高中數學三角函數常規題型解題策略分析
——以“正、余弦定理”為例

◎張新秀

(張家港高級中學，江蘇 張家港 215600)

一、引 言

解決三角函數題型時，常常有兩種思路，也就是正弦定理或余弦定理，相比之下，通過正弦定理進行解題計算過程較為復雜，學生更多地會運用余弦定理進行解題，即對角A運用余弦定理，將其整理成與c有關的一元二次方程，即c2-2bccosA+b2-a2=0.學生通常這么理解.如果方程是無解或者僅有負數解，那么三角形無解；如果方程存在正數解，三角形僅有一解；如果方程有兩個不相等的正數解，三角形則有兩個解.解答三角函數是高中數學階段的主要內容，題目難度不是很大，主要是運用正、余弦定理具備的技巧變形達到三角形邊角的轉換.因此，在解題時，需要注重方程思想、整體思想的合理運用，以確保三角函數解題的正確率與效率.

二、高中數學三角函數教學分析

1.教學目標及重難點

(1)教學目標

①通過對任意三角形的邊長及其角度存在的關系，掌握正弦定理、余弦定理的相關內容及其證明方法，并學會通過正弦定理、余弦定理以及三角形內角和的定理等，解決斜三角形相關問題.

②運用正弦、余弦定理進行探究性學習，掌握三角形邊長與其角度之間存在的數量關系，培養學生解決數學問題的思維能力.學生經過積極參與以及親自實踐，有效解決相關問題.

③通過學習三角函數的內容，調動學生學習數學知識的興趣，培養學生積極探索、獨立思考的精神.

(2)教學重難點

重點：掌握正弦、余弦定理的內容，并學會靈活應用.

難點：通過正弦定理、余弦定理等相關知識，解決測量以及幾何計算等有關的問題.

(3)蘊含的數學思想與方法

常見的數學思想有數形結合、函數與方程、分類討論、化歸與轉化、數學模型等.

2.基礎知識概述

(1)正弦定理

其中，三角形的三條邊長分別為a，b，c，其對應的角分別是A，B，C，R屬于三角形外接圓的半徑.此定理可以對三角形的形狀進行有效判斷，也能夠有效轉化三角形中的邊角關系.

(2)余弦定理

余弦定理可有效反映出三角形的邊與其對應角的余弦值存在的關系，也就是：a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC.其中，三角形的三條邊a，b，c對應的角為A，B，C.作用主要是解決三角函數問題，并對三角形的形狀進行判斷，其功能就是有效轉化三角形中的邊與角.

三、有關“正、余弦定理”常規題型解題策略

1.用“正弦定理”解三角形

對A進行分類討論：

當A=60°時，C=180°-45°-60°=75°，

當A=120°時，C=180°-45°-120°=15°，

評析：已知兩個角和一邊，能夠求解出第三個角，解這種三角形通常需要直接運用正弦定理進行求解；已知兩條邊與一邊的對角，在解三角形時，可通過正弦定理求得另一條邊的對角，然后進行角的討論.此題屬于難點題，在解題時需多加注意.

2.用“余弦定理”解三角形

(1)求角B；

評析：(1)通過余弦定理將角化為邊實施變形則能使本題得到有效解答.(2)對余弦定理及其相關推論進行熟練運用，并注重方程思想、整體思想的合理運用.

3.用“正、余弦定理”判斷三角形的形狀

評析：判斷三角形的形狀的基本思想：通過正、余弦定理實現三角形邊角的統一，也就是把條件轉變為含有角的三角函數式，并通過三角恒等變換轉變成內角與內角的關系式，或者是把條件轉變成含有三角形邊的關系式，并經過常見的化簡，獲得三邊存在的關系.

4.用“正、余弦定理”解決三角形實際問題

(1)用“正、余弦定理”解決距離測量問題

距離測量的問題并非位于“角度”上設置問題，更多的是在三角形選擇上設置問題.距離類的問題解答過程通常會涉及較多的量，學生需要選擇適合的三角形對未知量進行求解.首先，選擇涉及所求量的三角形；其次，選擇涉及其他未知量的三角形.

例如，如圖1所示，某個快遞員由點A出發，順著小路AB→BC，其以20 km/h的平均速度將快遞送至C地，現已知BD=10 km，∠DCB=45°，∠CDB=30°，已知△ABD為等腰三角形，且∠ABD=120°.

圖1

(1)快遞員是否可以在50 min之內把快遞送到C地？

(2)快遞員在出發了15 min之后，快遞公司才發現快件存在一定的問題，因為通信不暢通，公司就只能派車順著大路AD至DC追趕，如果汽車的平均時速是60 km/h，那么汽車是否可以先到C地？

解析：(1)依據正弦定理可求得BC的長，從而得出AB=10，求得快遞員由A至C的整個路程，然后計算到C地的具體時間，從而實現問題的有效解決.(2)依據余弦定理計算出AD和DC的長度，計算得出汽車行駛的具體路程，然后求出汽車到C地花費的時間，計算出其和快遞員花費時間的差，從而實現問題的有效解決.

(2)用“正、余弦定理”解決高度測量問題

高度測量的問題屬于十分重要的概念，“仰角”“俯角”“方位角”等，這些是解題關鍵.在解決高度問題的過程中，學生需要關注平面圖形與空間圖形的有效轉變和結合，這對其想象力的要求通常是極其嚴格的.

例如，如圖2，在距離地面400 m高的熱氣球上，觀看到山頂的C處仰角是15°，山腳的A處俯角是45°，現已知∠BAC=60°，那么山的高度BC是( ).

A.700 m B.640 m C.600 m D.560 m

圖2

解析：本題給出的圖中已經將仰角、俯角都標了出來，其有效簡化了數學題的難度.若沒有展示圖，學生也要了解題目中角都是垂面上形成的角，要學會“定坐標系”，會畫圖.題目給出了高度以及三個角度，就能利用正、余弦定理進行求解.

(3)用“正、余弦定理”解決角度測量問題

利用“正、余弦定理”解決角度測量問題，最重要的就是明確題意，畫出對應的圖形，如果學生畫出的圖形與題目不符合，就無法求出正確答案.因此，學生在畫圖的時候，需要關注“角度”與“方位”，并畫出美觀且切題的圖形.

A.15° B.30° C.45° D.60°

解析：依據題意先畫出圖形，詳見圖3，題目給出了甲船的位置為A點，題目給出的乙船位置為B點，依據北偏東60°與a海里在圖中標出B的位置，乙船行駛方向是正北，沿著正北方向由B點出發，畫出線段，另一端則記作C.甲船追趕著乙船，甲乙兩個船的終點是相同的.因此，AC是甲船行駛的方向.

圖3

四、結束語

綜上所述，高中數學三角函數關于“正、余弦定理”的常規題型解題中，關鍵是對給定的方程實施化簡與變形.正弦定理、余弦定理是三角形的各邊、角實現有效聯系的重要紐帶，合理地選擇與運用正、余弦定理，能實現高效轉化的效果.因此，在具體解題時，學生需要明確目標與思路，不論是轉化為邊，還是轉化為角，都能實現三角函數問題的高效解答.