初、高中數學教科書中反證法內容的比較研究

朱佳威 (華東師范大學教師教育學院 200062)

張 雪 (杭州師范大學經亨頤教育學院 311121)

1 引言

反證法是證明數學命題的一種間接方法，其基本證明過程分三步：首先對所證命題進行否定，再運用邏輯推理得出否定命題不成立，最后斷定原命題正確.該方法極為巧妙且對特定問題行之有效，反證法對學生逆向思維、創新思維、批判性思維的形成有極大的教育價值，被牛頓譽為“數學家最精當的武器之一”.陳穎[1]稱反證法為“反其道而思之”，有助于人們對事物本質進行全新認識，也是對自身思維的一種拓展.Lazar[2]指出：在《幾何原本》第三卷31個命題中的16個均是運用反證法來間接證明的，反證法具有如此高的使用頻率，而在中學教學中卻缺乏對其應有的關注，這是極為不正常的.本研究通過對大陸現行各版本初、高中數學教材中反證法內容進行探究，以期幫助教師更精準地把握教學重難點，使學生的邏輯推理素養得到進一步落實.

2 獨立成節的反證法比較

在現行的初高中數學教材中，有四個版本的教科書將反證法獨立成節編制，如表1所示.我們將這四個版本教科書的反證法內容按表2框架進行比較.

表1 獨立成節的反證法

表2 反證法比較框架

2.1 編寫明線

在概念引入方式上，滬教版、華師大版、冀教版三個版本直接給出反證法的使用目的，即當問題從正面證明有困難時，轉而考慮從反面間接證明問題來引出反證法；浙教版則以“路旁苦李”這一古代故事并配合插圖的方式引入反證法.前者從數學內部來解釋反證這一方法的必要性，后者從日常生活中的反證邏輯來說明反證法的廣泛適用性.教師可將兩者結合起來，讓學生對反證法的必要性和適用性有更深刻的理解.

在概念表征方式上，滬教版沒有明確給出反證法證明的三個步驟，也未對可能出現的矛盾類型進行補充說明，而將側重點放在了常見的否定上.有學者[3]表示“反證法”作為相對獨立的內容安排在一單元中，由于沒有對命題中結論否定的教學，使得現在“反證法”這節課的教學所承擔的任務非常重.這需要教師合理整合教材內容，使本節課關注方法本身，而不是因為對“否定”的過多關注偏離主線.在初中，鑒于反設一步中的否定要求不高，三個版本的初中教材均未對其進行補充說明，且僅有冀教版清晰完整地呈現了反證法證明的三個步驟.在矛盾類型的說明上，華師大版沒有作出任何說明，其余兩個版本作了簡要的介紹，教材對于矛盾類型的說明能幫助學生正確理解反證法，由于例題中的矛盾大多是與條件的矛盾，可能會使學生對反證法產生錯誤的認識，不少學生認為反證法就是利用逆否命題來進行證明.

2.2 編寫暗線

在反證法的應用領域上，滬教版在例題和習題中都將其應用于代數領域，而初中的三個版本絕大多數都應用于幾何領域，可見在應用領域的選取上初高中有明顯的差異.特殊的是，在浙教版的習題中加入了一例反證法在日常生活中的使用(見例1).該版本非常重視反證法在數學以外的應用，最新修訂的《義務教育數學課程標準(2022年版)》[4]的總目標中指出：“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題.”在新一輪的教材修訂中，可以借鑒這一做法，將其編寫入教材.

例1反證法的思想也時常體現在人們的日常交流中，下面是一個相關例子：

媽媽：小華，聽說鄰居小芳全家這幾天正在外地旅游.

小華：媽媽，不可能，我昨天和今天上午都還在學校碰到了她和她媽媽呢！

上述對話中，小華要告訴媽媽的命題是什么？他是如何推斷該命題的正確性的？在你的日常生活中也有類似的例子嗎？請舉一至兩個例子.

3 初高中教材中利用反證法證明的定理與命題

除了上述單獨成節、系統介紹反證法的例子，初高中教材中還零散分布著一些運用反證法來證明的定理或命題，具體如表3所示.部分初中教材雖未系統地介紹什么是反證法，但依托于某個問題的解決，也會引入“反證法”的概念，但并不深入，僅告訴學生這樣證明問題的方法叫反證法及其證明步驟，缺乏知識系統性，初中學生很難通過教材中零星分散的反證法來掌握這一方法，這需要教師結合教材加以整理.高中教材中的反證法主要集中于立體幾何板塊，這些反證法的使用一方面能加深學生對方法本身的認識，另一方面對落實邏輯推理數學素養有重要意義,可以看出立體幾何是發展學生邏輯推理素養的重要載體.在統計模塊的獨立性檢驗內容也用到了反法證的思想方法.總的來說，教材中的反證法多被應用于證明幾何領域的定理或命題，而在代數和其他領域中使用反證法，需要教師進一步挖掘教材中定理的多種證明方法，如“糖水不等式”就可利用反證法來證明.

表3 教材中利用反證法來證明的定理與命題

學者Dawkins和Karunakaran[5]強調：“我們擔心將數學證明框架作為單一的、內容通用的實踐可能會不恰當地低估特定數學內容在其中發揮的作用.在一項任務中，學生把對立命題視為等價命題，而在其他任務中，他們看不到等價命題，也沒有表現出對一般邏輯關系的有意識知識.”由此可見，學生學習反證法也要放在不同的知識領域中去，逐步加深對反證法的理解.

4 結論與啟示

4.1 結論

通過對各版本教材反證法內容的探析，得到如下結論：

(1)教科書中單獨成節的反證法僅有四個版本，其余版本大多依托于某問題解決來引出反證法，且零散地分布在各初高中教材中.

(2)在單獨成節的反證法內容中，三個版本初中教科書多從正難則反的角度來引出反證法，僅浙教版以典故引出反證法；各版本對于概念表征的側重點不同，高中階段對反設步驟中的否定有詳細的補充說明，而初中階段三本教材主要是對矛盾類型以及反證法步驟進行詳細的解釋.除冀教版外的各版本教科書都注意到了數學史的應用，浙教版還特別加入了反證法在實際生活中的應用.

(3)初中階段利用反證法來證明的定理多分布于幾何領域，尤其在三角形、平行線與相交線章節；高中階段則多在立體幾何領域.

4.2 啟示

(1)重視反證法的系統教學

同樣是數學方法，數學歸納法在以往都是單獨成節系統介紹，但是反證法卻截然不同，其零散分布的特點導致學生對于反證法的理解不深刻、不到位.Antonini[6]認為間接證明在學校教育中沒有得到足夠的重視，不論是在中學還是大學.王滟林[7]指出，在進入21世紀后，隨著課程改革的推進，對反證法的教學要求有降低趨勢，最近10多年來涉及反證法的高考考題越來越少，有時甚至干脆不考，并且在新修訂的課程標準(2017年版)中，“反證法”這三個字甚至沒有直接出現在“必修課程”“選擇性必修課程”之中，這是不太正常的事.Thompson[8]認為中學課程對這種證明技術的重視程度較低，難怪學生們發現這種技術難以理解和使用.由此可見，新滬教版教材將反證法列入必修內容，系統地給學生介紹反證法是十分必要的.

(2)關注反證法的多元應用價值

通過前述的研究結果我們可以發現，反證法與初高中數學課程體系中的其他內容有很廣泛的聯系.這就要求教師在教授其他章節時，多次呈現，螺旋上升，在具體應用過程中讓學生感悟反證法的價值，建立整體的教學觀.

事實上，反證法也廣泛地應用在其他學科中，如政治、物理，教師可借其他學科中的“反證法”來開展項目式學習，讓學生從不同學科角度來看待反證法，收獲對反證法的全新認識.

(3)用好反證法，落實邏輯推理核心素養

Antonini[9]、Brown[10]、Taee與Yevdokimov[11]等學者認為反證法證明困難是因為反證法沒有證明的一般模板.舉例來說，在證明兩集合相等時，學生會被要求去證明兩個集合互為子集；在證明線面平行時，學生會被要求去尋找平面上與已知直線平行的直線，并說明已知直線不在面上.與直接證明相比，反證法中常見的推理方法數量較少，方法更加靈活多變，學生更難以掌握，這對學生的邏輯推理能力提出了很高的要求.但正因如此，反證法對學生推理能力的訓練價值很高，教師要創造性地運用教材，創造性地施教，讓反證法不再是學生學習的痛點與難點.