指向函數模型觀念的中考試題研究與啟發

摘要：初中階段函數教學要關注數學知識與實際的結合，經歷數量關系和變化規律的探究，從選擇模型、建立模型、求解模型、驗證模型和應用模型的過程中形成函數模型觀念．指向函數模型觀念的中考試題研究，是數學模型教學開展、學生模型觀念形成和新課程標準落地的著力點．

關鍵詞：函數建模；核心素養；中考試題；試題評價

1 問題背景

2022年4月教育部印發了《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標2022》），這是從知識立意到能力立意，再到素養立意的一個過程．同年教育部辦公廳發布了《關于做好2022年中考命題工作的通知》，要求到2024年實現全國中考省級統一命題，以解決一些地方存在的超標命題、試卷難度不合理、記憶性試題比例偏高等問題，切實發揮命題導向教學改革的推進作用，促進減負提質、鞏固“雙減”成果．從近年衢州市針對學業質量檢測中函數模型題的學生問卷看，學生對此題型存在著一定的畏懼感;從本類試題學生的得分來看，學生的建模能力偏弱，這暴露出教師在函數教學中存在的某些問題．如何指向核心素養命制中考數學試題，助力導向核心素養的教學是筆者一直思考和研究的問題．本文中以2022年浙江省衢州市中考數學第23題及其評分標準為研究對象，借助試題的研究，尋找核心素養下模型觀念的培養和考試評價的融合點，為新課程標準的落地、函數模型教學的開展和學生數學模型觀念的形成提供助力．

2 試題呈現

（2022年浙江·衢州卷第23題）如圖1為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道的橫截面示意圖．取水平線OE為x軸，鉛垂線OD為y軸，建立平面直角坐標系．運動員以速度v（單位：m/s）從點D滑出，運動軌跡近似拋物線y=－ax2+2x+20（a≠0）．某運動員7次試跳的軌跡如圖2．在著陸坡CE上設置點K（與DO相距32 m）作為標準點，著陸點在點K或超過點K視為成績達標．

4 試題研究

《課標2022》在核心素養的構成中指出，數學課程要培養學生的核心素養，培養學生用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界［1］，從“輸入”“處理”和“輸出”三個層面指明了落實核心素養的方向．初中階段核心素養主要表現為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識［2］．函數模型觀念是核心素養的重要組成部分，是在學生對現實問題中變量的依存關系的理解上進行分析，在函數表達變化關系的實際應用中形成的．2022年浙江衢州卷第23題選擇北京冬奧會“雪飛天”滑雪運動為背景，通過對運動軌跡與滑出速度v的大小的探究，猜想a關于v2的函數類型，求出函數表達式，并任選一組對應值進行驗證，最后確定v為多少時，運動員的成績恰能達標．在學生對數量關系的探究中，經歷選擇模型、建立模型、求解模型、驗證模型和應用模型的過程，讓主觀認識與客觀認識系統化，形成模型觀念．

4.1 以區域性和社會性熱點的真實素材為背景

《課標2022》指出，模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題要有清晰的認識，要知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑，感知數學建模的基本過程，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等［1］．這讓選擇以區域真實性的生活和社會素材為背景變成了函數模型觀念考查的必需．本題選用北京冬季奧運會“雪飛天”滑雪項目為背景，培養學生用數學眼光觀察世界和欣賞數學美的能力．綜觀浙江2022年各地中考試卷，有10個地區的試卷是以區域性和社會性熱點的真實素材為背景（如表1，其中嘉興與舟山合卷）的，通過實際生活中運用數學模型進行科學決策的方式，經歷用數學的眼光發現和提出問題，用數學的思維與語言分析和解決問題的過程，在主觀與客觀認識的系統化集合中形成模型觀念、數據觀念、應用意識和創新意識．

4.2 以結構化數學大單元的內容為載體命題

《課標2022》在學業質量描述中提到，數學課程學業質量主要從三方面評估學生核心素養的達成及發展情況，其中一個重要的方面就是以結構化數學的知識主題為載體，在形成與發展“四基”的過程中提升抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀和空間觀念［1］．核心素養的達成和發展依托大單元大概念教學活動的開展，大概念是指能將學科關鍵思想和核心內容聯系的關鍵、特殊的概念［2］．本題第（1）問考查學生利用待定系數法求一次函數關系式的能力，第（2）問考查函數與方程的關系，第（3）問的兩小題考查反比例函數的實際應用.這4個小問融入了初中階段一次函數、二次函數和反比例函數的知識內容，涵蓋了初中階段課標對函數教學的重要部分，整個問題串的設置迎合函數大概念引領下的整體教學特征，順應教材對函數教學編排的順序，符合函數教學的一般過程，體現了《課標2022》對函數教學的知識、能力和素養要求．

4.3 以函數模型觀念形成的考查為核心命題

《課標2022》在函數教學要求中提到，讓學生借助平面直角坐標系中的描點法，分析現實問題中變量的依存關系，選擇對應的函數模型，理解函數圖象與表達式的對應關系，理解函數與對應的方程、不等式的關系，增強幾何直觀，從而讓學生學會用函數表達現實世界事物的簡單規律，在經歷用數學的語言表達現實世界的過程中，提升學習數學的興趣，進一步發展應用意識［1］．本題設置的4小問雖分別考查了一次函數、二次函數和反比例函數的相關內容，但從函數教學的全局來看，它考查了函數整個板塊的核心內容，初中階段這三類函數都離不開待定系數法、函數與方程的關系和函數的應用，但更重要的是函數模型觀念的形成．第（3）問中的①小問在研究運動軌跡與滑出速度v的大小關系時，利用平面直角坐標系將測算的7組a與v2的

對應數據進行描點，由圖象特征猜想a關于v2的函數類型，再求出函數表達式，并任選一組對應值驗證，這是“選模”“建模”和“驗模”的過程；在解決第②問“v為多少時，運動員的成績恰能達標”的問題中，實現了對“用模”的考查，兩小問做到了以函數模型觀念形成的過程性考查［3］．

4.4 以學業質量關鍵能力的達成為評價命題

評分標準是一份試卷或是一道試題的重要組成部分，制定評分標準是中考命題的重要環節，直接影響考生的成績和考試的效度［4］．以學業質量關鍵能力的達成為評價的評分標準，在促進學生發展和教學改革方面具有重要的意義．浙江省各地市中考數學卷是由選擇題、填空題和解答題三部分構成，各地區中考數學中對函數模型觀念的考查一般都放在解答題部分，常以3小問左右具有一定相關性的梯度問題呈現．本題4小問共10分，以2∶3∶3∶2的結構賦分：第（1）問考查學生用數學的眼光發現一次函數及其坐標，利用待定系數法求線段CE的函數表達式，待定系數法是函數問題解決中的重要環節，是建模和用模的必備能力，評分標準給出0．2的權重；第（2）問是對函數與對應方程關系的考查，函數與對應的方程、不等式的關系是初中階段函數教學的重要組成部分，考查學生用數學的思維思考和解決問題的能力，評分標準給出0．3的權重．第（3）問是對函數模型從“選模”“建模”“驗模”和“用模”的過程進行考查，2小問總共給出0．5的權重的評分標準．可見本題在努力實現以學業質量關鍵達成為評價的同時，體現了“教學評”的一致性．

5 啟發

伴隨著2022年教育部新課標的發布和2024年全國中考省級統一命題的接近，依據素養立意的命題研究勢在必行，它導向著素養立意課堂教學的開展，推動著義務教育教學的改革，鞏固著國家“雙減”的成果．指向函數模型觀念的中考試題命制要以區域性和社會性熱點的真實素材為背景，在問題解決的主觀和客觀融合中形成模型觀念；要以結構化教學大單元內容為載體，在知識的理解和運用中體現模型觀念；要以模型觀念形成的過程性考查為核心，在探究與應用中形成模型觀念；要以學業質量關鍵能力的達成為評價標準，促成“教學評”一致性；要融合函數教學的特征，以核心素養為導向開展函數教學［5］．結合《課標2022》的要求，建議初中階段函數教學要整體把握函數的內容與要求，不斷加深學生對函數思想的理解；要以真實性情境為問題研究的背景，培養學生從“變化”“聯系”和“數形”三維度來認識函數；要重視函數模型的現實作用，培養學生“選模”“建模”和“驗模”的主觀和客觀統一，形成學生建模意識；要融合方程、不等式的內容，揭示函數與方程、不等式之間的聯系，在融會貫通中培養學生解決問題的能力；教學中還要牢牢抓住數學學科本質，突出教學重點，淡化細枝末節的內容和單純技能技巧的訓練，致力于培養學生的函數模型觀念和創造性能力［6］．

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[S]．北京：北京師范大學出版社，2022．

[2]苗靜．“函數”單元的整體思考和教學指導[J]．中國數學教育，2022（Z2）：34-38．

[3]章民．基于數學核心素養的課堂教學實踐與反思——以課題“一次函數的概念”課堂教學為例[J]．中學數學，2017（6）：8-10．

[4]喻平．數學核心素養評價的一個框架[J]．數學教育學報，2017（2）：19-23，59．

[5]葉德偉，何羽茜．指向數學建模素養的高考數學試題研究——以2022年全國卷、新高考卷為例[J]．中學數學月刊，2022（8）：46-50．

[6]呂世虎，王尚志．高中數學新課程中函數設計思路及其教學[J]．課程·教材·教法，2008（2）：49-52，86．