核心素養下的深度學習教學

摘要：多項式除以多項式（長除法）是教材安排在“整式”的運算以及因式分解后面的拓展內容.較為復雜的多項式用長除法可以輕松分解因式，同時與高年級學習解高次方程、余數定理等有十分緊密的聯系，其原理可以類比小學豎式除法，易懂易操作.利用類比的方法進行長除法教學，可以使學生對“數”到“式”的認知更全面，能較好地培養抽象能力和推理能力，也體現了深度學習和大單元教學思想.

關鍵詞：長除法;因式分解;高次方程;余數定理

1教學目標及重難點

本節課的教學目標：

（1）理解并掌握長除法的操作步驟與過程，能用長除法因式分解及解高次方程.

（2）經歷從數的除法類比到多項式除法的過程，初步認識類比在數學中的作用.

（3）感悟類比是認識新事物的主要方法，能將類比的方法延伸到日常生活與學習中.

教學重點：長除法的操作步驟與過程（具體計算過程仍然是單項式除以單項式、單項式乘多項式、整式的減法等）.類比小學豎式除法，體會長除法的思想.

教學難點：在確定除式時要從常數項的因數開始考慮并試商.

2 教學實錄

2.1 小組游戲，引入課題

小組游戲：教師事先做好四套七巧板，如圖1，七巧板的邊緣上均有問題或者答案，任意打亂后分給學生，學生需將對應問題和答案進行邊與邊的拼接，最后組合成圖，用時最短的小組獲勝.

設計意圖：兩種方法并行，第（2）小題不僅可以用長除法，還可以想到“33”的因數，題中已經有了11，那另一個一定是3，同時體會到降冪的邏輯順序.后期可以介紹待定系數法.

2.4 課堂小結

本節課通過類比小學豎式除法，引出多項式除以多項式，感受降冪排列及缺項時的添補，在運算過程中，作差時一定要看清楚各項的系數.運用長除法

得到的商式和余式，將“數”提到“式”的高度.

通過長除法，解決較為復雜的因式分解問題，讓學生獲得新的解題方法，并體會長除法思想，初步感受因式定理.

3 教后感

“多項式除以多項式”是七年級上冊第九章“整式”的拓展內容.“整式”要求學生掌握整式的加減、整式的乘法、因式分解、單項式除以單項式、多項式除以單項式，唯獨多項式除以多項式出現在拓展部分.筆者以為如果學生能掌握長除法，對其處理較難的因式分解問題有一定幫助，同時也能為學生后期學習解高次方程、高次不等式、求分式函數的值域等高中知識打下扎實基礎.

長除法的思想源于小學豎式除法，學生容易模仿，能在模仿類比的過程中體會“數”到“式”的遷移.基于這些想法，筆者于2022年11月29日開設了一節“多項式除以多項式（長除法）”的公開課.在授課過程中，根據學生的知識、能力水平，在類比時引入長除法，同時不舍棄裂項分解，突出重點，逐步遷移到高次方程，取得了較好的教學效果，指向深度學習，為學生日后學習余數定理埋下種子.從這個意義上講，本課是在核心素養意義下的深度學習.

在教學過程中，七巧板游戲環節設計成以往知識的復習，在暖場的同時引出本節課內容，激發學生學習新知的興趣.由于擔心時間緊，沒有投屏.如果投屏，能讓完成最快的小組成員分享其“錦囊妙計”（思考過程），效果會更好.

遺憾的是，少了學生試錯、討論、總結的過程.在例2及小試牛刀2.0的環節可以放手讓學生試錯討論總結，缺項時的計算步驟應該由學生先做，然后關注他們出現了什么困難，組織學生討論，相互幫助，最后總結出缺項式的步驟.本節課中小組的功能沒有調動起來.

長除法是高中、大學的余數定理教學中的一個環節，該過程的講解應該再耐心一點，可以通過二次方程的根來闡述該定理，讓學生感受其真實性，再通過類比延伸到三次方程，達到這節課的完美閉環.由于在長除法的運用過程中，大量除法、乘法、減法的運算揉在一起，學生稍不注意就出錯，因此在平時的訓練中應加強綜合運算，提高學生的運算能力和推理能力.