一堂高品位的拓展課

摘要：多項式除以多項式（長除法）是被安排在“整式”的運算以及因式分解后面的拓展內容，較為復雜的多項式用長除法可以輕松分解因式，同時與高年級學習的解高次方程、余數定理等有著十分緊密的聯系，其原理可以類比小學豎式除法，易懂易操作.通過類比的方法進行長除法教學，使學生對“數”到“式”的認知更全面，較好地培養抽象能力和推理能力，也體現了深度學習和大單元教學思想.

關鍵詞：長除法;因式分解;高次方程;余數定理

“多項式除以多項式（長除法）”拓展課是教師的日常教學活動.要上出高品位的課，筆者以為要做到“兩個尊重”，同時把握“兩個度”.

“兩個尊重”即按照數學知識的內在規律進行教學，要展示知識的發生、發展過程，還要尊重學生的認知規律，根據學生的實際水平選擇恰當的教學內容.

“兩個度”就是課堂教學要有思想（哲學或數學）高度和文化厚度.

思想高度既指教師的教學行為受到自身哲學修養的影響，即所選題目要說明什么觀點，運用什么方法，達到什么目的；也指在教學時要把相關的哲學（數學）思想通過具體的數學問題，以及這些問題的解決過程讓學生感悟到相應的思想方法，從而學會分析問題、發現解決問題的方法.

文化厚度是指在數學教學中要體現文化的特點.數學不像自然科學是真實存在的，數學是人們通過對客觀世界的研究，抽象其數量和圖形特征的共性，運用符號語言，在公理、定義的基礎上，通過推理得到相應的結論，突出強調思維、邏輯的重要作用，更具人文性，更具有發明、創造的特點.數學文化的作用在于既能加深學生對數學知識的理解，又能提高學生學習數學的興趣[1].

做到“兩個尊重”是教書，“兩個度”則是育人，筆者稱這樣的課堂教學為生態課堂.知識教學、能力培養是“明線”，育人是“暗線”.“兩個尊重”有育人的成分，但還不夠.高品位的課堂教學不僅要有扎實的知識教學、能力培養，還要有哲學思想的指導和數學文化的浸潤，讓學生不僅感受到數學的力量，更感受到思想的威力和美的魅力.

1 本課亮點

學習多項式除以多項式（多項式除法）是很有必要的，一方面是初中知識的自然延伸（在知識點最近發展區開展教學，是深度學習的體現），另一方面為高中學習高次多項式因式分解、解高次方程以及求分式最值打下堅實基礎.現在有些高中學生對分離常數求分式函數值域以及二元三項多項式分解因式感到困難，其實就是沒有牢固掌握多項式除法.由于這節課是拓展課，可以不上，同時這節內容也難講清楚，所以有些教師選擇回避，陳玲敢于上公開課難能可貴！

由數的除法類比多項式除法，是數學教學中常見的教學形式.類比是人類認識新事物的一種重要手段.這樣的教學行為無痕地體現了哲學思想在數學教學中的指導作用，盡管有些教師行動上自覺或不自覺地按照某些哲學原理教學，但自己還沒有意識到.教師只有提高自身意識，才能潛移默化影響學生.

利用多項式除法分解高次多項式、解高次方程，是多項式除法的主要應用.這節課的知識脈絡從小學到初中甚至到大學的余數定理，跨度很大，初一的孩子理解起來確實很困難，但掌握好多項式除以多項式對高中數學學習幫助很大.這其實是目前大力提倡的深度學習——在知識的最近發展區開展教學，也體現了大單元教學思想——由多項式除法到高次多項式因式分解，再到解高次方程，環環相扣，把余數定理的精髓融入其中，讓初一的孩子也能理解.教學活動自然流暢，渾然一體，體現學以致用.

由數的除法類比多項式除法落實了抽象素養，本課教學中所用的“長除法”對學生計算能力要求較高（學生在課堂上有些典型運算錯誤：長除法上一行是-8x2，下一行是x2，部分學生結果是-7x2），高次多項式分解因式對思維、運算能力要求較高，這些都在一定程度上培養了學生的邏輯推理和運算能力.

在七巧板上貼上代數式，或因式分解，或做代數式乘除法，把這些代數運算結果適當拼接在一起形成美麗的圖形，既有趣又復習了相關知識點，可謂匠心獨運.

2 改進建議

七巧板是一種很好的引入方式，但是這次功能沒有得到充分發揮，可以對一個小組的活動情況進行深入分析，由此引入課題，這樣既能把趣味性和知識性融為一體，又能展示數學文化的魅力.

例1后的練習學生在用長除法運算時，上一行減去下一行對應的式子，有些同學不知道是減，結果出現錯誤，建議對長除法運算式子添加減號，如圖1.

例2在解題前給出解題步驟，然后讓學生按照步驟解題有些不妥，因為學生可以在做的過程中總結出解題步驟.學生自己能夠做到的盡可能由學生去做，那怕走點彎路也可以，畢竟事非經過不知難.這是尊重學生認知規律的表現.教師可能是為了節省時間，只要學生按部就班會做就行，所以就先給出了解題步驟.

高次多項式分解因式時，讓學生以x±1，x±2作除式試除，沒有講清楚理由，只是說這樣做大概率是成功的.其實，反過來思考，如果一個多項式能被分解因式，那么各因式的常數項之積一定是原多項式的常數項，也就是說各因式的常數項是原多項式常數項的因數.這樣解釋深入淺出、通俗易懂.

小結不僅要總結一節課所學知識層面、思想方法層面，還要有育人層面.本節課中的類比既是重要的思想方法，又是育人的重要方法.人們通過類比發現新事物、解決新問題，在原來基礎上達到更高的境界.學生要把類比的思想自覺應用于后續學習中.

基于以上觀點，筆者認為陳玲上了一節成功、高品位的課.

以上僅為個人觀點，不一定正確，歡迎同行批評指正！

參考文獻：

[1]文衛星.構建生態課堂 落實核心素養[J].中學數學教學參考，2020（13）：55-56.