從數系的擴充談起

卞書彥

我們在七年級已經系統地學習過有理數，知道了數的擴充源于兩方面的需求：一是為了解決實際生產、生活中的某些問題；二是為了數學內部的運算可以進行（即運算的封閉性）。我們也知道了每次數系擴充遵循的基本原則：第一，增加新元素；第二，原有的運算性質仍然成立；第三，新數系能解決舊數系中的矛盾。

本章一開始以運用勾股定理計算直角三角形邊長為情境，讓我們感受到“數的開方”的必要性，順理成章地讓我們學習平方根的概念。我們在七年級就知道非完全平方數（如數2）的平方根（算術平方根）是客觀存在的，能用逼近法知道它是無限不循環小數，并能用數軸上的點將它表示出來。為了進一步研究這樣的數，我們有必要用符號來表示。法國數學家笛卡爾使用符號“[]”很好地解決了這類數的表示問題。

有了平方根概念和表示符號后，我們就可以研究其性質與應用了。根據平方與開平方互逆的關系可以得到：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。我們可以類比學習三次方根的概念以及符號“[3]”所表示的意義，根據立方與開立方互逆的關系得到：正數的立方根是正數；負數的立方根是負數；0的立方根是0。同理，根據平方根與立方根的學習經驗，我們也可類比得到“n次方根”的符號“[n]”及其有關的性質了。

我們認識到，開方開不盡的數是無限不循環小數。無限不循環小數除了開方開不盡的數外，還有像化簡后含“π”的數與0.1010010001…（1后面的0依次多一個）這一類數，以后我們還會學習到其他形式的無限不循環小數。為此，我們將無限不循環小數定義為無理數，并將有理數和無理數統稱為實數。由此，我們就實現了從有理數集到實數集的擴充。

下面，我們通過圖1一起回顧一下人類對數的認識吧。

數系擴充到實數后，對有理數的絕對值、相反數、倒數的意義，有理數比較大小的方法，有理數的運算性質、運算律，仍然都適用。在實數范圍內，不僅可以進行加、減、乘、除、乘方運算，還可以進行開立方運算以及非負實數的開平方運算。

由于無理數是無限不循環小數，有時根據實際需要，我們要用它的近似值來代替。因此，我們還要了解近似數的概念，體會近似數的意義以及近似數在生產、生活中的作用，并能根據要求對結果取近似值。于是，我們得到本章的知識框圖（如圖2）。

實數這一章的知識是我們學習二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎，為今后數系的擴充提供了范式，相信同學們一定能夠學好本章的有關內容。

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡初級中學）