基于名師面對面的幾何專題復習課實踐研究

摘要：當前數字化轉型背景下，上海市浦東新區推出“名師面對面”線上課程.本文中以“巧用相似三角形中的基本圖形”為例，對這節復習課的教學設計、實施及視頻拍攝過程進行反思，圍繞幾何微專題復習課之例題的選擇、講評，以及例題講評過程中思想方法的滲透和數字技術的應用進行表述.

關鍵詞：幾何微專題復習課;例題的選擇與講評;思想方法;數字技術

當前數字化轉型背景下，上海浦東新區推出“名師面對面”課堂，既有利于發揮優質教育資源的輻射引領作用，又有利于促進義務教育優質均衡.浦東新區名師面對面項目組針對初中數學教材（上海教育出版社）九年級上冊第二十四章“相似三角形”設計了“添平行線證相似三角形”“巧證比例式”和“巧用相似三角形中的基本圖形”系列化微專題復習課，筆者受邀執教第三課時“巧用相似三角形中的基本圖形”.下面對本節課教學內容設計及實施過程進行闡述及反思，與各位同仁研討.

1 教學內容設計

1.1 內容解析

滬教版初中數學教材在引導學生研究線段與角、相交線與平行線、三角形、四邊形之后，開始研究相似三角形的有關知識.相似三角形的內容，按照從相似三角形的概念到判定、再到性質的順序逐步展開，形成體系.本章內容的呈現，體現了“問題驅動”的基本方式，通常從學生已有的知識背景出發，引導學生從數學的角度提出問題，通過探究活動和演繹推理，構建數學知識.運用相似三角形的判定及性質是單元教學的重點，巧用相似三角形的判定及性質是單元教學的難點.筆者從學生熟悉的習題入手，借助“問題驅動”展開變式，構建教學路徑；通過分析過程，引導學生梳理相似三角形中的基本圖形，借助基本圖形的層層推進，解決問題，達到“巧”的目地；通過課堂小結，歸納分析、總結學習方法.

1.2 學情解析

浦東新區2022學年度九年級約有22 000名學生.他們已經學習了線段與角、相交線與平行線、三角形和四邊形的有關知識.大部分學生具有一定的分析問題、解決問題的能力和邏輯推理能力，能夠有條理地表達證明過程.

1.3 教學目標及重難點解析

基于上述教學內容及學情解析，設計教學目標及教學重難點如下.

教學目標：（1）掌握相似三角形的判定與性質定理，解決有關幾何論證及計算問題；

（2）經歷相似三角形的性質與判定在幾何論證及計算問題中的應用，體會化歸的數學思想，提高學生分析問題、解決問題的能力，發展推理能力；

（3）在一題多變、一題多解、一圖多用的過程中，提升數學思考與數學語言表達能力.

教學重點：運用相似三角形的判定與性質定理，解決有關幾何論證及計算問題.

教學難點：巧用相似三角形中的基本圖形，解決有關幾何論證及計算問題.

2 教學實施

“名師面對面”是線上課堂，在有限時間內，主要通過授課教師的講題活動，示范如何分析及解決問題，幫助學生養成創新意識，引導學生逐步學會分析，提高解決問題的能力，最終達到提升數學核心素養的目的.筆者基于上述教學內容及學情分析，在選題和講題上精雕細琢，圍繞數學核心素養這個中心，努力做到內容問題化、問題思維化和思維可視化，具體教學設計及實施如下.

2.1 創設情境，激活思維

教學設計及實施說明：通過例題的變式，將教學內容問題化、問題思維化.實際教學過程中，同時運用框圖式呈現分析的過程，實現思維的可視化.通過問題驅動，激發學生主動進行相關數學知識和數學思維的構建，逐步實現從運用全等三角形的判定及性質解決例題，到運用相似三角形的判定及性質解決變式1，為梳理相似三角形中的基本圖形作鋪墊.

類比例題，變式1的處理有三個目的：一是通過一題多解，引導學生多角度體會如何恰當地運用相似三角形的判定及性質，落實教學的重難點；二是在小結中進行結論變式，以期引導學生感悟一題多變，在學習過程中落實“四基”、發展“四能”；三是為后面的歸納小結作出鋪墊，方便歸納出教學要點.

2.3 歸納小結，生長思維

回顧變式1的分析過程，可以發現圖形中蘊含著相似三角形的基本圖形，如從圖4中分離出圖5-1至圖5-7.

歸納小結：要熟悉相似三角形中的基本圖形，能夠從復雜圖形中分離出基本圖形，借助圖形層層推進，解決問題．

教學設計及實施說明：在教學中，歸納學習要點，可以將課堂和學生引向深處，形成可復制、可粘貼的效果，真正實現深度教學．歸納小結不能夠貼標簽，應該是對教學過程的梳理與提煉，達到生長學生思維的效果．

教學設計及實施說明：基于例題和變式1，進行圖形變式和條件變式，徹底實現教學內容問題化、問題思維化、講解過程的思維可視化（如圖8），在問題解決過程中，達到知識應用與遷移的效果．第（1）問的解決策略是綜合法，第（2）（3）問的解決策略是綜合分析法．通過恰當的分析，合理的分步動畫效果，引導學生感悟如何在復雜圖形中分離出相似三角形的基本圖形，恰當地運用相似三角形的判定及性質解決有關幾何論證及計算問題.在問題解決的過程中感悟轉化和分類討論等數學思想．

2.5 感悟提升，深化思維

課時總結：遇到復雜圖形，如何運用相似三角形，研究幾何論證及計算問題？（如圖10所示）

相似三角形中的基本圖形，如圖11-1至圖11-9所示.

在相似三角形的章小結中，以框圖的形式詳細地梳理了相似三角形的有關知識．運用相似三角形，研究幾何論證及計算問題，遇到復雜圖形怎么辦？ 一是要熟悉相似三角形中的基本圖形，會從復雜圖形中分離出相似三角形的基本圖形，借助圖形層層推進，進而解決問題.二是要學會巧用相似三角形中的基本圖形牽線搭橋，合理使用各種方法解題.如綜合法、分析法和綜合分析法等.通過對相似三角形中基本圖形結構的挖掘，巧用相似三角形中的基本圖形對應的數量關系，串聯可知與需知，可以解決幾何論證及計算問題.

教學設計及實施說明：課堂總結中，首先，通過知識框圖的形式梳理相似三角形的有關知識，實現思維可視化；其次，給出一組相似三角形中的基本圖形；然后，提煉出問題解決的策略;最后，梳理巧用相似三角形中的基本圖形解決問題的分析方法．通過課時總結感悟運用相似三角形的判定與性質解決幾何論證及計算問題的策略與方法，可以深化思維，提升學生數學思考與語言表達能力.

3 名師面對面錄制后的幾點思考

弗賴登塔爾說：“反思是重要的思維活動，它是思維活動的核心和動力.”數字轉型背景下的數學線上課程，如何突破且超越傳統課堂，是對參與錄制名師面對面教師教學能力的一次挑戰.下面筆者就自己備課、授課及錄制過程展開反思，拋磚引玉，以期引起數學同仁的共鳴.

3.1 幾何微專題復習課之例題的選擇

名師面對面的幾何微專題復習課，立足單元教學，通過一題多變，以精簡的例習題數量構建教學路徑.有一個硬指標，就是在例習題的處理過程中，能夠喚醒學生梳理數學基礎知識與基本技能，要點歸納須突出問題解決的通性通法，提升學生數學素養[1].

單元教學視角下，筆者在建構第三課時“巧用相似三角形中的基本圖形”時，選擇一道學生熟悉的問題情境，通過結論變式構建了引例；進而對引例進行條件變式，形成了變式1；在此基礎上，進行條件和圖形變式，形成了變式2.其構建的核心邏輯線是引導學生從熟悉的運用全等三角形的判定與性質解決問題，到運用相似三角形的性質與判定解決幾何論證及計算問題.變式1和變式2都是例題的拓展.

筆者基于滬教版初中數學教學內容和浦東新區九年級的實際學情，設計符合學生的教學路徑.本課時的教學例題來源于課本習題的改編，例題的選擇兼具典型性、針對性和研究性.在一題多變、一圖多用的過程中，引導學生思考變化過程中不變的量是什么，以期達到“做一題通一類”的效果，真正實現優質均衡的教育.

3.2 幾何微專題復習課之例題的講評

葉瀾教授認為：“能夠將簡單的問題講解到深刻屬于優秀，能夠將深刻的問題講解到簡明屬于完美.”參與錄制名師面對面的教師，必須為自己的語言負責，視頻中的每一句話都要接受全上海所有專家和家長的監督.所以名師面對面數學例題的講評要彰顯數學教師的專業引領作用，邏輯主線要清晰.每一道例題都通過框圖式分析幫助學生實現了思維的可聽化與可視化，啟迪學生的思維，發展學生的推理能力.

幾何微專題復習課的錄制過程中，筆者對例題的講解注重圍繞證明中的思維角度和思維次序進行展開.設計的每一個問題都是基于學生最近發展區，兼具深度與廣度，并且問題的指向性明確.

證明中的思維角度與思維次序如圖12所示.

在例題研究的過程中，通過框圖透徹說明例題解決思路，可以是基于已知條件的綜合法，也可以是基于結論的分析法，還可以是基于已知和結論的綜合分析法.審題時要在圖形上做好標記，梳理復雜圖形中蘊含的相似三角形中的基本圖形，借助圖形層層推進，解決問題.分析完例題和變式題后，繼續對例題和變式進行歸納小結，既有對例題和變式的進一步拓展，又進行結論變式，如例題和變式1均增補了3個結論供學有余力的同學選擇性練習，側重于引導學生反思解題思維的切入點，發展學生的推理能力.

3.3 幾何微專題復習課之思想方法的滲透

《義務教育數學課程標準（2022版）》中明確指出，數學思想是對數學知識、方法、規律的一種本質認識，是學生形成良好的認知結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁.數學方法是解決數學問題的策略和程序，是數學思想的具體反映；數學知識是數學思想方法的載體，數學思想較之于數學基礎知識及常用數學方法層次更高.

回顧名師面對面第三課時的教學實施過程，筆者歸納了巧用相似三角形中的基本圖形解決問題的三種分析方法，即分析法、綜合法和綜合分析法.通過不同的分步動畫和邏輯段的顏色變化，實現思維過程的可聽化和可視化，供學生后續學習中嘗試性使用，上述程序性步驟和解題策略就是數學方法.通過梳理復雜圖形中蘊含的相似三角形的基本圖形，借助圖形層層推進、抽絲剝繭，將復雜問題簡單化，這就是轉化的數學思想.

在幾何微專題復習課的教學過程中，筆者沒有單純地對數學思想方法貼標簽，而是潤物細無聲地引導學生感悟、體驗數學思想方法，讓思想方法自然流淌于解題過程中.

3.4 幾何微專題復習課之數字技術的應用

數字轉型背景下的名師面對面，教師需要靈活地運用多媒體教學手段，實現思維可視化.思維可視化就是把學習過程中的思考方法和思考路徑通過圖示呈現出來，如，通過PPT頁面中不同的色彩搭配和分步動畫效果，較好地突破教學重難點.教學過程中每道題的分析過程都采用框圖式分析法，條理清楚，邏輯嚴密，繪聲繪色的講解給學生身臨其境的感覺，便于學生課后復習鞏固.

筆者在錄制名師面對面的幾何微專題復習課時，恰到好處地借助數字技術，引導在必要處和關鍵時，幫助學生從模仿、反思跨越到自覺分析.如變式1第（3）問，按照思維的次序和角度，通過分步動畫，恰到好處地找到和找全與△BHE相似的三角形，有效突破教學難點；如要點歸納環節，借助數字技術從復雜圖形中分離出相似三角形的基本圖形，歸納學習要點，幫助學生實現“解一題通一類”；如變式2的第（2）問和第（3）問，采用恰當的框圖式分析法，并且適時從復雜圖形中分離出相似三角形，借助圖形層層推進，進而快速解決與相似三角形有關的幾何論證及計算問題.

名師面對面的幾何微專題復習課是當前深度教學的示范.教師創設數學情境，引導學生進入數學思維活動場；學生在教師創設的數學情境下主動參與數學思維活動，可以提升思維品質，發展推理能力[2].數學名師面對面的課型，均為幾何專題復習課.授課教師精選例題，通過變式，構建課堂主線，在精講的過程中歸納教學要點，梳理問題解決的策略與方法.名師面對面的微視頻專題圍繞著學生數學核心素養的培育，實現了教學內容問題化、問題思維化和思維可視化，每一道例題的講解策略都具有“一聽就懂、一點就透、一試難忘、一用有效”的特點，較好地發展了學生的推理能力.

參考文獻：

[1]王元友.初中數學問題設置的常見誤區及對策研究[J].中學數學教學，2013（2）：7-10.

[2]王元友.數學教師的科研之路[M].蕪湖：安徽師范大學出版社，2022.