談統計教學之育人價值
——以“頻數分布表和頻數分布直方圖”為例*

鐘 鳴

(江蘇省無錫市西漳中學 214171)

“統計與概率”是義務教育階段數學課程內容的四個領域之一，在江蘇鳳凰科學技術出版社出版的初中數學教材中共分5章，相對集中地編排在八下至九下三本教材中.本文以八下“頻數分布表和頻數分布直方圖”一課為例闡述對統計教學的基本認識.

1 統計教學的育人價值

作為教育任務的數學課程反映社會發展狀況，滿足個性發展需求，承載著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能，在形成人的理性思維、科學精神和促進人的智力發展的過程中發揮著不可替代的作用[1]，是為學生發展準備的數學.作為課程內容的“統計與概率”教學，更應抓住知識所蘊含的基本思想、基本方法，通過培養學生統計觀念、建立統計意識，為數據分析觀念的建立奠定堅實基礎.

數據分析觀念是義務教育數學課程十大核心概念之一，主要包括統計觀念和隨機觀念.統計觀念主要是：統計意識，即“了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析作出判斷，體會數據中蘊涵著信息”；統計思維，即對數據收集、整理、描述的認識及理性思考，反映了馬克思主義“理論聯系實際，從實踐中來到實踐中去”認識事物的基本規律；統計方法，即“了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法”.[2]

隨機觀念表現為用樣本估計總體的統計基本思想.這是一種合情推理，結論的不確定性和大量重復試驗后的規律性，正是“統計與概率”的內在聯系，也是隨機觀念的核心.將統計的學習放置到真實的情景之中、具體的實例之中，對這一基本思想獲得深遠體悟是統計教學的重要任務.

因此，體悟統計思想和建立數據分析觀念是統計教學育人價值的根本所在.

2 統計教學的實踐誤區

現實中，統計教學常常被一線教師功利地處理，或者幾課時并作一課時快速講完，或者直接出示相關知識點后大量訓練，忽視了統計教學的育人價值.

2.1 誤區一：統計=列式計算

統計需要數據收集、數據整理，計算各種統計量，計算是很重要的基本技能，但是理解其內蘊的統計意義更為重要.這種理解關系到學生能否從數據中提取有效信息，能否體會數據中蘊含著的信息.

教師往往習慣于帶領學生總結數量關系、訓練列式計算技能，忽視了計算背后的統計意義，導致學生學會了統計計算卻不知道其統計意義.

2.2 誤區二：統計=繪圖讀圖

借助統計圖能直觀描述數據，繪圖、讀圖是很重要的基本技能，但是理解其作為完整統計過程的必要環節之一的特殊意義更為重要.這種理解關系到學生能否恰當選取統計圖，能否準確分析數據信息.

教師往往習慣于帶領學生總結繪圖步驟、訓練讀圖技能，忽視了繪圖讀圖背后的統計意義，導致學生學會了“繪、讀”每種類型的統計圖卻不會恰當地選擇和準確地讀取.

3 基于育人價值的教學設計

統計的意義體現在“統計的全過程(過程性)、統計的內在聯系(聯系性)和統計在解決實際問題中的應用價值(實用性)”之中.統計的學習，本質上是統計活動的全程經歷.使學生建立數據分析觀念的有效方法是經歷統計活動的全過程以及在每個環節中對統計方法“必要性”的體悟；感悟基本思想的有效方法是設置真實情景，在具體實例的解決過程中體驗統計方法的“實用性”.

3.1 內容分析

“頻數分布表和頻數分布直方圖”一課的主要任務是研究如何用頻數分布表和頻數分布直方圖描述連續型統計量的數據分布情況.這兩個工具是對前面所學習的統計圖的重要補充，也是對統計結果作出合理判斷和預測的重要工具.

本節教學的關鍵是“體會對數據進行適當分組可以清楚地了解數據的分布特征和變化規律，感受分組的必要性”，為什么要了解數據分布特征和變化規律是本節課的重要前提.這就需要設置恰當的、現實的、具體的情景，引導學生感受實際需要、感悟分組的必要性，為“用頻數分布直方圖描述數據”作好鋪墊.

3.2 設計思路

結合課標要求，將本節課的課時目標確定為“通過具體實例，了解頻數分布的意義，會列出頻數分布表、繪制頻數分布直方圖；經歷數據的收集、整理、描述的過程，在活動中發展統計觀念、建立統計意識，訓練數據處理能力；能根據統計結果作出合理的判斷和預測，在解決實際問題的過程中體會統計對決策的作用，感受統計的實用性.”

學生前面已經經歷了用統計表和三種統計圖整理、描述數據的過程，但是對于連續型統計量，學生不能根據已有經驗繪制出相應的統計圖來清楚地呈現數據的分布特征和規律.這就需要首先引導學生感受分組的必要性和意義，然后經歷完整的分組、制表、繪圖的過程，掌握連續型統計量的描述方法.

如何恰當分組是本節課的難點，掌握分組的基本步驟是本節課的教學重點.在獲得數據分布情況的一般過程中，恰當分組是關鍵.因為分組是不唯一的，方法是多樣的，需要根據具體情況恰當選擇.同時，分組的基本原則是能否更好地、更精確地反映數據的分布特征和變化規律，主觀性較強.這就要求課堂教學充分尊重學生的主體性和想法，突出統計的實用性，在學生想法的基礎上進行自然地引導.

為更好實現教學目標，突出重點、突破難點，本節課準備通過連續型統計量的統計數據的例子，感受數據分組的必要性，用任務導學式的教法與學生展開對話，組織學生獨立思考和小組合作相結合，經歷完整的描述數據分布情況的過程，掌握繪制頻數分布表、頻數分布直方圖的基本步驟.

3.3 教學過程

教學過程緊緊圍繞目標，聚焦實用性，通過對話顯化學生的感受，增強學生的體驗，幫助學生感悟統計基本思想、建立數據分析觀念.

3.3.1素材選取突出統計的應用價值

為什么要學習統計知識？為什么要分組？這是學生潛意識中自然的疑問.統計本身的實用性并不能自然地讓學生感受到學習統計、進行分組的必要性，必須借助學生身邊可感知的素材，使其在問題解決的過程中不得不用統計的方法、不得不進行分組.

例如，為了突出統計的應用價值和分組的必要性，本節課主要選取了如下三個核心素材.

素材1 上節課，我們對國家環保總局公布的47個重點城市某日空氣質量進行了分組整理和描述.

問題：想想看，在學習生活中，還有哪種情況需要對數據進行分組整理和描述？

素材2 上周，我們進行了期初測驗，全班48名同學的數學測驗成績如下(數據略).

問題：怎樣描述我們班的數學測驗成績分布情況呢？

素材3 為了參加全校各年級之間的廣播操比賽，八年級準備從50名同學中挑選身高差不多的42名同學參加比賽，為此搜集到這50名同學的身高如下(數據略).

問題：如何確定這42名學生呢？(要知道這些數據的分布情況)

素材1是上節課的內容，素材2和3是學生學習生活中的例子.用素材1和2引出這節課的學習課題，感受數據分類和分組整理描述的必要性和兩個工具的實用性，突出本節課學習的必要性；同時，揭示上節課和這節課之間的內在聯系，整體感受統計學習的應用價值.用素材3帶領學生經歷完整的統計過程，建立統計意識，訓練統計方法.

3.3.2教學方式強化統計的思維價值

統計教學育人價值的根本在統計思想和數據分析觀念.這個根本，歸根結底還是要在思維層面落實.教學方式要通過任務設計引導學生學習建立統計意識、形成統計思維、習得統計方法，強化統計的思維價值.

本節課充分利用素材3，設計了如下3個任務：

任務1 經歷完整過程，建立統計意識，習得統計方法.

通過帶領學生經歷完整的獲得數據頻數分布的過程，感受為什么要分組、怎樣分組、如何確定分點、為什么要這樣確定分點、頻數分布表的作用是什么、頻數分布直方圖的作用是什么，總結獲得數據分布的一般步驟，了解確定分組的基本原則和常用方法，理解頻數分布表和直方圖在整理描述連續型統計量的大量數據中的作用、優勢和價值.

任務2 閱讀統計圖表，體會樣本作用，感悟統計思想.

通過對頻數分布圖表的觀察和讀取，一方面認識到統計圖表能直觀清晰地反映數據分布的特征和規律，另一方面感受用樣本去估計總體的統計思想，深入體會頻數分布表和直方圖的實用性.

任務3 比較交流討論，理解區別聯系，形成統計思維.

借助表格工具進行對比，理解條形統計圖與頻數分布直方圖的區別與聯系，建立知識之間的內在聯系，獲得對統計全過程的理性思考，形成統計思維.

3.3.3問題設計細化統計的過程經歷

在統計過程的關鍵之處，要通過系統的問題串設計，細化統計的過程經歷，深切體驗統計觀念.

例如，在任務1中，如何分組是統計過程的關鍵.分成幾組是不確定的，有的學生將組數分得太少，分布描述得不精細，不能滿足確定42名同學的需要；有的學生將組數分得太多，甚至有的學生會說一個數據一組.這就需要設計系統的問題串進行必要的引導，組織小組討論，讓學生認識到分組太多工作量大，一個數據一組會失去分組的意義，既感受到分組的必要性，又能夠辯證地理解分組的多與少.問題串設計如下：

問題1如何確定這42名學生呢？

追問 類比描述成績分布，怎么做？

問題2如何恰當分組呢？

追問1 這組數據的變化范圍是多大？

追問2 分成幾組？每組變化范圍定為多大？

追問3 如何確定每組的分點呢？原則是什么？

總結 組數=極差÷組距.如果能整除，可以采用“上(下)限不在內”的方式確定分點，也可以“結果加1”定組數，同時取比數據多一位小數確定分點；如果不能整除，可以采取進一法確定組數，取比數據多一位小數或者采用“上(下)限不在內”的方法確定分點.原則是所有數據不重不漏全覆蓋.

問題3分組后，如何整理這50個數據呢？

師生活動:學生小組合作，將這50個數據“劃記”到相應的組里，統計每組中相應數據出現的頻數.

總結 像這樣的表格稱為頻數分布表(表略).

問題4選擇哪類統計圖表示這樣的頻數分布表呢？

總結 根據頻數分布表，用橫軸表示各分組數據，用縱軸表示各組數據頻數，直觀地呈現了頻數的分布特征和變化規律，這樣的條形統計圖稱為頻數分布直方圖(圖略).

問題5這樣我們就獲得了一組數據的頻數分布，試著歸納一下，獲得一組數據頻數分布的一般步驟是什么？

總結 第一步：分組，計算最大值與最小值的差、確定組距與組數、選擇確定分點；第二步：列頻數分布表；第三步：畫頻數分布直方圖.

4 統計教學的再思考

統計教學的情境設置要突出實用性，需要設置具體實際的情景，通過突出實用性來體現必要性，過程教學要讓學生感受到每一步的意義和作用.為了選派身高較為整齊的學生參賽就需要了解身高數據的分布，要了解分布就需要分組，分組整理就必然要用頻數分布表，為了直觀反映頻數分布表中的情況，就需要頻數分布直方圖.這是本節課實用性的內在邏輯，情境設置就要體現這種內在邏輯，讓學生感受到學習的必要性.

統計教學難點的突破要以生為本.本節課難點是分組，如何分組涉及到分幾組、組距多大、分點如何確定三個核心問題，層層遞進地解決這三個核心問題，就能夠突破難點.分幾組，要讓學生感受到組數分得越多，分布情況就越精細，但是如果每個數據一組，那就失去了分組的意義，因為分組的本義是為了化繁為簡、化多為少，解決數據龐大不易看出分布的問題；組距多大，直接取決于分幾組；分點如何確定，要讓學生感受到取整數分點必須要規定上下限能否取到或者用不等式組表示分組，或者直接取比最小數據小半個單位，不論如何分組都是為了使得數據不重不漏.最后，還要讓學生理解這三個問題之間的內在聯系.

統計教學的重點在全過程經歷.在統計意識的建立、統計方法的掌握中，最有效的方法就是經歷“提出問題、收集數據、處理數據、描述數據、分析數據、解決問題”的過程，設置突出實用性的情景，將問題合理化，組織小組合作學習，討論交流不同的分組方案，提高學生的參與度；通過引導性語言，在師生問答中引導學生思考，提升思維參與的深度.學生能夠通過親自分組了解到頻數分布表的用途，擁有了將大量數據分組、分段的體驗，使課堂不局限于知識，更能應用到解決實際問題當中，統計思想、觀念就在過程中得以形成和感悟，統計課的育人價值就得以真正地發揮.