(dǎo)問(wèn)題本質(zhì)上是制導(dǎo)誤差的有限時(shí)間收斂問(wèn)題。文獻(xiàn)[16]基于施瓦茨不等式提出了非線性最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)方法，并提出一種基于最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的IACG(OED-IACG)。文獻(xiàn)[17]進(jìn)一步提出一種具有導(dǎo)引頭視場(chǎng)角約束的三維OED-IACG。文獻(xiàn)[18-19]在此基礎(chǔ)上引入飛行時(shí)間約束，設(shè)計(jì)了具有最優(yōu)特性的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律，并給出飛行時(shí)間包絡(luò)。文獻(xiàn)[20]發(fā)展了誤差動(dòng)力學(xué)方法，提出固定時(shí)間收斂的誤差動(dòng)力學(xué)方法，然后在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種基于固定時(shí)間收斂的誤差動(dòng)力學(xué)的IACG，該方法可以使導(dǎo)彈的碰撞角誤差在設(shè)定的固定時(shí)間內(nèi)收斂到0，而此固定時(shí)間與初始相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。文獻(xiàn)[21]基于固定時(shí)間收斂的誤差動(dòng)力學(xué)方法，引入導(dǎo)引頭視場(chǎng)約束，設(shè)計(jì)了三維分布式多彈協(xié)同制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律不包含切換邏輯，制導(dǎo)指令平滑且無(wú)奇異。

進(jìn)一步針對(duì)制導(dǎo)律中涉及的有限時(shí)間收斂問(wèn)題，文獻(xiàn)[22]給出有限時(shí)間和固定時(shí)間穩(wěn)定性的詳細(xì)概念，有限時(shí)間和固定時(shí)間穩(wěn)定的收斂時(shí)間上界一般與初始條件或控制參數(shù)相關(guān)，這對(duì)導(dǎo)彈的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)提出了要求。文獻(xiàn)[23-24]通過(guò)時(shí)變調(diào)整函數(shù)預(yù)設(shè)收斂時(shí)間，并可以加入執(zhí)行機(jī)構(gòu)過(guò)載約束，甚至不需要系統(tǒng)的全局信息，即可實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間或有限時(shí)間收斂的性能要求。雖然該方法可以通過(guò)合理選擇參數(shù)得到期望的收斂時(shí)間，但預(yù)設(shè)性能的時(shí)變調(diào)整函數(shù)一般比較復(fù)雜。針對(duì)以上問(wèn)題，文獻(xiàn)[25]提出一個(gè)收斂時(shí)間可以任意設(shè)定的控制方法，該任意時(shí)間收斂方法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)較少、物理意義明確的優(yōu)點(diǎn)。

針對(duì)IACG設(shè)計(jì)問(wèn)題，受文獻(xiàn)[25]啟發(fā)，結(jié)合文獻(xiàn)[16]的研究思路，本文基于PPN和任意時(shí)間收斂控制方法，設(shè)計(jì)了任意時(shí)間收斂碰撞角約束制導(dǎo)律(Arbitrary Time Convergent IACG，ATC-IACG)，分析了其與OED-IACG的區(qū)別和聯(lián)系，并選取不同制導(dǎo)參數(shù)，通過(guò)多種場(chǎng)景的仿真驗(yàn)證了所提制導(dǎo)律的有效性。

1 問(wèn)題描述

1.1 導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型

在進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)前，不失一般性，給出如下假設(shè)：(1)導(dǎo)彈為理想質(zhì)點(diǎn)模型，導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)是理想過(guò)程，無(wú)執(zhí)行機(jī)構(gòu)時(shí)間延遲；(2)不考慮地球引力與地球自轉(zhuǎn)角速度的影響；(3)導(dǎo)彈速度為常速，導(dǎo)彈加速度矢量垂直于導(dǎo)彈速度矢量，即不改變導(dǎo)彈速度大小；(4)目標(biāo)靜止。

彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型如圖2所示。圖中，oxy為慣性坐標(biāo)系；M和T分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)；rm和rt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的位置矢量；vm為導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)速度矢量；r為彈目相對(duì)位置矢量；(er，eθ)為視線坐標(biāo)系；(tm，nm)為導(dǎo)彈速度坐標(biāo)系；q為視線角，φm為導(dǎo)彈速度傾角，θm為導(dǎo)彈前置角，均以er逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。

圖2 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

根據(jù)以上定義，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

式中：am為導(dǎo)彈加速度。

碰撞角約束的初始和終端約束條件為

(3)

式中：t0和tf分別為初始時(shí)刻和終端碰撞時(shí)刻；φmd為期望的終端碰撞角。

1.2 任意時(shí)間收斂方法

有限時(shí)間收斂方法的收斂時(shí)間上界由系統(tǒng)初始狀態(tài)和參數(shù)決定；固定時(shí)間收斂的收斂時(shí)間上界與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，但需要由參數(shù)決定；預(yù)設(shè)時(shí)間收斂方法的收斂時(shí)間上界可以通過(guò)時(shí)變調(diào)整函數(shù)預(yù)設(shè)，但時(shí)變調(diào)整函數(shù)形式復(fù)雜；任意時(shí)間收斂方法的收斂時(shí)間不僅與系統(tǒng)初始狀態(tài)和參數(shù)無(wú)關(guān)，而且具有形式簡(jiǎn)單、收斂時(shí)間上界可以任意設(shè)定的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[25]提出一個(gè)收斂時(shí)間可以任意設(shè)定的控制方法，其狀態(tài)方程具有如下形式：

(4)

式中：η∈R，且η≥1；tf為獨(dú)立于任何系統(tǒng)參數(shù)和初始條件的收斂時(shí)間，可任意設(shè)定。式(4)的解析解為

x=ln[C(tf-t)η+1]

(5)

圖3 參數(shù)η對(duì)式(4)的影響特性

2 任意時(shí)間收斂碰撞角約束制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

對(duì)于靜止目標(biāo)，IACG通常采用比例導(dǎo)引加偏置項(xiàng)的形式[16]，即

am=aPPN+aIA

(6)

式中：aPPN為純比例導(dǎo)引項(xiàng)；aIA為碰撞角約束項(xiàng)。在PPN導(dǎo)引下，終端碰撞角φmf同當(dāng)前視線角q和速度傾角φm的關(guān)系為

(7)

應(yīng)注意，PPN導(dǎo)引下的導(dǎo)彈，其速度前置角θm最終會(huì)收斂到0，也就是說(shuō), 視線角q和速度傾角φm最終會(huì)收斂到一致，即φmf=qf。

令期望的終端碰撞角為φf(shuō)d，那么碰撞角誤差可以定義為

εφ=φf(shuō)d-φmf

(8)

對(duì)式(8)求導(dǎo)，并將式(2)、式(6)～(7)代入，經(jīng)過(guò)整理，可得碰撞角誤差動(dòng)力學(xué)方程為

(9)

回顧任意時(shí)間收斂控制方法，即式(4)，可知當(dāng)t

(10)

將式(10)代入式(9)，可得任意時(shí)間收斂的碰撞角約束項(xiàng)：

(11)

可知，當(dāng)t>tf時(shí)，碰撞角誤差已收斂到0，碰撞角約束項(xiàng)為0，即aIA=0。聯(lián)立式(6)和式(11)，可得ATC-IACG為

(12)

式(12)所示的ATC-IACG收斂時(shí)間與系統(tǒng)的初始條件無(wú)關(guān)，且可任意設(shè)計(jì)。根據(jù)圖4所示的方程收斂特性，為使過(guò)載均勻分布，一般選擇收斂時(shí)間tf接近整個(gè)制導(dǎo)飛行時(shí)間。當(dāng)收斂時(shí)間tf為總制導(dǎo)飛行時(shí)間，并把e-εφ在0處泰勒展開(kāi)后取一階近似，式(12)可以表示為

圖4 收斂時(shí)間tf對(duì)式(4)的影響特性

(13)

式(13)即為文獻(xiàn)[16]中的OED-IACG。由于總制導(dǎo)飛行時(shí)間未知，可以用剩余飛行時(shí)間的估計(jì)值tgo來(lái)替換(tf-t)項(xiàng)，即

(14)

式中：K為最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的參數(shù)；tgo為PPN的剩余飛行時(shí)間估計(jì)，近似表示為

(15)

與其他制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法相比，OED-IACG可以在tgo時(shí)間內(nèi)使誤差收斂到0。此外，該制導(dǎo)律是基于非線性誤差動(dòng)力學(xué)理論推導(dǎo)的，有明確的性能指標(biāo)，并且與基于線性化假設(shè)的彈道成型制導(dǎo)律結(jié)果一致。

3 制導(dǎo)律仿真驗(yàn)證

設(shè)導(dǎo)彈初始位置為[-10 000，17 321]m，初始速度為[500，0]m/s，即導(dǎo)彈平飛。目標(biāo)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，即位置為[0，0]m，速度為[0，0]m/s。導(dǎo)彈最大過(guò)載設(shè)為amax=10g。

3.1 場(chǎng)景一：不同制導(dǎo)律對(duì)比

首先對(duì)比式(12)所示的ATC-IACG和式(14)所示的OED-IACG，選取終端碰撞角φf(shuō)d=-60°，ATC-IACG的制導(dǎo)增益N=3，收斂時(shí)間tf=30 s，可調(diào)參數(shù)η=3，OED-IACG的制導(dǎo)增益N=3，參數(shù)K=3。

圖5給出了ATC-IACG和OED-IACG的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡、制導(dǎo)加速度、碰撞角誤差和視線角變化曲線。仿真結(jié)果表明，兩種制導(dǎo)律都實(shí)現(xiàn)了期望的終端碰撞角約束，但ATC-IACG的碰撞角誤差能更快地收斂到0，視線角變化幅度較小。

圖5 ATC-IACG和OED-IACG的仿真結(jié)果

不同制導(dǎo)律的導(dǎo)彈能量消耗如表1所示，其中速度增量是表征導(dǎo)彈能量消耗的一種方式，是對(duì)制導(dǎo)加速度的絕對(duì)值進(jìn)行積分。由表1可知，ATC-IACG的能量消耗要少于OED-IACG。

表1 不同制導(dǎo)律的導(dǎo)彈能量消耗

3.2 場(chǎng)景二：不同收斂時(shí)間對(duì)比

選取收斂時(shí)間tf分別為30 s，35 s，40 s，碰撞角φf(shuō)d=-60°，制導(dǎo)增益N=3，可調(diào)參數(shù)η=3。圖6給出了不同收斂時(shí)間下的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡、制導(dǎo)加速度、碰撞角誤差和視線角變化曲線。

圖6 不同收斂時(shí)間下的仿真結(jié)果

由圖6(a)和圖6(c)可知，在所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的作用下，實(shí)現(xiàn)了以期望收斂時(shí)間和終端碰撞角約束的攻擊任務(wù)。由圖6(b)可知，所設(shè)定的收斂時(shí)間越長(zhǎng)，導(dǎo)彈制導(dǎo)加速度變化越平緩。由圖6(c)和圖6(d)可知，所設(shè)定收斂時(shí)間越短，碰撞角誤差的收斂速度越快，導(dǎo)彈視線角變化幅度就越小。

收斂時(shí)間不同時(shí)的導(dǎo)彈能量消耗如表2所示。由表2可知，收斂時(shí)間越長(zhǎng)，導(dǎo)彈能量消耗越多。這是因?yàn)樵O(shè)定的收斂時(shí)間越長(zhǎng)，就會(huì)有越多的能量用于調(diào)整碰撞角。

表2 收斂時(shí)間不同時(shí)的導(dǎo)彈能量消耗

3.3 場(chǎng)景三：不同碰撞角對(duì)比

選取終端碰撞角φf(shuō)d分別為-40°，-60°，-80°，收斂時(shí)間tf=30 s，制導(dǎo)增益N=3，可調(diào)參數(shù)η=3。圖7給出了不同期望碰撞角下的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡、制導(dǎo)加速度、碰撞角誤差和視線角變化曲線。

圖7 不同期望碰撞角的仿真結(jié)果

由圖7(a)和圖7(c)～(d)可知，在所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的作用下，導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)了以期望收斂時(shí)間和終端碰撞角約束的攻擊任務(wù)。由圖7(b)可知，期望碰撞角的絕對(duì)值越大，導(dǎo)彈制導(dǎo)加速度變化越平緩。

碰撞角不同時(shí)的導(dǎo)彈能量消耗如表3所示。由表3可知，期望碰撞角的絕對(duì)值越大，導(dǎo)彈能量消耗越少。這是因?yàn)槠谕鲎步堑慕^對(duì)值越大，其與比例導(dǎo)引所得的終端碰撞角之間的誤差越小，能量消耗自然越少。

表3 碰撞角不同時(shí)的導(dǎo)彈能量消耗

4 結(jié) 論

針對(duì)具有收斂時(shí)間要求的碰撞角約束制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題，本文在PPN的基礎(chǔ)上，結(jié)合任意時(shí)間收斂方法設(shè)計(jì)了ATC-IACG。在該制導(dǎo)律的導(dǎo)引下，導(dǎo)彈終端碰撞角可以在設(shè)定的時(shí)間內(nèi)收斂到0，并通過(guò)多種場(chǎng)景的仿真驗(yàn)證了所提制導(dǎo)律的有效性。ATC-IACG形式簡(jiǎn)單、參數(shù)較少、靈活度高、物理意義明確，具有潛在的工程應(yīng)用價(jià)值。另外，任意時(shí)間收斂方法還可以用于設(shè)計(jì)尋的制導(dǎo)律、飛行時(shí)間約束制導(dǎo)律或多彈協(xié)同制導(dǎo)律等，本文所提制導(dǎo)律也可以擴(kuò)展至打擊勻速或慢速移動(dòng)目標(biāo)。