關于無限子群的確定的閉包的性質探討*

楊年西

淮北師范大學信息學院 安徽 淮北 235000

引言

20世紀50年代，塔爾斯基開創模型論學派，它是世界數學發展的新潮流。20世紀60年代，魯賓孫研究模型論的擴張原理的時候，提出超實數系統，創立非標準分析[1]。20世紀70-80年代，J.Keisler在模型論思想指導下提出無窮小微積分。由于模型論一階邏輯發展最成熟，模型論也是以一階模型論內容最豐富，例如，用模型論方法，證明了群有遞歸可解字充分必要條件它是有限生成的群；證明微分域的微分閉包具有唯一性，給出希爾伯特零點定理的一個新證法[2]。魯賓孫并由此重新證明了阿廷等對希爾伯特第17問題的解答。2015年，美國模型論專家William Weiss發表現代模型論成為一個重要的數學分支，特別21世紀，它與代數、分析等數學學科的聯系越來越密切，可以預料，隨著模型論的不斷發展，它將為其他數學分支提供更多的新工具和新方法。在對于模型論的一階性質的研究中，范疇性是一個很有用的概念。一些模型論學者利用范疇性及另一個重要概念穩定性，對于群、環、域等代數結構進行了富有成果的研究。而現代模型論研究群與環重點是研究確定的子群和子環之間的性質[3]。A.Borovik提出了穩定的群與秩群的結構可能是相同的， Poizat證明了這個結論，就稱秩群是有限莫利秩的群[4]；類似有莫利秩的環。Cherlin提出有限莫利秩的單群的猜想[5]，吸引很多學者對有限莫利秩的群的研究的興趣，推動有限莫利秩群的研究和發展。本文主要對無限的群的子群的確定的閉包性質深入探討。

1 預備知識

模型論研究對象主要是確定的集合，確定的集合簡單說通過公式能夠計算出來，而有限集都是確定的集，用模型論的思想和方法研究無限群，因為有限莫利秩的群有類似于代數群的結構，它具有降鏈條件的性質，如果群則表示集合X的莫利秩的數量），有限莫利秩的無限子群G，僅有有限個確定無限子群滿足降鏈群的中心化子是指，因為是確定的群，假設群A是確定，那么也是確定的，群G是有限莫利秩群不管群A是否確定，都是確定的[9]。假設X，Y是群G的子集，x，y是群G的元素，表示群G一個換位子，表示由集合生成的群G一個換位子群，歸納定義換位子群如果存在正整數n，滿足，稱群G是可解群，如果滿足最小正整數n，成為可解群長度n。如果存在正整數n，滿足，稱群G是冪零群[6]，如果滿足最小正整數n，成為冪零群長度n。

定義1.1 莫利秩（Morley Rank）的定義，假設M是L語言的模型，是的公式，表示公式在模型M中的莫利秩。歸納定義莫利秩數量當且僅當不是空集；

定義1.2 假設M是形式語 言L的一個模型，是模型完全理論的一個公式，表示在模型M中滿足公式的元素。確定集X定義：存在公式，其中表示是變量，表示的常量，X可以表示，就稱X是確定集。

引理1.3[7]群G含有最小的有限指數的確定子群G0，稱子群G0是群G的連通部分；假設群G是有限莫利秩的群，群G0是群G的正規子群和連通分支是唯一的

證明：①有限莫利秩的群G存在有限指數的確定子群G0，設群A，B群是群G的有限指數子群，設集合，先證，易知映射是M集合到集合K映射，映射則，可知推出是M到K的一個單映射，所以，即證，因是有限的，可知是有限的，是有限的，群仍然是群G有限指數子群。

設群G的全部有限指數確定的子群組成集合，H表示確定的子群，因為群G的子群具有降鏈條件，所以，由前面證明可知有限交仍然是群G確定的有限指數子群，是群G的最小有限指數確定的子群。

②因為子群G0是群G的有限指數子群，可知也是群G的有限指數群，G0是有限指數的確定最小子群，所以，可得，根據正規子群定義，群G0是群G的正規子群。

③假設群C也是群G的連通分支，它也是群G的確定的最小有限指數子群，因為仍然是群G的有限指數子群。因為推出，同理推出即，群G的連通分支是唯一的。

引理1.4 對群G上的任意子集X，確定的閉包表示包含集合X的所有確定子群的交集在群G，或集合X生成確定的子群。假設群G是有限莫利秩的群

③假設H是群G上的確定的子群，結果，對任意子集X，確定的閉包

引理1.5 對有限莫利秩的群G上的任意子集X，確定的閉包

①集合X的元素都可以交換，確定的閉包是交換群。

②假設群A是集合X的正規化子的子集，那么確定的也是屬于正規化子的子群。

證明：①因為有限莫利秩的群G上的任意子集X，是確定的子群，所以也是確定的交換子群，由于，確定的閉包也是交換群。②因為群A是集合X的正規化子的子集，可知，而所以也是確定的子群，可以推出，是包含集合X確定的子群，即，由群的性質可知，結果，因為是確定的子群，由引理[1.5]可知，。③有限莫利秩群具有降鏈條件，存在有限個是有限的，那么任意也是有限的。是正規子群，也是有限的。不凡直接設，由②證明可知，推出，因為是有限的，存在有限個，因為確定的，推出是確定的，

引理1.6 假設有限莫利秩群G，集合，結果

引理1.7 假設有限莫利秩冪零群G，那么冪零群G可以分解中心積，直積，D是確定的連通的特征可除群，C是確定的有限指數群，T是可除交換扭群，N是無扭群。如果G是連通的，那么C也是連通的特征子群。（中心積是指是有限的且

2 主要結論

定理2.2 假設群G是有限莫利秩的，它的子群H是可除冪零群，那么確定的閉包也是可除冪零群。

證明：由定理[2.1]，子群H是可除冪零群，可知群也是冪零群，又由引理 [1.7]，冪零群可以分解成，D是確定的連通的特征可除群，H是可除冪零群，因為推出確定的子群D包含群H，子群D是確定的子群，，而，即，D是確定的連通的特征可除群，所以確定的閉包 也是可除群。

定理2.3 假設有限莫利秩群G是可除冪零群，是素數，群S是群G的西洛子群，證明且是無扭群。

證明：群G是可除冪零群，由引理[1.7]，零群G可以分解，D是確定的連通的特征可除群，T是可除交換扭群，C是確定的有限指數群，因為有限莫利秩群G是可除群，推出和可除交換扭群，推出西洛子群S是一個群，，群G中所有群直和組成即，I是有限的；得到，任意一個階元素是無扭群。

定理2.4 假設群G是有限莫利秩的可除群，證明G'是無扭群。