GeoGebra軟件在數學教學中應用探索
——以《祖暅原理及其應用》的設計為例

居加穎，姜 寧

(1. 南京市寧海中學，江蘇南京，210003 2. 南京市金陵中學河西分校，江蘇南京，210003)

全球教育發展和課程改革趨向于信息技術與學科教學的深度交融，GeoGebra軟件作為一種全新的動態數學軟件，它擴展了幾何教學的內涵，豐富了幾何教學的價值.GeoGebra軟件的應用充分發揮了計算機的動態變化特征，幫助學生在“變化”中發現“不變的”的幾何本質，并提高他們的思維品質.

基于此，本文設計了“祖暅原理”的GeoGebra軟件應用案例，探索GeoGebra軟件在數學教學上的優勢.

1 教學設計

在立體幾何章節問題中，很多內容與學生已有的空間想象能力有關，有的甚至要有一定的運動變化，這無疑給學生畫圖并解決立體幾何問題增加了很大的難度.GeoGebra軟件的應用為解決這一難題提供了強大的工具.基于這樣的思考，本節課設計如下：

1.1 階段Ⅰ：學前咨詢

學生在學習祖暅原理之前，筆者通過調查問卷及當面交流的方式，了解學生對有關立體幾何圖形結構、性質、知識網絡建構等認知水平，為進行下一階段的教學做好準備.為此，筆者設計了一個立體幾何學習狀況的調查問卷(見下表)：

題號題 目1你的性別是?A. 男 B. 女2你覺得立體幾何有趣嗎?A. 十分有趣 B. 有一點趣味 C. 沒多大意思3你覺得平面幾何難嗎?A. 非常容易 B. 容易 C. 適中 D. 困難4你覺得立體幾何難嗎?A. 非常容易 B. 容易 C. 適中 D. 困難5你覺得立體幾何難在哪些方面?A. 空間想象力欠缺B. 定理多,無從下手C. 初中平面幾何基礎不好,所以對幾何題目害怕D. 其它方面6你認為學習立體幾何的關鍵能力是什么?A. 空間想象能力 B. 觀察作圖能力C. 邏輯推理能力 D. 計算能力7你覺得哪種學習方式學習立體幾何效果最好?A. 聽老師講授與和自身練習結合B. 用立體幾何模具做演示C. 用動態作圖軟件做演示D. 師生學習互動,讓學生交流參與8在學習過程中,你會自主梳理立體幾何相關章節(如《點線面之間的位置關系》)的知識要點嗎?A. 會,并且做得很好 B. 會,但做得不夠好C. 不會,沒有建構清晰的知識網絡D. 不會,沒有必要9你認為你的空間想象能力如何?A. 可以在腦海中構建一個復雜的立體模型B. 建立模型時,有時清楚有時迷糊C. 簡單三維幾何體很輕松D. 聯想空間立體模型很艱難10你知道下面哪些制作立體圖形的軟件?A. 幾何畫板 B. GeoGebra C. Flash D. PPT

【設計意圖】充分了解學生在學完立體幾何章節內容后的學習現狀，以便教師根據學生的最近發展區設計問題.便于下面運用GeoGebra軟件解決問題，體現該軟件的優勢.

1.2 階段Ⅱ：引導定向——祖暅原理的猜想

在這個階段，學生可以在視覺認知的基礎上認識幾何體的數學性質.通過GeoGebra軟件，可以建立符合祖暅原理條件與一般圖形之間的聯系，激發學生探求新知識的欲望，為此設計以下問題：

1.2.1 問題情境

(1) 洗撲克牌實驗：任意洗牌，并將這副撲克牌放置于桌面上，它的體積會變化嗎？

(2) 課桌上放置一疊無規則形狀的作業本，怎樣求它的體積呢？

1.2.2 介紹數學家祖暅

問題1：祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”觀點，其含義是什么？

【設計意圖】讓學生從數學史中感受數學文化的美與豐富的內涵，對本節課的主題有初步的感性認識，提升學習的興趣和內驅力.

問題2：如圖1，兩個不規則幾何體被任意平行于地面的平面所截，你能得出什么結論？

圖1 祖暅原理的猜想

【設計意圖】圖1為GeoGebra軟件設計的不規則幾何體在任意平行于底面的截面，學生能夠通過具體數據觀察兩個截面面積之間的關系，為猜想并驗證祖暅原理提供數據和圖形支持.此時學生的幾何思維水平能夠達到識別圖形并確定其性質，即能夠根據幾何體的性質去猜想原理內容.

1.3 階段Ⅲ：闡明——祖暅原理的形成

問題3：通過圖1的觀察和猜想，你能否闡明祖暅原理的內容和使用條件呢？

【設計意圖】學生通過對GeoGebra軟件的動態圖形中變與不變量的觀察與概括總結，進一步深化對原理的理解，將圖形語言轉化為數學語言.學生幾何思維水平從分析圖形上升到進行非形式化的演繹，即可以進行非形式化演繹水平.

1.4 階段Ⅳ：自由定向——祖暅原理的推廣

問題4：如圖2所示，取底面半徑和高度相同的圓柱，以圓柱體上底面為底面，下底面為頂點挖一個圓錐體.在同一水平面上切割這兩個幾何體，你能得出什么結論？球體體積能由此導出嗎？

圖2 球體體積的推導

【設計意圖】推導未知幾何體體積，這就是祖暅原理的主要應用價值.在截面移動過程中對截面面積的觀察，以祖暅原理為背景進行探索，完成立體幾何中主要幾何體(柱、錐、臺、球體以及組合體)體積公式的歸納，實現從已知到未知的探索過程.

問題5：你還能設計出哪些幾何體來推廣祖暅原理并推導幾何體體積嗎？

【設計意圖】進一步加深對祖暅原理的理解與應用，引導學生思考：可以將圓柱變成棱柱，圓錐變成棱錐，也可以將棱柱平放，設計相應的棱錐.再通過類比聯想，給出用棱柱棱錐推導球的體積的方法(見下圖3).此階段借助于GeoGebra軟件動態演示使學生的思維水平達到形式演繹的層面.

圖3 球體體積的推導2

推導球體體積過程如下：

【設計意圖】運用GeoGebra軟件設計過程流暢自然，圖形簡潔美觀，便于學生更好地在大腦中建構空間模型，發現更多的優美結論，真正感受數學之美，突出該軟件可視化、易操作等特點.

2 應用案例

可以借助實物、幾何模型和可視化Geogebra軟件，對事物的空間形式進行觀察、分析，對空間圖形的點、線、面的位置關系與變換進行空間想象，從而大膽猜想、深入探索.運用Geogebra軟件探究祖暅原理的過程就很好地體現了如何創設幾何情境，提出合理猜想并驗證的思維過程.

祖暅原理對學生學習有什么作用呢？其最終目標是將原理轉化為解決幾何問題的能力及一般方法，并形成自身的邏輯體系.

【設計意圖】學生的幾何思維能力通過前幾個教學階段已經達到一定的水平.在此基礎上，加強祖暅原理的實際運用解決問題，不僅能夠將數學文化慢慢滲透到課堂教學中，而且能進行更深層次演繹、計算、證明等復雜的內化過程，實現祖暅原理整個知識體系的完善，進而發展學生數學建模、直觀想象等數學核心素養.

3 總結與反思

在高中數學教學中，立體幾何一直是幾何教學過程中的重點和難點內容之一.從初中平面思維到高中的三維空間的擴展和提升對學生來說是一次重要的跨越，但學生在學習過程中往往缺乏空間想象能力，且空間知覺與圖形認識能力發展不足，故需要教師為學生建立適當的“支架”.

本節課以幾何教學中著名的范希爾理論作為基石，通過目前最流行的GeoGebra軟件，動態演示了“祖暅原理及其應用”這部分數學知識的背景、形成過程和方法.通過對祖暅原理的數學文化探秘，讓學生感受了數學的產生與發現之美，讓學生親歷了GeoGebra軟件展示祖暅原理的動態生成與應用過程，更讓學生親身體驗了自身幾何思維水平的提升過程.通過模具演示，結合GeoGebra軟件的動態演示，一步一步地通過問題逐層遞進啟發，從“實驗—猜想—觀察—分析—總結—應用”，引導學生突破難點，解決問題.其中運用了圓柱挖掉圓錐，棱柱挖掉棱錐等解題技巧，體現了“化難為易”“空間問題平面化”的轉化思想，發展了學生的思維.

在幾何教學中，最重要的不是幾何知識的獲取量，而是學生幾何思維水平的高低.在范希爾理論基礎上對教師幾何教學過程的設計，為學生幾何思維水平的提升提供了強有力的推動，不僅能快速提升學生直觀想象、邏輯推理等數學核心素養，更能有效培養學生類比、構造、轉化、極限等數學思想的形成，為后續進入大學學習深造打下了堅實的基礎.