基于矩的傳遞函數模型的“不兼容”非高斯風壓過程模擬研究

吳鳳波， 姜 言， 彭留留， 吳 波， 羅 穎

(1. 重慶交通大學 省部共建山區橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶 400074；2. 西南大學 工程技術學院，重慶 400700； 3. 重慶大學 土木工程學院，重慶 400044；4. 長沙理工大學 土木工程學院，長沙 410015)

風壓通常被用于建筑結構抗風設計，特別是建筑圍護結構的抗風設計。研究表明，建筑迎風區域的風壓可以用高斯分布進行描述，而分離區處的風壓常常具有顯著的非高斯特性[1-3]。結構風致響應非線性分析通常需要較長風壓時程，因此準確模擬非高斯風壓對于建筑結構的抗風設計十分重要。

由于簡便性，傳遞過程法被廣泛用于非高斯風壓的模擬[4-7]。傳遞過程法的思想是將非高斯過程表示為高斯過程的函數，該函數通常被稱為傳遞函數。Winterstein[8]研究表明，非高斯過程可顯式地表示為對應高斯過程的Hermite多項式，因而Hermite多項式模型(Hermite polynomial model,HPM)被廣泛用于非高斯風壓的模擬[9]和極值估計[10]。由于傳遞函數具有單調性的要求，HPM具有一定范圍的可行區。這就意味著，對于不在HPM可行區內的非高斯風壓，HPM不再適用。最近，Johnson轉換模(Johnson transformation model,JTM)[11]由于具有比HPM更大的可行區而被用作傳遞函數。Wu等[12]圍繞HPM和JTM在非高斯風壓模擬方面進行了系統的對比研究，研究表明HPM和JTM對弱非高斯風壓的模擬效果較好，而對強非高斯風壓的模擬效果不佳。HPM和JTM的模型參數通常可基于非高斯過程前4階統計矩(均值、標準差、偏度、峰度)進行估計，因而又被稱為基于矩的傳遞函數模型。

首先，本文介紹了HPM和JTM兩個模型；其次，給出了兩個模型模擬“不兼容”非高斯風壓的方法；隨后從理論上對比了兩個模型模擬非高斯風壓時出現不兼容情況的異同；最后，基于數值案例對兩種模型模擬“不兼容”非高斯風壓的效果進行了系統的對比和評估。

1 基于矩的傳遞函數模型

1.1 HPM模型

當標準非高斯過程Y(t)的峰度大于3時，Y(t)可表示為相應標準高斯過程Z(t)的Hermite多項式函數

(1)

式中，κ，h3和h4為模型系數，可根據Y(t)的偏度和峰度進行估計，估計公式見文獻[13]。

當Y(t)的峰度小于3時，它可表示為[14]

(2)

式中，a′=b3/(3b4)；c′=(b′-a′2)3；b′=(b2-b3α3-b4α4)/(3b4)，b2,b3,b4為模型系數，可根據Y(t)的偏度和峰度進行估計，其估計公式見Ding等的研究，其中α3和α4分別為偏度和峰度。

由于傳遞函數需要滿足單調性的要求，因此HPM具有一定的可行區，如圖1所示。對于軟化過程，HPM可行區可表示為

3+(1.25α3)2≤α4

(3)

對于硬化過程，HPM可行區可表示為

1.25+(1.35α3)2≤α4

(4)

1.2 JTM模型

Johnson基于中心極限定理提出一種能夠將標準高斯過程Z(t)轉換為標準非高斯過程Y(t)的四參數轉換模型，該模型被稱為Johnson轉化模型(JTM)。一般地，JTM可表示為

(1) 無界轉換模型，SU

y=g(z)=ε+λsinh[(z-γ)/η]

(5)

(2) 有界轉換模型，SB

y=g(z)=ε+λ{1+exp[(γ-z)/η]}-1

(6)

(3) 對數正態轉換模型，SL

y=g(z)=ε+λexp[(z-γ)/η]

(7)

式中：ε和γ為控制Johnson曲線位置的參數；λ和η為控制JTM曲線尺度的參數，其值總是大于零。這4個參數可基于標準非高斯過程Y(t)的偏度和峰度經迭代計算獲得，具體詳情可見Wu等的研究。

SL轉換的可行區是偏度-峰度圖中的一條曲線，該曲線的閉合表達式為

(8)

α4=w4+2w3+3w2-3

(9)

式中，w=exp(η-2)。

圖1 HPM和JTM模型的適用范圍Fig.1 Application range of HPM and JTM models

2 “不兼容”非高斯風壓過程的模擬

2.1 基于譜的高斯風壓模擬方法

本文主要運用譜表示法進行高斯隨機過程的模擬。譜表示法是一種利用譜分解和三角函數技術疊加來模擬隨機過程樣本的方法。以一維單變量零均值平穩高斯隨機過程為例，該方法可表示為[15]

(10)

Al=[2SZ(ωl)Δω]1/2,l=0,1,…,N-1

(11)

ωl=lΔω,l=0,1,2,…,N-1

(12)

Δω=ωu/N

(13)

2.2 相關函數偏離關系

在模擬得到高斯過程樣本后，將這些樣本通過傳遞函數HPM或JTM即可得到相應的非高斯過程樣本。但模擬前我們往往只知道非高斯過程的功率譜或相關函數，且高斯過程相關函數與非高斯過程相關函數存在偏差。因此，我們需要先基于非高斯過程Y(t)的功率譜或相關函數得到相應高斯過程的功率譜或相關函數。

Grigoriu給出了標準非高斯過程Y(t)的自相關函數ρNG(τ)為

(14)

式中，z1=z(t)，z2=z(t+τ)，φ[z1,z2;ρG(τ)]為二元標準高斯向量的聯合概率密度函數，其表達式為

(15)

式(14)通常被稱為相關函數偏離關系，已知ρNG(τ)，通常情況下可通過迭代法(如牛頓迭代法)求解相關函數偏離關系來獲得ρG(τ)。然而，當由JTM或HPM表示的概率分布與指定的標準非高斯過程功率譜SY(ω)“不兼容”時，式(14)的解不存在。下面就“不兼容”情況展開詳細說明。

2.3 “不兼容”非高斯過程的模擬方法

對于上述兩種不兼容情況，國內外學者基于傳遞過程理論，提出了幾種獲得與非高斯過程概率分布兼容的功率譜的迭代方法。在這些方法中，Shields等[16]針對單變量模擬提出的迭代方法不僅精度高，而且計算效率高。因此，本文也采用該方法來評估HPM和JTM模擬“不兼容”非高斯風壓的性能。該迭代方法可表示為

(16)

(17)

當迭代所產生的誤差變化很小時，迭代結束。

2.4 “不兼容”非高斯過程的模擬流程

假定非高斯過程X(t)的前4階矩分別為μX，σX，α3X和α4X，X(t)的相關函數記為RX(τ)。基于HPM或JTM模擬非高斯過程X(t)的步驟如下。

步驟1標準化X(t)以獲得標準非高斯過程Y(t)，則μY=0；σX=1;α3Y=α3X;α4Y=α4X；ρNG(τ)=RY(τ)=

步驟2基于標準非高斯過程Y(t)的前4階矩估計HPM和JTM模型參數，得到HPM和JTM傳遞函數。

步驟3采用傅里葉變換將ρNG(τ)轉化為功率譜，即獲得目標功率譜SNG,Tg(ω)。

步驟4按照2.3節確定由HPM或JTM表示的非高斯過程概率分布與目標非高斯過程功率譜是否存在不兼容。當出現不兼容，按照以下步驟繼續模擬。

3 HPM和JTM的理論對比

圖2 HPM和JTM確定的非高斯過程相關函數最小值(軟化過程)Fig.2 The minimum values of the non-Gaussian correlation functions by HPM and JTM (softening process)

圖3 HPM和JTM確定的非高斯過程相關函數最小值(硬化過程)Fig.3 The minimum values of the non-Gaussian correlation functions by HPM and JTM (hardening process)

圖4 HPM與JTM確定的非高斯過程相關函數最小值間的相對差距Fig.4 The relative gap between the minimum value of the non-Gaussian correlation functions by HPM and JTM

其次，我們對比HPM和JTM出現第二類不兼容的情況。同第一類不兼容情況一樣，為了獲得較為全面的結論，我們針對軟化和硬化過程開展對比研究。同時，圖2和圖3表明基于式(14)獲得的相關函數對峰度不太敏感，而對偏度較為敏感，因此這里重點探討指定峰度下相關函數隨偏度變化而如何變化的問題。

參考Grigoriu，本文取標準非高斯過程相關函數如下

(18)

對于標準軟化過程，給定非高斯過程相關函數，基于HPM或JTM采用式(14)經迭代計算獲得指定峰度為22偏度分別為-0.5和-3.0的高斯過程相關函數ρG(τ)；對于標準硬化過程，按照類似方法獲得指定峰度為2.5偏度分別為-0.3和-0.7的高斯相關函數ρG(τ)。獲得ρG(τ)后，采用傅里葉變換即可獲得高斯過程功率譜SG(ω)，如圖5所示。從圖5可知，偏度(絕對值)越大，基于HPM和JTM獲得的高斯過程功率譜最小值越小，即更易出現第二類不兼容情況。此外，基于HPM獲得的高斯過程功率譜最小值小于基于JTM獲得的相應值，即HPM比JTM更易出現第二類不兼容情況。

圖5 HPM和JTM確定的高斯過程功率譜Fig.5 PSDs of the Gaussian process by HPM and JTM

4 數值案例

(19)

式中：φ和Φ分別為標準高斯分布的概率密度函數和累計分布函數；ξ，δ和α分別為SG分布的位置、尺度和偏度參數。

SHS概率密度函數可表示為

p(x)=

(20)

式中,ξ，δ和α分別為SHS分布的位置、尺度和偏度參數。

本文將對3個偏度逐漸增大的非高斯過程進行數值模擬，重點探討不同偏度對兼容性的影響，概率分布的參數信息，如表1所示。表1還列出了各分布的前4階矩，以便用于確定HPM和JTM模型參數。

參考Grigoriu的研究，本文取標準非高斯過程的相關函數如下

(21)

式中，ω0>0， 0<χ<1。通過逆傅里葉變換可將ρNG轉化為目標功率譜SNG,Tg。

本文考慮兩種相關函數，分別為窄帶過程(χ=0.02;ω0=1.0)和寬帶過程(χ=0.3;ω0=1.0)，見表1。將窄帶過程和寬帶過程對應的χ和ω0代入式(21)，可計算出目標相關函數ρNG(τ)的最小值分別為-0.94和-0.39。

表1 數值模擬案例參數取值Tab.1 Theparameter values of the numerical simulation cases

圖7對比了基于HPM和JTM迭代后獲得兼容的非高斯過程功率譜SNG和目標功率譜SNG,Tg，其中誤差ε定義見式(17)。從圖7可知，基于JTM迭代產生的誤差ε整體比基于HPM迭代產生的誤差ε小一些。特別對于圖7(d)中的強寬帶非高斯過程，基于JTM獲得的非高斯功率譜比基于HPM獲得的功率譜更接近目標功率譜。

圖6 基于傳遞函數模型迭代估計的高斯和非高斯過程的功率譜Fig.6 PSDs of the Gaussian and non-Gaussian processes by translation function models

基于迭代獲得的最終高斯功率譜SG進行數值模擬。模擬中，取N=2 048，模擬樣本為100。對比了模擬的非高斯概率密度(所有樣本的均值)和目標概率密度，如圖8所示。由圖8可知，基于JTM和HPM模擬的概率密度整體上與目標值吻合較好，其中圖8(c)～圖8(d)表明基于JTM獲得的非高斯概率密度比基于HPM獲得的概率密度更接近目標值。

圖7 基于轉換函數模型迭代估計的非高斯過程的功率譜Fig.7 PSDs of the non-Gaussian process by translation function models

圖8 基于轉換函數模型模擬的非高斯過程概率密度函數Fig.8 PDFs of the non-Gaussian process by translation function models

5 結 論

本文首先對HPM和JTM兩種傳遞函數模型進行了介紹；其次，介紹了“不兼容”非高斯風壓過程的模擬方法；然后，基于理論分析，針對軟化過程和硬化過程系統對比了HPM和JTM兩種模型出現第一類和第二類不兼容的情況；最后基于具體數值案例對HPM和JTM模擬“不兼容”非高斯過程做了系統評估。整個研究得出以下結論：

(1) 理論分析表明，基于HPM和JTM獲得的非高斯相關函數最小值對峰度值不太敏感，而對偏度較為敏感。隨著偏度值(絕對值)增加，基于HPM和JTM獲得的非高斯相關函數和高斯功率譜最小值增加，即HPM和JTM更易出現第一類不兼容；同時，基于HPM和JTM獲得的高斯過程功率譜最小值越小，即HPM和JTM更易出現第二類不兼容。

(2) 理論分析表明，對于軟化過程，在偏度-峰度坐標系中的左上方或右上方局部區域里，JTM通常比HPM更易出現第一類不兼容情況；在靠近偏度-峰度坐標系中可行區邊緣區域，HPM通常比JTM更易出現第一類不兼容情況。對于峰度大于2.2的強偏斜硬化過程，JTM通常比HPM更易出現第一類不兼容情況；而對于峰度小于2.2的強偏斜硬化過程，HPM通常比JTM更易出現第一類不兼容情況。

(3) 數值案例表明，相比HPM，基于JTM迭代獲得的非高斯功率譜更接近目標值，即JTM模擬“不兼容”非高斯風壓過程的總體效果比HPM稍好。

致謝

感謝國家自然科學基金(51908074)、重慶市自然科學基金面上項目(cstc2021jcyj-msxmX1141；CSTB2022NSCQ-MSX1349)和重慶市教育委員會科學技術研究項目(KJQN202200729)對本文的資助。