堅持素養導向落實數學育人
——2022年云南省初中數學學業水平考試分析與備考建議

云南財經大學附屬中學 王學先 魏炎炎

2022年云南省初中數學學業水平考試全面貫徹黨的教育方針，以數學學科素養為導向，在立德樹人的基礎上，嚴格按照《義務教育數學課程標準》（2022年版）科學命題，充分檢測初中生對數學知識與能力的掌握情況，同時也是高中選拔的依據.試題穩中創新，直擊數學核心素養，有利于初中生數學能力的提高，為學生的“學”指明有意義的方向，為教師的“教”指明有價值的導向，穩步提升試題質量.試卷落實“雙減”政策的要求，既讓學生輕松快樂地學習，又能考出滿意的答卷.

一、試卷基本情況與考試數據分析

試卷滿分120分，包括選擇題、填空題、解答題三個大題，共24個小題，考試時間為120分鐘.其中選擇題有12個小題，分值為48分；填空題有6個小題，分值為24分；解答題有6個小題，分值為48分。解答題包括統計題、概率題、四邊形綜合問題、一次函數綜合應用問題、與圓有關的證明與計算、二次函數的綜合探究.整卷容易試題的分值約為80分，中等難度試題的分值約為28分，相對較難的試題的分值約為12分，易中難之比約為7∶2∶1.2022年云南省初中數學學業水平考試試題內容比例如表1.

表1 試題內容比例

參加2022年云南省初中數學學業水平考試人數為581938人，平均分73.51分，及格率58.77%，滿分人數330人，零分人數4945人，實際綜合難度為0.6，總體難度較往年有所下降.2022年云南省初中數學學業水平考試各題的平均分和難度如表2所示.

表2 各題的平均分和難度

分析表2可知，得分情況與題目的排布無明顯相關性；選擇題各題平均得分為3.16分，填空題各題平均得分為2.55分，選擇題和填空題每小題滿分均為4分，填空題各題平均得分低于選擇題各題平均得分；容易題依然存在實際結果不符合預期預測的情況，如第4、9、12、13、15和16題.

二、試題特色分析

1.落實核心素養，體現本質考查

2022年云南省初中數學學業水平考試試題在貫徹立德樹人的任務上進行了有益探索和嘗試，把社會主義先進文化、革命文化、中華優秀傳統文化、生命安全與健康等重大主題教育融入試題.試題立足新課標，在內容上覆蓋面大于65%，部分試題直接由教材中的例題、練習題、習題改編而成，如第1、2、4、7、8、10、13、14、15、16、17、19、21、22題.試題有利于提高學生的數學核心素養，引導學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，突出考查數學學科主干知識，對基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗進行考查，試卷的命制突出了學業水平考試對日常教學的導向性作用.

2.依托情境設計清晰思路，基于問題考查學習能力

2022年云南省初中數學學業水平考試試題在問題情境創設方面進行了大膽的嘗試，試題情境設計多樣化，有現實情境、教學情境、科學情境、文化情境，如第1、2、6、12、17、19、20、22題，力圖接近學生生活實際，注重對模型觀念、應用意識的考查，從現實生活中或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數量關系和變化規律.命題者匠心獨運，依托問題情境精心設計問題，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而讓學生理解數學知識的同時，在思維能力、核心素養、情感態度與價值觀念等多方面得到進步和發展.

3.試題難度比控制得當，最美學考題探索奏效

2022年云南省初中數學學業水平考試試題難度上控制得當，形式創新，加強素養考查，發揮選拔功能，堅持素養導向，突出關鍵能力，注重數學本質，倡導學以致用.試題在難度與順序上有一些調整，不僅要求學生對基礎知識與關鍵能力有較好的把控，而且需要學生具有對數學學科本質的深刻理解及較高的數學素養，具有較強篩選性，有利于高中選拔人才，符合新課程標準所倡導的基本理念.

試卷第23題中的第（2）小題，第24題中的第（3）小題，是反映區分度要求，全面體現初中學業水平考試選拔功能的問題.兩道試題設置的每一個問題的解法都是豐富多樣的，突出考查了學生分析問題、解決問題的能力，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識.試題關注后進生、中等生和尖子生，著重考查了學生的觀察能力、分析能力、計算能力、轉化能力、推理能力等.在這些能力交織碰撞的同時，試題更重要的作用是讓“幾何直觀”“空間觀念”“模型觀念”“數學運算”“推理能力”“應用意識”“創新意識”等核心素養落實落地，凸顯了初中數學教學的本質，對初中數學教學和復習備考都有很強的指導意義.學生得到考試成績后，普遍有成就感，同時也略有遺憾.最重要的是考試讓大部分學生有了學好數學的愿望，激發了他們學習數學的興趣，達到了“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展，逐步形成適應終身發展的核心素養”的目的.從這個意義上講，2022年云南省初中數學學業水平考試試題是不折不扣的優秀初中數學學業水平考試試題，是學生心中最美的學業水平考試試題.

4.注重試題創新，凸顯育人功能

試題注重創新，特別是注重試題的情境創設，體現民族本土文化.試題的情境設置貼近學生現實生活，讓學生有熟悉感，讓他們在真實情景中解決數學問題，注重對應用意識和創新意識的考查.試題背景還滲透了中國傳統文化、民族文化，根植學生的家國情懷，增強民族自豪感，凸顯數學學科育人功能.如第20題是一道關于概率簡單應用的基礎題，來源于人教版數學教材九年級上冊第138頁的例3.該題是運用所學概率知識判斷現實生活中是否公平的問題，以學生都可能參加的學校藝術節及云南民族樂器、云南民族歌曲為背景設置，在考查學生隨機意識的同時，更顯現學生對民族文化的了解程度，增強文化自信，強化試題的育人功能.

三、試卷中的典型問題

1.情境創設舉例

例1（2022年·6）為慶祝中國共產主義青年團建團100周年，某校團委組織以“揚愛國精神，展青春風采”為主題的合唱活動，表3是九年級一班的得分情況：

表3

數據9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位數是（ ）

A.9.6 B.9.7 C.9.8 D.9.9

【考查目標】本題主要考查中位數概念.

【解題分析】根據中位數的概念分析即可.將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則最中間兩個數的平均數就是這組數據的中位數.

【答題分析】這道題大部分學生都能夠拿到滿分，但是個別學生沒有把數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，就直接選擇中間的一位數，導致錯選.

2.典型問題設計舉例

例2（2022年·23）如圖1，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O，P是⊙O的劣弧BC上的任意一點.連接PA、PC、PD，延長BC至E，使BD2=BC·BE.

圖1

（1）請判斷直線DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

【考查目標】圓的有關概念及性質；與圓有關的位置關系；正方形的有關性質，圖形的相似.

【解題分析】（1）可證明△BCD∽△BDE，得出∠BDE=∠BCD=90°，從而得出結論.（2）這一問的解法非常多，第一類可概括為“旋轉變換大挪移，圖形構造方法奇”，即將△DCP繞著點D順時針方向旋轉90°得△DAQ，或將△DAP繞著點D逆時針方向旋轉90°得△DCQ，進而構造等腰直角三角形，進一步得出結論.第二類概括為“旋轉變換等面積，古代思想顯神奇”，即在第一類兩種旋轉方法的基礎上，再利用△DQP的面積等于四邊形ADCP的面積，計算后得出結論.第三類概括為“對著特殊角作高，轉化三角形巧構造”，即過點A作AM⊥DP于點M，CN⊥DP于點N，得到△AMP和△CNP是等腰直角三角形，或過點D作DM⊥AP于點M，DN⊥PC交PC的延長線于點N，得到△DMP和△DNP是等腰直角三角形，或過點D作DM⊥PC，交PC的延長線于點M，過點A作AN⊥MD交MD的延長線于點N，得到△DMP是等腰直角三角形，或過點D作DM⊥AP于M，過點C作CN⊥MD交于N，得到△DMP是等腰直角三角形，進一步利用圖中全等轉化得出結論.第四類概括為“補短化長親情聚，構造相似水成渠”，即延長AP至點M，使PM=PC，再利用△CAM∽△CDP轉化得出結論，或延長CP至點M，使PM=PA，再利用△AMC∽△APD轉化得出結論.第五類概括為“結構變化想思路，圖形相似找通途”，即根據式子的結構，若考慮分子為目標進行轉化，即過點C作CM⊥PD于點M，得到△CMP是等腰直角三角形，再利用△CMD∽△CPA轉化出式子的分子，進而得出結論，或過點A作AM⊥PD于點M，得到△AMP是等腰直角三角形，再利用△AMD∽△APC轉化出式子的分子，進而得出結論.此外，若考慮將式子轉化，設AC與DP相交于點M，△PAM∽△PDC得出，由于DA=DC，再利用等式性質和等腰三角形性質，可得出結論.第六類概括為“高位統領割補法，建模計算有高招”，即過D作DM⊥AP于M，DN⊥PC交PC的延長線于N，從而將四邊形APCD的面積轉化成正方形PMDN的面積，計算化簡后可得出結論.第七類概括為“建立直角坐標系，坐標運算莫小覷”，即以正方形ABCD的對稱中心為原點建立平面直角坐標，或以點P為原點建立平面直角坐標，通過坐標法運算容易得到結論.

【答題分析】

（1）本題為判斷說理題，一定要先讓學生注意答題格式，先下結論再證明.

（2）學生在證明相似時未能正確地書寫相似所需要的條件，如不表示公共角或角的表示不規范，對應邊未寫成比例式的形式等.

（3）學生在做第（1）問的時候，會誤用第（2）問的條件“四邊形ABCD是正方形”，從而錯誤推導∠BDE是直角，或者直接認為AC是⊙O的直徑，從而錯誤推導∠ADC是直角.

（4）學生在證明DE是⊙O的切線時，證明所需的兩個條件書寫不規范，要么缺少垂直的條件，要么缺少半徑的條件.

（5）相似三角形在近幾年初中數學學業水平考試中設計“兩邊對應成比例夾角相等的判定”考查較少，學生在答題時存在熟練度不足等情況，在日常教學中應加強相似三角形判定的證明格式書寫訓練.

（6）圓與直線的位置關系是相交、相切、相離，學生在表達相關結論時存在表述不清、答非所問的情況.因此教學中，教師應多注重幾何關鍵術語的正確表述.

（7）在幾何綜合題的突破上，教師應注重知識的延伸，問題解決應搭建腳手架，引導學生解決問題時從特殊到一般，從偶然到必然，從猜想到論證，最終達到以題會類、觸類旁通的效果.

四、備考建議

今后的試題必將體現“把握基礎、穩中求變、變中有新、關注應用、突出能力”的命題特點.按今年統計的結果，整卷難度還未達到0.7，因此今后命題難度上還有略下降的趨勢.基于以上特點，筆者提出如下備考策略:

1.加強教學研究，強化素養導向

教師應遵循學生為主體的教學原則，注意復習課型的合理選擇，堅持精講多練，努力使“重復”變為生動積極的“再現”，寓能力培養于整個復習過程之中，切忌“壟斷”復習課堂.在教學中，教師應加強教學研究，引導學生自主構建良好的數學知識結構，引導學生經歷數學認知的過程，進而讓學生獲得受益終生的數學思維，幫助學生理解數學概念與數學結構.教師應把握數學核心素養，在教材中挖掘核心素養內容，強化典型問題和典型方法的教學，同時也要讓學生自己發現問題，通過合作交流，創造性地去解決問題.

2.精心安排復習計劃，走好備考三個階段

第一個階段是基礎知識復習階段.教師應回歸教材，充分利用教材，建立知識網絡，注重知識的結果，夯實基礎，合理地將數學知識和學生實際生活相銜接，抓住一個“基”字，追求一個“效”字，更加重視知識的發生過程，使學生累積數學活動經驗，牢固掌握知識并形成相應的解題能力，落實“四基”“四能”的目標要求.

第二個階段是專題復習階段.復習中教師要抓住重點、關注熱點、突破難點，強化一個“精”字，兼顧一個“層”字，讓學生通過自身的觀察去思考，喚起主體意識，調動學生積極主動思考數學問題，激活思維，從而有效地體現數學本質，實現綜合提高.

第三個階段是心理與智力的綜合訓練階段，也是初中數學學業水平考試復習的沖刺階段.教師應立足一個“透”字，注重一個“導”字，注重答題策略指導、答題規范性指導和應試心理指導，一定要選擇全原創模擬試題，提高模擬訓練實效，幫助學生樹立信心，切實提高成績.

3.強化復習備考，積極應對變化

掌握指導看要求,鉆研教材找標準,研究考題看形式,推敲評價找方向.2023年云南省初中數學學業水平考試的分值結構發生變化.考試時間120分鐘，滿分100分.第一部分為選擇題，12個小題，每小題3分，共36分；第二部分為填空題，4個小題，每小題2分，共8分；第三部分為解答題，8個小題，第17、18題每小題6分，第19、20、21、22題每小題7分，第23、24題每小題8分，共56分.面對變化，教師要積極調整教學策略，強化“雙基”的落實，通過“講知識，講思想，講方法”來達到“求效率，求質量，求提高”的目標，注重知識的“生長點”與“延伸點”，體現數學學科的育人價值，全面落實“雙減”政策，切實減輕學生過重的課業負擔.