類比學習路徑 重視探究過程

摘要：基于對《課標（2022版）》的研讀，本文中對“5.1.2矩形的判定”進行再設計.類比平行四邊形研究路徑，通過對矩形判定定理“引入—發現—猜想—驗證—表述—應用”的探究，體現定理學習的一般過程，提高學生思維品質.

關鍵詞：矩形的判定；類比；探究

1 研究背景

筆者在“共享優課”活動中設計浙教版八下“5.1.2矩形的判定”一課時，進行了如下思考：

（1）浙教版教材重視知識體系的完整性，將作為特殊平行四邊形的矩形納入平行四邊形的整體研究體系中.

在進行教學設計時，矩形作為平行四邊形之后學習的第一類特殊平行四邊形，可以類比已有的研究平行四邊形的方法，由學生自主建構研究路徑，對矩形進行探究.

平行四邊形板塊的整體知識框架圖和研究路徑如圖1所示.

（2）《義務教育數學課程標準（2022版）》（以下簡稱

《課標（2022版）》）中對矩形判定的內容要求是：探索并證明矩形的判定定理，即定理1——三個角是直角的四邊形是矩形，定理2——對角線相等的平行四邊形是矩形.教材中提倡學生自己對定理1完成證明，對定理2則給出了詳細的證明過程.但定理的探究需要經歷“發現—猜想—驗證—表述”的過程，教材中的設計并不能體現探究的過程，也不能體現學生的主動性.

初中階段的幾何定理的教學具有一定的模式，可歸納為如圖2所示的過程.

基于以上兩點思考，筆者對本節課的內容進行了再設計，下面展示3個具體的教學片段.

2 教學內容展示

2.1 基于“整體建構”的引

個人思考：教材中對于判定定理的引入缺少說明.

矩形為特殊平行四邊形，在學習了矩形的定義和性質之后將繼續展開研究，研究什么呢？因為學生已有平行四邊形的學習經驗，那么在引入時可以利用學生已有的經驗，建構矩形整體研究路徑.

教學再設計：

環節：研究思路構建.

問題1 回顧矩形已學知識：矩形的定義和性質.

追問1：后續研究什么？

預設：類比平行四邊形的研究路徑，矩形也沿著“概念—性質—判定—應用”的路徑展開研究.

追問2：是否已經有矩形的判定方法？

預設：根據定義，有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

追問3：除去定義，是否存在其他證明和判定矩形的方法？根據已有的學習經驗，該如何進行研究？

預設：通過矩形性質的逆命題得出猜想，再經過證明得到判定定理.

設計意圖：教師的教學，不僅要講授知識，更要提高學生思維品質.本節課的設計通過類比平行四邊形的研究過程得出矩形的研究路徑，明確在定義和性質學習后將開展判定的學習，而判定的學習是基于定義和性質逆命題的角度展開的，因此矩形判定定理的學習也將按此方法來進行．

2.2 基于“過程經歷”的探

教材設計2：同片段1.

個人思考：定理的探究需要經過“發現—猜想—驗證—表述”的過程，教材的設定無法體現探索學習的具體過程，也無法體現學生對學習的主動性.

教學再設計：

環節1：從性質逆命題的角度猜想判定方法.

問題1 類比平行四邊形判定的學習，已知判定和性質是互為逆命題的，因此可以從這個角度展開對矩形判定的研究.矩形的性質逆命題是什么？

生1：“矩形的四個角都是直角”的逆命題是“四個角是直角的四邊形是矩形”.

師：因為定義具有雙重性，根據四邊形ABCD是矩形我們可以推出它是一個平行四邊形且有一個角是90°，進而可以推出四邊形ABCD的四個角都為90°，它們具有“等價的關系”，故而，能夠得到結論，即逆命題成立.

生2：“矩形的對角線相等”的逆命題是“對角線相等的四邊形是矩形”.

生3：“矩形的對角線相等”的逆命題是“對角線相等的平行四邊形是矩形”.

追問1：哪個同學對呢？

追問2：在對角線相等的前提下，要判定四邊形是矩形，需要加上“平行”兩個字嗎？

生4：等腰梯形是一個很好的反例，所以要加上“平行”兩個字.

師：矩形不但具備平行四邊形對角線平分的性質，還具備其所特有的對角線相等的性質，故而根據矩形對角線相等的性質，能夠通過其逆命題得到矩形的判定定理——對角線相等的平行四邊形是矩形.

設計意圖：借助判定是性質的逆命題的角度對矩形的判定定理展開猜想.

環節2：從定義的角度推理論證平行四邊形的判定定理.

問題2 以上是矩形判定方法的猜想，這兩類猜想你能證明嗎？

證明兩個判定定理.（學生自主探索，過程略.）

環節3：梳理形成定理.

（1）文字語言：三個角都是直角的四邊形是矩形.

符號語言：

∵∠A=∠B=∠C=90°，

∴四邊形ABCD是矩形.

（2）文字語言：對角線相等的平行四邊形是矩形.

符號語言：

∵如圖3，在ABCD中，AC=BD，

∴四邊形ABCD是矩形.

判定定理梳理流程圖如圖4所示.

設計意圖：通過探究中的類比、猜想、分析等手段，學生充分體驗得出結論的過程.

2.3 基于“知識融合”的練

教材設計3：

個人思考：（1）利用判定定理來解決問題，選取的例題要具有方法的多樣性，最佳的題型是本課堂學到的三類定理都能夠靈活運用.（2）選用生活情境題，讓學生體會數學來源于生活又應用于生活的理念.

教學再設計：矩形判定定理的運用.

例1 如圖6，BC是等腰三角形BED的底邊ED上的高線，四邊形ABEC是平行四邊形.求證：ABCD是矩形.（教材第117頁第4題.）

證法1：∵△BED是等腰三角形且BC是底邊ED上的高線，

∴CE=CD.

∵四邊形ABEC是平行四邊形，

∴AB=CE，AB∥CE.

∴AB∥CD，且AB=CD.

∴四邊形ABCD為平行四邊形.

∵BC是底邊ED上的高線.

∴∠BCD=90°.

∴平行四邊形ABCD為矩形

（有一個角是90°的平行四邊形是矩形）.

證法2：∵四邊形ABEC是平行四邊形.

∴AB=CE，BE=AC，AB∥CE.

∵△BED是等腰三角形且BC是底邊ED上的高線，

∴CE=CD.

∴AB∥CD，且AB=CD.

∴四邊形ABCD為平行四邊形.

∵△BED是等腰三角形，且BE=BD.

∴BD=AC.

∴平行四邊形ABCD為矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.

例2 亮亮從淘寶上購買了一個書架，如圖7，想知道這個書架是否是矩形書架，你能幫他想想辦法嗎？

預設：（1）用直角三角尺分別測量畫框的三個角是否是直角；（2）通過測量四邊形的兩組對邊的長度，判斷四邊形是否是平行四邊形，然后依據測量得出對角線的長度確認是否為矩形.

設計意圖：①通過教師的示范，教會學生有邏輯地判斷一個四邊形是否為矩形；②加強對矩形判定定理的理解；③例題具有方法的多樣性，本節課所學的三條判定定理均可使用；④借助生活實際情境題，讓學生體會數學來源于生活又應用于生活的理念.

3 教學反思與啟示

《課標（2022版）》中提到：對于數學學科的教學，應以學生為主體，創造能夠幫助學生自學的情境，帶領學生通過探索等形式，學到數學的思想等內容，持續提升發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.在實際案例的再設計中，筆者運用已有的學習經驗對知識整體架構進行搭建.矩形判定定理的探索過程正是學生發現問題、經歷問題解決的過程，體現了定理學習的典型性.

3.1 重路徑建構，提升自主學習力

史寧中曾言，數學學科學習的終極目的是使學習的人會用數學的眼光看待世界，會用數學的思維探究世界，會用數學的語言表達世界.然而該能力的得到，需要學生在學習階段有意采用數學的方式對所遇問題進行處理，不斷積累經驗，并用于新情境，具有整體和發展的眼光.

矩形是特殊的平行四邊形，需要在平行四邊形的基礎上展開研究.“幾何教類比”——特殊平行四邊形的研究路徑可以通過類比平行四邊形的研究獲得.

實際上，數學知識間具有聯系，數學問題的研究方式也具有一致性.所以在教學設計時，要進行整體建構的教學思考，可以將單課的研究納入章節的研究體系，也可以將前后的知識進行類比學習，還可以通過活動培養學生用已習得的研究問題的方式經歷新的研究對象的探究過程.

例如，在有理數的學習過程中建構研究路徑：

引入負數—有理數的概念—有理數的性質—有理數的運算—有理數的應用.因此，

在實數的學習中就可以沿著這樣的路徑自主地對實數進行研究：

引入無理數—實數的概念—實數的性質—實數的運算—實數的應用.

在學習新知識的過程中，根據已有的知識及經驗，經過類比學習的方式輔助學生學到相應的內容，可以使學生形成對應的數學思維，將認知差距有效縮短，使認知方式更為明確，從而增強實際的學習效果，提高學生自主學習力.

3.2 重過程經歷，提升自主研究力

初中需要學習的定理，核心多為幾何內容，這些定理旨在闡釋數學定義間存在的實質性關聯，這是開展正確推斷的依據，同時也是證明方法的依據，是初中數學重要的教學內容.傳統的定理教學存在著輕探究、重結論和重應用的現象，而本節課的教學再設計，通過對原有的平行四邊形的知識框架的建構，經歷矩形的探究過程，特別是矩形判定定理的學習經過“引入—發現—猜想—驗證—表述—應用”的完整過程.在應用環節，精心設計例題，將前后問題進行關聯，提煉和整合內在的知識結構聯系，提升學生對關聯知識的理解度；設置梯度問題，經過分析解決，經歷對比整理的過程，實現課堂教學內容與形式的真正統一.

幾何類比學習的路徑具有四個典型的過程，如圖8所示.

定理教學的這四個過程也是一般定理學習的過程，對學習其他定理具有積極的指導意義.在整個探究過程中，不僅提升解題能力，更為重要的是培養學生數學推理、邏輯思維能力和創新意識，教會學生使用數學的視角看待世界，使用其思維探究世界，運用其語言表述世界.因此，在知識學習過程中更需要讓學生經歷探究過程，從重視知識掌握轉向重視能力發展.故而在實際的教學中，還應當開展探索性的活動，使學生感受提出問題、發現問題、分析問題、解決問題的過程，積累實踐學習的經驗，提高自身的思維品質.