巧用幾何畫板讓軌跡有“跡”可循

摘要：幾何動點軌跡問題常因動點的軌跡看不見、摸不著，學生在解決時存在很大的困難.初中階段，動點的軌跡主要分為“直線型軌跡”和“圓弧形軌跡”兩種.教師在授課時可以借助幾何畫板來探尋動點的運動軌跡，讓軌跡有“跡”可循.

關鍵詞：動點；軌跡；幾何畫板

“點動成線，線動成面，面動成體”是初中數學的一個重要數學事實.而“點動成線”應該是幾何學發展的基礎，在此基礎上延伸出的軌跡問題是初中幾何的基本問題之一，也是近幾年中考的常見題型，重在考查學生對知識的應用能力.解答軌跡問題，需要深入思考，發現并揭示問題的內部規律以及各知識之間的聯系，考查的基本題型有利用軌跡求最值、判斷軌跡并求軌跡的長等，這些問題大都可以利用數形結合思想、轉化思想將幾何問題轉化為代數問題進行求解.

1 題型概述

軌跡問題主要分為“直線型軌跡”和“圓弧型軌跡”兩類.因為點在運動過程中的軌跡是未知的、“隱形”的，學生往往無從下手.對于學生來說，點的運動軌跡如果單純用語言來描述，缺乏直觀形象，不易接受.因此，

教學中如能利用幾何畫板的動畫功能直觀地演示出軌跡的運動路徑，讓其不再“隱形”，學生解決問題將會容易很多.

2 典例解析

2.1 直線型軌跡

例1 如圖1，等腰直角三角形ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路徑長為.

分析：先確定軌跡，在講解時借助幾何畫板變換點P的位置，則點Q的位置隨之發生變化.在PQ變化的過程中，點M的運動軌跡是一條端點位于AC和BC之間的線段，并且與AB平行.在基本確定點M的運動軌跡的基礎上，再來進一步探究.

如圖2，連接OM，CM，由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可得OM=CM=12PQ，進而判斷出點M在線段OC的垂直平分線上，即點M的運動軌跡是△ABC的中位線（如圖3）.

學生在解題時手中并不具備幾何畫板這一工具，因而可以采用“三點顯形法”（即起點、過程點和終點三點確定其形狀），其基本做法如下：

一畫：畫出動點的起點、過程點和終點.

二看：觀察三點是否在一直線上，在一直線上是線段.

三定：線段型常用中位線或垂直平分線等知識解決.

變式 如圖7，等腰直角三角形ABC中，斜邊AB的長為2，O為斜邊AB上的一個動點，過點O作OP⊥AC于點P，作OQ⊥OP于點Q，M為PQ的中點，則當點O從點A運動到點B時，點M所經過的路徑長為.

解析：運用幾何畫板，變換點O的位置，點P，Q的位置隨之變化，點M的軌跡隨之顯現，即△ABC的中位線，其長度為1.故點M所經過的路徑長為1.

本題亦可證明四邊形OPCQ為矩形，M既是PQ的中點，也是OC的中點（如圖8）.如圖9，

過點C作CE⊥AB于點E，過M作MD⊥AB于點D，取CE的中點M′，連接MM′.

易證△ODM∽OEC，則DMEC=OMOC=12，其中CE的長為定值，則DM的長也為定值，即點M到線段AB的距離為定值.由此可確定點M的軌跡為△ABC的中位線.

2.2 圓弧型軌跡

2.2.1 圓弧型軌跡長度問題

例2 如圖10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4 cm，CD是中線，點E，F同時從點D出發，以相同的速度分別沿DC，DB方向移動，當點E到達點C時，運動停止，直線AE分別與CF，BC相交于點G，H，則在點E，F移動過程中，點G運動路徑的長度為.

圓弧型軌跡問題的解題方法如下：

一畫：畫出動點的起點、過程點和終點.

二看：觀察三點是否在同一直線上，若不在同一直線上，則轉跡是圓弧.

三定：圓弧型軌跡問題常利用“對稱性”和“90°的圓周角所對弦是直徑”等知識確定圓心和半徑.

四算：常用勾股定理、相似三角形等知識來求解.

解析：如圖11，點G的運動軌跡是以AC為直徑的CD，易得CD所對圓心角∠COD=90°，半徑OC=2.故點G的運動軌跡的長為90π×2180=22π.

2.2.2 圓弧型軌跡最值問題

3 總結

在解決動點問題時，要學會用運動變化的眼光審題，根據圖形的性質，探究隱藏在變化過程中不變的量和關系，化動為靜，從而畫出動點的運動軌跡.幾何畫板只是我們解題的工具，而不是解題的依據.動點問題千千萬，但是萬變不離其宗，通過判斷動點的運動軌跡再去解決與軌跡有關的問題是永恒的核心，只要把握好這一核心，那么軌跡都將有“跡”可循！