一類二階有理差分方程的解的性質

黃日娣，全衛貞，周敬人，王 麗

（1.湛江幼兒師范?？茖W校數學系，廣東湛江 524037；2.嶺南師范學院基礎教育學院數學系，廣東湛江 524037）

隨著現代科技的飛速進步，差分方程在經濟學、生態學、工程學、物理學、數學、計算機等多個領域都有著廣泛的應用，人們日益重視差分方程的研究，現在它已成為現代數學的一個重要分支.

有理差分方程性質的研究近年來引起廣泛的關注[1-12].Sedaghat[3]研究了有理差分方程xn+1=(n=0,1,2,…)的解的漸進性.陳云[4]研究了幾類有理差分方程xn+1=axn+的解的性態.駱元媛等人[5]研究了有理差分方程(n=0,1,2,…)的奇點集和解的漸近性.

受上述研究啟發，本文研究下述二階差分方程的解的漸近性：

其中a,b,c,d∈R+，初始值x-1,x0∈R+，n=0,1,2,….

1 預備知識

定義1如果滿足，稱是差分方程（1）的平衡解.

定義2由二階差分方程xn+1=f(xn,xn-1)，可得函 數f(u,v).令a0=fu(,)，a1=fv(,)，可 得 特 征方程：

由此求出特征根.

定理1[1]①若特征方程（2）兩個根的絕對值都小于1，則差分方程（1）的平衡解是局部漸近穩定的；②若特征方程（2）至少有一個根的絕對值大于1，則差分方程（1）平衡解是不穩定的；③若特征方程（2）沒有模為1的根，則差分方程（1）的平衡解為雙曲的，否則稱為非雙曲的；④若平衡解為雙曲的，且特征方程（2）存在一個根的絕對值大于1，一個根的絕對值小于1，則差分方程（1）的平衡解為鞍點.

定理3（Routh-Hurwitz判別法）[6]假設實系數多項式方程p(λ)=a0λn+…+an-1λ+an=0（其中a0＞0），則其所有根具有負實部的充要條件是Δk＞0(k=1,2,…,n)，其中Δk是n階矩陣的k階主子式.

定理4（Schur-Cohn判別法）[6]方程p(λ)=a0λn+…+an-1λ+an=0的所有根滿足的充要條件是方程所有的根具有負實部.

2 主要結果

可用差分方程的動力學定理、Routh-Hurwitz和Schur-Cohn判別法這兩種不同方法研究二階差分方程（1）的解的漸近性.

定理5 ①若0＜＜1時，差分方程（1）的平衡解=0是局部漸近穩定的；②若＞1時，差分方程（1）的平衡解=0是不穩定的；③若a=d時，差分方程（1）的平衡解=0為非雙曲點.

定理6考慮平衡解=，則有：

①當a(3c+b-3)＞d(c-b-1)且a(b+2)＞d(3-c )時，平衡解為局部漸近穩定（此平衡解稱為匯點）.

②當a(b+2)＜d(3-c)，或a(2c+b-2)＞d(c-1)且a(3c+b-3)＞d(c-b-1)時，平 衡 解=

不穩定（此平衡解稱為排斥點）.

定理7用Routh-Hurwitz和Schur-Cohn判別法得到差分方程（1）的如下結論：