多傳感器多目標被動跟蹤的“鬼點”形成條件

李松洲， 周荻， 杜潤樂， 劉佳琪， 方藝忠

(1.哈爾濱工業大學 航天學院, 哈爾濱 150001; 2.試驗物理與計算數學國家級重點實驗室, 北京 100076)

0 引言

相比于主動探測跟蹤，被動探測跟蹤憑借其良好的隱蔽性和生存能力，在軍事領域有著更為廣闊的應用前景。近些年，關于被動跟蹤理論和應用，涌現出大量的研究，如文獻[1]對比分析了基于概率假設跟蹤方法的擴展卡爾曼濾波和無跡卡爾曼濾波在不同測量噪聲水平下求解多傳感器多目標被動跟蹤問題時性能的優劣；文獻[2-5]研究了求解多傳感器多目標跟蹤的數據關聯問題的高效多維分配算法；文獻[6-7]研究了異步多傳感器多目標跟蹤算法；文獻[8]比較了兩類考慮線程關聯的多傳感器多目標被動跟蹤算法——經典貝葉斯線程關聯和蒙特卡洛線程關聯對跟蹤性能的影響；文獻[9-10]研究了基于概率假設密度濾波方法的非關聯多目標被動跟蹤方法。

被動跟蹤問題指的是根據被動傳感器獲取的目標角度信息估計目標的運動狀態，其本質是運用幾何上的交叉定位原理，即通過多條測量視線于交匯于目標點處實現對目標的定位。文獻[11]指出，該方法能夠勝任對單目標的定位跟蹤任務，但是在進行多目標的被動定位跟蹤時，由于同信道干涉導致“鬼點”問題的出現，使得基于被動測量的跟蹤算法在解決多目標跟蹤問題時遇到困難。

“鬼點”問題只有在多目標被動跟蹤場景下出現，它的本質是來源于不同傳感器的多組測量集間的關聯不確定性所導致的，當跟蹤系統對測量集間進行了不正確關聯，將會使系統跟蹤到虛假目標點，也就是“鬼點”。一般地，傳感器數目越多，獲取的測量信息越多，能夠有效降低這種關聯不確定性。因此，文獻[11]給出一定條件下完全消除“鬼點”的所需傳感器數目必須比目標數多1個的結論，但是沒有對傳感器數目小于或等于目標數情況下的“鬼點”形成條件進行研究分析。此外，關于被動多傳感器多目標跟蹤如何有效去除“鬼點”改善跟蹤準確率，文獻[12-13]的研究都表明在跟蹤算法設計中納入測量頻率信息可提高數據關聯結果的可靠性達到去“鬼點”的效果，文獻[14]指出在進行目標跟蹤時進行航跡管理能夠抑制“鬼點”生成，文獻[15]通過考察兩個被動傳感器不同信號抵達延時的相關性去除“鬼點”，文獻[16]分別論述了通過增加傳感器數目、提高測量維度、利用目標狀態的先驗認知以及其他屬性特征等“鬼點”抑制方法，而文獻[17]提出了一種采用抵達角度(AoA)和抵達時間(ToA)的被動多傳感器多目標跟蹤的新型數據關聯算法，通過對測量值進行聚類并打分的方式處理面臨的“鬼點”問題，這些都屬于通過能夠有效區分目標和“鬼點”附加信息的獲取已達到去除“鬼點”的目的，但是在實際中，很多情況下這類信息要么不存在、要么獲取困難。文獻[18]利用Hough變換積累單元數和單元投票數進行“鬼點”的判別，達到了消除大部分“鬼點”的目的。文獻[19]將模糊集思想進入Hough變換，利用模糊函數的隸屬度作為參數空間累積量，在局部和全局兩個層次進行聯合判決，通過模糊推理最終區分真假航跡。文獻[20] 提出一種在干擾環境下新的有效“鬼點”去除算法，證明“鬼點”一般相對于目標具有更高復雜度的軌跡，通過將目標和“鬼點”的軌跡分別近似表征為線性時不變系統的脈沖響應，實現軌跡復雜度和系統階數的對應，而系統階數與響應相關的Hankel矩陣秩相等，從而可通過計算比較不同潛在軌跡所對應的Hankel矩陣秩對“鬼點”和目標進行判別。上述幾類方法本質上都是利用“鬼點”與目標在幾何復雜度上的差異設計的剔除算法，對低幾何復雜度的“鬼點”能夠起到較好的剔除效果，但是對與目標有著同樣幾何復雜度的頑固“鬼點”往往卻無能為力。文獻[21]研究了兩個測量平臺的僅角度可測的多目標被動跟蹤問題，提出一類能夠同時有效降低數據關聯不確定性和跟蹤誤差的軌跡優化方法，通過機動改變傳感器的位置增加不同方位對目標的觀測信息，以達到降低關聯不確定性而去“鬼點”的目的，本質上與增加傳感器數目的原理類似，而且一般對觀測平臺的機動能力有較高要求。文獻[22]提出一種基于對極幾何關聯距離的關聯代價函數，對傳感器原始探測信息間的關聯關系進行求解，而后由此進行目標狀態估計，避免先估計后關聯方式進行大量三角學操作造成誤差累計的問題，提高了關聯精度，能一定程度上抑制“鬼點”問題，但是這種方法主要適用于基于圖像的被動觀測問題，具有一定的局限性。此外，文獻[22]中所論述的對“鬼點”效應的“免疫”作用并非完全來源于算法優越性，本質上還是增加了傳感器數目的作用。上述研究工作主要側重于對“鬼點”去除算法的研究，對“鬼點”的形成條件沒有給出嚴謹的理論分析結果。本文將著重針對該問題展開研究。

“鬼點”問題是多目標跟蹤不可避免的問題，而“鬼點”出現的概率主要與傳感器網絡和目標群的相對幾何關系有關，此外，測量裝置的精度以及探測環境的“純凈度”也是影響“鬼點”出現概率的重要因素。“鬼點”不可避免，但是可以消除或者降低其生成概率，這需要根據多傳感器多目標被動跟蹤問題在不同應用場景下的特點，分析造成“鬼點”出現的主要因素，據此采用不同的“去鬼點”算法，以達到提高跟蹤系統準確度和精度的目的，以及節約跟蹤系統的組網成本。因此，本文著重研究了多傳感器多目標被動跟蹤問題中“鬼點”的形成條件，運用集合的分析方法，從理論上分別探究在二維和三維場景下“鬼點”形成的條件，分別分析采用2個、3個和k(k≥2)個傳感器進行多目標被動跟蹤“鬼點”形成的幾何條件，并且給出相關的理論證明和仿真驗證實驗。

1 “鬼點”問題描述

在二維平面內，只需要兩個傳感器獲取的關于目標的角度信息就可以完成對單個目標進行被動定位跟蹤，如圖1所示，兩傳感器s1、s2關于目標點t1的兩條射線形成的交會點即為目標位置。

圖1 單目標被動定位Fig.1 Passive positioning of a single target

當出現多個目標時(這里以兩個目標為例)，則可能由于測量信息關聯錯誤，導致不能正確跟蹤到目標運動狀態，取而代之的將是兩個不存在的目標點，一般將這樣的虛假目標點稱之為“鬼點”，如圖2所示，為采用兩個傳感器s1、s2對兩個目標點t1、t2進行被動定位時所構成的相對幾何關系，g1和g2為測量信息錯誤關聯時定位到的兩個“鬼點”。由圖2中可見，跟蹤到的“鬼點”位置相對目標真實位置有著明顯的偏差，該現象的出現顯然不利于工程應用。因此，有必要探究“鬼點”的成因，這將有利于啟發多目標被動跟蹤設計，減小“鬼點”出現的概率或者避免“鬼點”的形成。

圖2 “鬼點”形成示意圖Fig.2 Schematic diagram of the formation of ghost nodes

2 “鬼點”形成條件

為了探究多傳感器多目標被動跟蹤問題中“鬼點”問題的成因，下面將運用集合的分析方法并結合幾何原理，對不同場景下的“鬼點”成因進行闡述論證。

設被動傳感器位置分別表示為s1,s2,…,sk，目標位置分別表示為t1,t2,…,tp，“鬼點”位置分別表示為g1,g2,…,gq，由傳感器si(i=1,2,…,k)獲得的視線測量集表示為φi={L(si,t1),L(si,t2),…,L(si,tp)}，其中L(si,tj)(i=1,2,…,k,j=1,2,…,p)表示由傳感器si指向目標tj的射線。圖1中單目標的定位跟蹤可表示為

t1=L(s1,t1)∩L(s2,t1)

(1)

圖2中的兩目標點定位跟蹤可表示為

(2)

而當關聯錯誤時出現的“鬼點”則可表示為

(3)

由此，在一般的多目標跟蹤定位中，對任意目標的定位可以表示為

tj=L(s1,tj)∩L(s2,tj)∩…∩L(sk,tj)

(4)

針對圖2中所示的“鬼點”問題，倘若額外增加一號傳感器s3，如圖3所示，由于此時傳感器s3獲取的測量視線L(s3,t1)和L(s3,t2)不再通過點g1和g2，即3個傳感器獲取的測量視線除了在目標點t1和t2交匯外，并沒有形成其他不同于這兩點的公共交匯點，這時將不會定位到“鬼點”。

圖3 三傳感器對兩目標的被動定位Fig.3 Passive positioning of two targets using three sensors

關于上述現象，文獻[11]給出了如下一般性結論：

引理1假設任意兩個傳感器不與任一目標共線(假設1)，則要實現對傳感器公共探測區內的p個目標進行準確(不出現“鬼點”)的被動定位，最多需要p+1個傳感器進行被動測量。

關于引理1盡管文獻[11]已經給出了相應的證明，但鑒于原證明略顯含糊晦澀，這里給出該命題的詳細證明過程。

關于引理1的數學證明，可以通過反證法證明，下面給出證明過程。

證明設公共觀測區域(不局限于平面)內有p個目標(分別標記為t1,t2,…,tp)，現在采用k個傳感器(分別標記為s1,s2,…,sk)對這p個目標進行被動定位，且傳感器位置為目標位置滿足“任意兩個傳感器不與任一目標共線”的假設條件。現假如該情境下定位到一“鬼點”gl，則gl應為k個傳感器得到的k條觀測視線公共交點，即

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2)∩…∩L(sk,tjk)

(5)

式中：ji∈{1,2,…,p}(i=1,2,…,k)為定位到“鬼點”gl時傳感器si指向“鬼點”gl射線上的目標點標號。根據“鬼點”的物理意義，gl還須滿足

?i∈{1,2,…,k},gl≠tji

(6)

下面首先證明：在(5)式中，?jm,jn,m≠n，恒有jm≠jn(命題1)。

根據“鬼點”的定義，“鬼點”必然處在傳感器與目標形成的視線之上。現在假設?jm,jn,m≠n，有jm=jn(假設2)，從而有

tjm=tjn∈{L(sm,tjm)∩L(sn,tjn)}

(7)

則由(5)式可知

gl∈{L(sm,tjm)∩L(sn,tjn)}

(8)

由(7)式和(8)式可知，直線L(sm,tjm)和L(sn,tjn)存在交點tjm和gl，而由(6)式可知gl≠tjm，所以直線(射線)L(sm,tjm)和L(sn,tjn)重合，這樣sm、sn與tjm共線，不滿足假設1，所以假設2不成立，命題1得證，即(5)式中的tj1,tj2,…,tjk須為t1,t2,…,tp中任意k個點的一個排列。

所以，k≤p是得到“鬼點”的必要條件，由與該命題等價的逆否命題“當k>p時將不可能形成‘鬼點’”可知引理1成立，引理1得證。

在上述證明過程中并沒有對觀測區域作出限制條件，所以引理1的結論既適用于二維場景，同樣也適用于三維場景。

由引理1可知，當k>p時，即傳感器數目大于目標數目時，可以避免“鬼點”的形成。那么，當k≤p時是否一定會形成“鬼點”呢？該條件下“鬼點”形成又是否需要什么特殊的條件？關于該問題的探索鮮見相關的研究成果，但這并不意味著該問題的探究沒有意義。倘若能夠揭示該條件下“鬼點”成因，那么就能據此在實際應用中通過跟蹤方案設計盡可能地給“鬼點”形成創造不利條件從而達到抑制“鬼點”生成概率，改善跟蹤系統性能，并且一定程度上降低跟蹤系統的組網成本。

2.1 兩傳感多目標被動跟蹤

對于兩傳感器多目標被動跟蹤問題，有如下定理：

定理1對于目標點與傳感器共面時，只要當存在兩目標點位于兩傳感器基線同側時才有可能形成“鬼點”，且當兩目標點在基線上的投影距離大于基線長度時定位到“鬼點”的可能性將有所降低；而當任意兩目標點與傳感器構成異面關系時，則不會定位到“鬼點”。

圖4 兩傳感器被動定位Fig.4 Passive positioning using two sensors

當任意兩目標點與傳感器構成異面關系時，根據定理1，若假設該場景下定位到“鬼點”gl，則必然存在兩個目標，設為tj1和tj2，滿足條件：

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2) orgl=L(s1,tj2)∩L(s2,tj1)

(9)

由場景設置條件“任意兩目標點與傳感器構成異面關系”知，L(s1,tj1)與L(s2,tj2)異面無交點，L(s1,tj2)與L(s2,tj1)同樣如此，因此假設不成立，定理得證。

根據前文所述，當gl滿足(5)式時其必然滿足(9)式，即(9)式是(5)式的必然條件。所以可以得到如下推論：

推論1在多傳感器多目標被動跟蹤場景下，當存在兩個傳感器使得任意兩個目標都與這兩個傳感器構成異面關系時，將不會定位到“鬼點”。

根據上述分析討論，得到如下結論：當采用兩個傳感器進行被動跟蹤時，唯有目標群滿足如下兩個條件時才可能定位跟蹤到“鬼點”：

1) 目標群中至少存在兩個目標點與兩傳感器共面；

2) 與傳感器共面目標點位于傳感器觀測基線同側。

2.2 三傳感多目標被動跟蹤

當采用3個傳感器進行被動跟蹤時，根據引理1，只有當目標群中目標數p≥3時才有可能跟蹤到“鬼點”。下面在p≥3的條件下，分析“鬼點”形成問題：

1) 3個傳感器s1、s2、s3共線時，有如下定理：

定理2當采用3個共線傳感器s1、s2、s3進行多目標被動跟蹤時，當至少存在3個目標tj1、tj2、tj3與s1、s2、s3構成共面關系才有可能跟蹤到“鬼點”。

證明：假設有“鬼點”gl滿足

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2)∩L(s3,tj3)

(10)

若令S=al(s1,tj1)+bl(s2,tj2)(a、b為任意實數)表示由射線L(s1,tj1)的方向向量l(s1,tj1)和射線L(s2,tj2)的方向向量l(s2,tj2)張成的平面，則由“s1、s2、s3共線”知s3∈S，由(10)式知gl∈L(s3,tj3)且gl∈S，而gl≠s3，所以有L(s3,tj3)?S，從而tj3∈S，得證。

由此進一步得到推論：

推論2k個共線傳感器被動觀測p≥k個目標的情況，可以得到至少存在k個目標tj1,tj2,…,tjk與s1,s2,…,sk構成共面關系才有可能跟蹤到“鬼點”。

證明假設有鬼點gl滿足

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2)∩…∩L(sk,tjk)

(11)

若令S=al(s1,tj1)+bl(s2,tj2)(a、b為任意實數)表示由射線L(s1,tj1)的方向向量l(s1,tj1)和射線L(s2,tj2)的方向向量l(s2,tj2)張成的平面，則由“s1,s2,…,sk共線”知，對任意的傳感器si(i=1,2,…,k)都有si∈S，由(11)式知gl∈L(si,tji)且gl∈S，而gl≠si，所以有L(si,tji)?S，從而tji∈S。根據i的任意性可知，目標群中至少存在k個目標tj1,tj2,…,tjk與s1,s2,…,sk構成共面關系，得證。

2) 3個傳感器s1、s2、s3不共線，有如下結論：

證明假設有“鬼點”gl滿足

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2)∩L(s3,tj3)

(12)

根據上述分析結果，可以類推得到：

證明假設有“鬼點”gl滿足

gl=L(s1,tj1)∩L(s2,tj2)∩…∩L(sk,tjk)

(13)

2.3 一般多傳感器多目標被動跟蹤問題

針對一般多傳感器多目標被動跟蹤問題，有如下結論：

定理4對于非合作目標(目標的空間分布不可知，具有任意性)的被動跟蹤，當k≤p(k≥2)時，“鬼點”存在的可能性恒正。

證明：設有k個傳感器在空間任意分布，如圖5中所示的s1,s2,…,sk，在空間另外任找一點gl，當空間中存在k個目標點位置t1,t2,…,tk分別落在射線L(s1,gl),L(s2,gl),…,L(sk,gl)上時，則能使gl滿足(5)式所述“鬼點”形成條件，跟蹤到“鬼點”gl，而由目標分布的“任意性”可知，總可以找到這樣的k個目標點位置t1,t2,…,tk。所以，當k≤p時，“鬼點”存在的可能性恒為正，定理得證。

圖5 k個傳感器被動跟蹤p個目標 “鬼點”形成示意圖Fig.5 Formation of ghost nodes in passive tracking for p targets using k sensors

這里需要指出的是，上述結論均是基于理想測量假設，即不考慮測量誤差的影響。但是，這些結論對于實際應用同樣存在著重要的啟發意義，應用中由于測量誤差隨機性的存在，當實際幾何關系“十分接近”結論中所述條件時，便可判定滿足“鬼點”形成條件。這樣，合理地設計這種“接近程度”的度量機制則至關重要，這也將是下一步研究工作。

3 仿真實驗及分析

第2節所述的多條定理，均已給出明晰的證明過程，為進一步對上述結論進行論證，現設置三組跟蹤仿真實驗，對上述結論進行仿真驗證。

圖6 兩傳感器與兩目標共面條件下的跟蹤結果Fig.6 Tracking results of two targets using two sensors coplanar with targets

若不改變s1、s2的位置，僅僅在[0 m 0 m 0 m]T額外設置第3號傳感器s3，則得到如圖7所示的仿真結果，可見傳感器網絡沒有跟蹤到虛假航跡，驗證了引理1所述結論，說明增加傳感器數目能夠抑制乃至消除“鬼點”。

圖7 增加第3號傳感器共面條件下的跟蹤結果Fig.7 Tracking result of two targets using three sensors coplanar with targets

圖8 兩傳感器與目標異面條件下的跟蹤結果Fig.8 Tracking result of two targets using two sensors non-coplanar with targets

實驗2設有3個目標t1、t2、t3分別從[-70 m 100 m 0 m]T、[-10 m 200 m 0 m]T、[40 m 200 m 0 m]T處以[0 m/s -1.2 m/s 0 m/s]T、[0 m/s -1.6 m/s 0 m/s]T、[0 m/s -1.6 m/s 0 m/s]T的速度運動，現設置3個傳感器s1、s2、s2分別位于[-100 m 0 m 0 m]T、[0 m 0 m 0 m]T、[100 m 0 m 0 m]T處對這3個目標進行被動觀測并跟蹤，這時3個傳感器共線，且與3個目標共面，得到的仿真結果如圖9(a)所示，跟蹤到了一條由“鬼點”構成的虛假軌跡。而當將目標t2的起始位置設置為[-10 m 200 m 20 m]T使得3個共線傳感器這時與3個目標不再共面時，得到如圖9(b)所示的跟蹤結果，虛假航跡不再出現。該組仿真實驗對定理2所述結論起到了驗證作用，同樣表明了提高傳感器網絡相對目標團的空間布局復雜度對“鬼點”的抑制作用。

圖9 三共線傳感器與目標共面/ 異面條件下的跟蹤結果Fig.9 Result of tracking three targets using three colinear sensors coplanar/non-coplanar with targets

根據第2節對定理3和定理4的分析證明過程，二者所述結論本質上具有一致性，可歸納統一于上節所述的推論3，推論3包含定理3所述結論，而定理4中“鬼點”存在的前提也包含在推論3所述結論之中。據此設置仿真實驗3對該組結論進行仿真驗證。

實驗3不失一般性，設置3個傳感器s1、s2、s2分別位于[-100 m 0 m 0 m]T、[0 m 0 m 50 m]T、[100 m 0 m 0 m]T處對空間中3個非合作目標進行被動觀測并跟蹤，3個目標的運行軌跡分別為

式中：t為仿真時間，t∈[0 s,100 s]。這時由于3個目標點運動形式的特殊性，使得在整個運動過程中射線L(s1,t1)、L(s2,t2)、L(s3,t3)始終存在著公共交點，導致最終跟蹤到一條由“鬼點”構成的虛假軌跡，對應的仿真結果如圖10所示，對定理3、定理4以及推論3進行了有效驗證。

圖10 非共線三傳感器對非合作目標的跟蹤結果Fig.10 Tracking result of non-cooperative targets using three non-colinear sensors

同樣，通過設置6個傳感器均勻分布在半徑為80 m上的圓上對目標群進行被動觀測并跟蹤，若目標群中存在6個目標同樣以圓形陣列(如圖11中6個目標均勻分布在半徑為100 m的圓上)朝著傳感器方向運動時，傳感器與6個目標的某種“一一配對關系”所構成的6條射線始終存在公共交點，使得傳感器網絡最終跟蹤到了如圖11所示的7條軌跡，可見其中位于中心位置的一條為由“鬼點”組成的虛假軌跡，該結果進一步驗證了推論3及定理4所述結論。

圖11 非共線六傳感器對非合作目標的跟蹤結果Fig.11 Tracking result of non-cooperative targets using six non-colinear sensors

4 結論

針對多目標被動跟蹤由于測量數據集的關聯不確定性帶來的“鬼點”問題，本文運用集合分析方法，從幾何角度分別分析了兩傳感器、三傳感器和任意多傳感器的跟蹤場景下的“鬼點”形成條件。得到如下主要結論：

1) 當采用兩傳感器被動跟蹤時，目標群須滿足目標群中至少存在兩個目標點與兩傳感器共面、與傳感器共面目標點位于傳感器觀測基線同側的幾何分布條件才有可能在目標跟蹤過程中形成“鬼點”，且當目標點在觀測基線上的投影距離小于基線長度時，“鬼點”形成概率降低；

3) 對于非合作目標(目標的空間分布不可知，具有任意性)的被動跟蹤，當k≤p時，“鬼點”存在的可能性恒為正。

上述結論主要從幾何層面揭示了多目標被動跟蹤過程中“鬼點”的形成條件，表明在求解被動跟蹤問題時，適當減小傳感器觀測基線長度、提高傳感器網絡相對目標團的空間布局復雜度、增加傳感器數目均能起到一定的“鬼點”抑制作用。在實際應用中，可根據本文相關結論對跟蹤算法進行優化設計，或者對跟蹤網絡的組建和布局進行特殊設計，盡可能給“鬼點”的形成創造不利條件，從而達到抑制和消除“鬼點”的目的，改善被動跟蹤系統的可靠性。因此，本文的研究工作對多目標被動跟蹤的工程應用具有一定指導意義。