基于默會知識的初中數學概念教學路徑探尋

默會知識就是一種大家都在用，只可意會不可言傳的知識，是相對于明確知識而言的.默會知識的特點包括：一是情境性，是基于情境的一種直觀感受；二是實踐性，在實踐中應用與意會；三是主體性，主體只有參與實踐才會領會.學生每學習一個概念，都會啟動相應的默會知識，在學習任務下，自覺搜索、聯想默會知識，從而讓新知在頭腦中復活.

1 概念引入，啟動默會知識

默會知識是基于情境的一種直覺感受，具有情境性.因此，創設一定的情境，可以啟動學生的默會知識，讓學生的思維進入積極的狀態.例如引入“軸對稱”時，學生對于軸對稱的默會知識：自然界看到的花蝴蝶，校園里的教學樓，人的臉，大眾的車標，奧運會的五環旗，等等.因此，筆者根據學生的生活實際體驗設計這樣的情境：出示一些軸對稱圖形和一些非對稱圖形，讓學生思考哪些圖形看起來比較有美感，然后，讓學生探索軸對稱圖形具有美感的原因，以引發學生對于軸對稱圖形特征的默會經驗.

1.1 以解決實際問題引入

（1）基于生活實際，提供現實原型

通過生活實際，引導提煉概念的本質特征.比如，教學“坐標系”的概念時，筆者引入世界地圖，每一個地點的位置都有經度與緯度兩個數值；看電影時，買的電影票寫著幾排幾號，用一對有序實數表示平面內的點的位置.在生活情境中，學生把默會知識與數學概念“坐標系”對比，經歷了概念的發現過程.

（2）基于實驗情境，學生直觀演示

通過設計數學實驗活動，學生動手操作，在觀察、比較、體驗中，體會概念的特征.比如，關于“正方形”概念的教學，筆者讓學生用一張矩形紙片折出一個面積最大的正方形，學生將紙片寬的一邊與它的長邊的一部分重合進行折疊，然后把剩余的部分裁掉，得到一個正方形，在動手操作中，理解正方形鄰邊相等的本質特征.

（3）還原概念的發展演變過程

數學概念的產生經歷了一個長期發展與演變的過程.比如，無理數的概念，在無理數發現以前，人們認為現實生活的一切量都可以用有理數來度量.畢達哥拉斯的學生希帕索斯在研究直角三角形時發現，直角邊為1的等腰直角三角形的斜邊長不是一個有理數，即斜邊長無法用一個整數或兩個整數的比來表示，并給出了證明.于是，無理數被發現了，它是無限不循環小數.

1.2 在原有的知識基礎上引入

數學知識是環環相扣的演繹體系，數學概念之間都有邏輯聯系.對于有邏輯關聯的概念，可以通過邏輯推理的形式同化概念，引入的方式多種多樣，取決于新舊概念之間的關系.

（1）舊概念包含了新概念

在舊概念的基礎上添加新的限制條件，形成新的概念.如教學“菱形”概念時，筆者給學生出示了許多一般的平行四邊形及菱形，讓學生發現其中形狀特殊的平行四邊形，學生很快看出菱形與一般的平行四邊形有所不同：菱形雖然也是平行四邊形，但它的四條邊相等.于是得到了有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形的概念.

（2）新概念包含了舊概念

如教學“實數”概念時，筆者給學生出示了一些有理數，又出示了一些無理數，然后把這些數合在一起，即所有的有理數與無理數叫做什么數呢？促使學生必須提出一個新概念來概括這些數，于是產生了實數的概念：有理數與無理數統稱實數.

（3）新、舊概念之間具有相似性

如，教學中，筆者類比分數的性質與運算法則，引入分式的性質與運算法則；類比一元一次方程的概念，引出一元一次不等式的概念；類比一元一次不等式的概念，引出一元二次不等式的概念.

（4）基于先行學習經驗

如，反比例函數學習中，筆者引導學生回顧研究一次函數的一般過程，一次函數的概念—圖象—性質—一次函數的應用，從而確定學習反比例函數的一般歷程，反比例函數的概念—圖象—性質—反比例函數的應用.

2 概念抽象，應用默會經驗

教師引導學生經歷概念形成的一般過程為：觀察分析具體實例，然后概括同一類事物的本質屬性，最后用自己的語言刻畫本質屬性，形成概念.

比如，教學“正方形”的概念時，要求學生用矩形紙片折出面積最大的正方形后，用自己的語言描述正方形的概念.此時，學生需要通過前面描述概念的經驗，對照正方形的本質屬性進行表述.當然學生的語言有時不夠精煉準確，此時，教師要引導學生加以修正.學生在表達概念過程中，學生的默會知識與正方形概念的本質屬性建立了聯系，從而能明確提取概念的本質，最后，用簡練的文字、公式、圖表、圖象予以表達，實現了默會知識的外顯化，在概念生成的過程、參與新概念與默會知識的互聯中，掌握了使用默會知識的經驗.

學生的表達需要一定的反饋評價，基于課堂實際，無法讓每一個學生在全班表達.此時，教師可利用小組合作的形式，讓每個同學都有表達的空間與時間，用自己的語言表達概念.小組寬松的氛圍，不僅能激活學生的默會思維因素，還能發揮內隱學習機制的作用.

3 概念辨析，更新默會知識

剛學完新概念，學生的認知結構還不夠穩固，還沒有形成清晰的默會知識，這就需要教師引導學生運用正反實例進行比較、辨析，擺脫非本質屬性的干擾，用明確的知識語言，以及符號表達新形成的默會知識，概括其本質特征，進而內化為新的默會知識.

如，教學“一元二次方程”的概念時，需要學生了解一元二次方程必須滿足三個條件：一是只含有一個未知數；二是未知數的最高次數是2次；三是整式方程.筆者給學生出示以下方程，讓其識別是否是一元二次方程，如，x2+2x=-1，（x+2）（x+3）=x2-1，ax2-3x+1=0，x2=2，x2-5x=0，x2+1=1.通過正反實例，學生理解了一元二次方程滿足的三個前提條件中的“整式方程”的含義.所謂的整式方程是指方程中的分母不能有未知數，根號下不能有未知數.

又如，教學“概率”的概念時，筆者讓學生做拋擲圖釘的實驗，然后統計拋擲次數與針尖不著地的頻數，并計算針尖不著地的頻率，結果如下表所示.

針尖不著地的概率是多少？有學生說是0.60，因為表格有這樣的頻率，有學生說是所有頻率的平均數.此時，筆者引導學生回顧概率的定義，事件發生的概率是指隨機事件發生頻率的穩定值，實驗次數越多，估計越準確，所以針尖不著地的概率應選0.61.

4 概念應用，培養默會能力

在運用概念解決問題時，如何提升學生的默會能力呢？

一是讓學生獨立思考，在實際問題情境中，自覺搜索相應的默會知識，在任務的驅動下，自覺對照與比較概念特征，找出轉換情境的關鍵點，進行一系列的思維加工.比如，在應用概念的過程中，筆者讓學生獨立思考，獲得自己的想法與體驗，學生經過積極努力嘗試，調動了默會知識的主體意識.學生自主思考后，自然會引起討論，此時，筆者引入小組合作，嘗試引導學生交流討論，在組內暴露自己的疑惑與錯誤，實現思維共享.最后，筆者適時指導，培養學生的默會能力，給學生表達的機會.

二是讓學生說思維過程，讓學生明確知識的邏輯形式，借助符號與語言表達默會知識，加工默會知識.在此過程中，學生經歷了失敗到成功，以及從錯誤到正確的調整，提煉了一般方法經驗，提升了默會能力.

5 概念系統化，發展默會潛能

反思學習概念的過程及研究策略，有利于完善概念的認知機制.數學概念雖然多，但是數學概念之間有很強的邏輯關系.在總結概念階段，教師要引導學生把握概念的內在聯系，整合所學概念，把所學新概念納入已有概念框架，形成新的默會體系，建立科學的概念網絡體系，進而提升默會潛能.

總之，概念教學是一個不斷螺旋上升的過程.在教學中，教師要以任務驅動的形式，提取相應的默會知識，通過明確的知識語言與符號表征，使默會知識顯性化，使內隱的學習有規則可循，進而發揮默會認知潛能.

參考文獻：

［1］錢建芬.聚焦默會知識影響 放大學科育人效應——以蘇科版“黃金分割”教學為例［J］.中學數學月刊，2021（5）：18-20.

［2］張勝黎.默會知識的激活與數學核心素養的培養［J］.中學數學研究，2018（3）：4-6.

［3］蘇小四.初中數學默會知識的理解與實踐［J］.數學教學通訊，2020（35）：53-54.

［4］周培培.默會知識系統下的進階式教學初探［J］.數學教學通訊，2017（33）：31-32.