“問題解決”中推理教學的策略
——以“兩角差的余弦公式”為例*

周文英 (江蘇省常熟中學 215516)

在高中數學教學實踐中，命題或公式類教學多側重于結論運用，輕結論探索，而基于“問題解決”的推理教學實踐能夠彌補這一不足.推理教學實踐更為關注結論的由來，強調師生探索結論的過程，且在課堂“教”與“學”的整個環節之中將問題作為中介，連接各個教學環節，將學生置身于問題解決的學習情境之中，不僅強化了學習活動的實踐性，同時也使得數學課堂教學更具推理特色.

1 引入問題，建構新課開端

在新課初始階段，教師所設置的問題直接影響著教學重點引入的效果.對此提高問題引入的有效性，幫助學生奠定一個良好的知識建構的開端應是教師培養學生邏輯推理素養的首要步驟.在具體的操作中，建議從以下兩個方面展開.

(2)結合本節課的教學重點引入探究問題.由于上述兩個誘導公式所表示的均為特殊角與任意角α的和或差的三角函數與該任意角α的三角函數恒等關系，故本節課的教學可以將問題設置為：如果將特殊角換為任意角β，那么任意角α與β的和或差的三角函數與α,β的三角函數存在什么關系？通過引入該問題幫助學生作好推理準備.

2 問題解決，優化推理過程

本節課將問題解決作為主線，在教師的引導下使學生主動地參與到兩角差的余弦公式推導活動中，師生共同探索結論產生的過程，對兩角差的余弦公式追根溯源.

首先，教師在屏幕上呈現圖1；其次，教師引導學生觀察圖1，回顧課堂初始環節所提出的問題；最后，師生共同推導兩角差的余弦公式.公式推導環節如下：

圖1

環節1 師(思路疏導)：在問題解決的過程中，我們需要明確圖中給出的已知條件，通過初步的觀察我們可以明確，圖中x軸與y軸垂直相交于圓心O，如果令α≠2kπ+β，k∈Z，且圓與x軸的正半軸交點為A(1, 0)，以x軸的正半軸為始邊開始作角α,β,α-β，那么α終邊、β終邊、α-β終邊與單位圓的交點分別為點P1(cosα, sinα),A1(cosβ,sinβ),P(cos(α-β),sin(α-β)).現在同學們將屏幕上的圖、剛才老師所擬定的假設以及α終邊、β終邊、α-β終邊與單位圓的交點分別寫到草稿紙上.

環節2 師：在問題解決的過程中我們可以利用圓的什么特性？線段AP與A1P1之間存在什么關系？為什么？通過上述問題引導學生開展小組探究.

環節3 小組合作探究交流匯報，教師適時將學生匯報過程中有價值的信息板書在黑板上.若某個小組所作的匯報沒有呈現公式推導的完整性，可以鼓勵其他小組予以補充.

環節5 師(板書)：cos2(α-β)+sin2(α-β)=1，cos2α+sin2α=1，cos2β+sin2β=1.要求學生對(*)化簡，組內對比化簡結果是否一致，請學生在黑板上板演化簡過程.

環節6 師(第二次公式推導總結)：回顧公式推導的條件，即α≠2kπ+β，k∈Z，將這一條件代入化簡后的等式中，公式是否成立？給學生3～5分鐘的時間，教師總結：無論角度如何變化，圖1中各個點的坐標均不會發生改變，線段AP始終等于A1P1，對于任意角α與β，都有Cα-β=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，我們將其稱為兩角差的余弦公式.

3 隨堂習題，訓練推理能力

3.1 凸顯數學思想

數學思想是學生邏輯推理能力的基礎和源泉，所以在訓練學生推理能力的過程中，教師應將習題作為載體，使學生通過問題解決獲得對某一數學思想的深入理解.在上述公式推導環節結束后，教師將隨堂習題作為載體凸顯從一般到特殊的數學思想，強化學生問題解決的能力.隨堂習題設計如下：

用Cα-β推導(過程略).

師(總結)：在問題解決的過程中我們需善于利用一般到特殊的數學思想.

3.2 活用數學公式

公式的靈活應用不僅關系解題效率，同時也彰顯邏輯推理能力水平.本節課中，教師側重于訓練學生靈活應用數學公式，打破思維的局限性，呈現隨堂習題“計算cos 105° cos 60°+sin 105° sin 60°”.

師(點撥)：是否可以從右到左逆向使用公式Cα-β？

教(總結)：懂得活用公式，除從左到右應用外我們還可以從右到左應用公式.

為強化公式逆用能力，可呈現習題“計算 cos 15° cos 105°+sin 15° sin 105°”，要求學生自主解答.此外，為提升學生活用數學公式的能力，教師在總結后可呈現習題“計算cos(-15°)”，要求學生采用兩種方法解答.

3.3 適當創造條件

部分習題不能直接運用公式求解，教師需要培養學生創造條件的意識.在本節課中教師可呈現隨堂習題“計算cos 65° cos 20°+cos 25° cos 70°”.

師(點撥)：我們是否可以通過創造條件將公式變形，然后利用Cα-β求解？

求解過程略.

師(總結)：在解決三角函數求值問題時，變角是常用的解題技巧，變角可以幫助我們揭示問題的本質.在運用公式的過程中需注意角的范圍、三角函數值的正負以及特殊角的關系.

4 一題多變，揭示推理規律

隨堂練習題雖然能對學生的推理能力起到訓練、提升的目的，但學生對于教師的總結仍存在較強的依賴，所以隨堂練習題存在一定的局限性.教師還應關注推理過程中規律和方法的揭示，使學生能夠挖掘各個習題背后隱藏的規律.一題多變是達成此目的的有效手段，本節課中教師可通過下述例題的解決，使學生理解已知三角函數值求角的問題需要結合三角函數值與角的范圍.需要注意的是，一題多變環節，教師不宜過多地指導和總結，應以學生自主解答和總結為主，教師啟發為輔.

上述教學環節結束后，教師應提出“已知三角函數值求角問題的推理過程”等問題，提升學生問題解決的推理能力.

5 結束語

培養學生的邏輯推理能力，無論是推導公式、還是問題解決的推理技巧，教師均應關注教學環節中學生的參與度，一方面將學生作為課堂教學的主體使其積極參與推理的過程，另一方面在創設充足的推理訓練機會的基礎上剔除過多的教學干預，利用問題鼓勵全班學生自主推理.另外，基于“問題解決”的推理教學，“問題”應貫穿于教學始終，教師需重視“問題”對于培養學生推理能力所承載的育人價值.

編者按為密切編輯部與中學的聯系，本刊編委第27次“走進課堂”，于2021年10月25日赴江蘇省太倉高級中學觀課議課.江蘇省太倉高級中學建校于1907年，“廢科舉，力行新學”，初名為太倉州屬中學堂.辦學115年來，雖十六易名，三遷校址，卻不改太倉高中是江蘇省內獨樹一幟、不可或缺的優質中學校本色，1997年學校被確認為江蘇省重點高中，1999年率先成為國家級示范性普通高中，2004年3月被評為江蘇省首批四星級高中.學校秉承“循正守真，志遠業精”規劃發展總體思路，謀求項目化、特色化創新發展之路，逐步形成“志遠育德，業精育才”課程體系，建成彰顯“人文奠基，科技見長”辦學特色課程基地群，強化辦學理念、師資隊伍、課程實施、學校治理、育人模式和辦學特色建設，形成了可資借鑒和可供推廣的高品質高中經驗.