高中數學數形結合解題法教學的有效策略

2023-01-10 12:58:12陳海潮

數學學習與研究 2022年35期

◎陳海潮

(福建省南安市僑光中學,福建泉州 362314)

一、引言

數學不僅能夠對空間圖形進行處理，還能夠解決數量關系.數學是一門揭示社會規律以及自然規律的學科，具有非常強的實用性.數學伴隨著學生的終身成長，在高中課程學習中更是占據著非常重要的地位，學好數學對培養學生的思維，以及讓學生更好地解決現實生活中的問題具有重要作用.近幾年，高中數學不斷地進行創新改革，這對高中數學教師提出了挑戰，如何提高高中數學教學質量，如何提高學生的學習能力，都成為教師深入思考的問題.高中新課程標準指出，要培養學生的數形結合思想，要把解決數學問題和數學結合思想進行融合.這樣不僅可以提高學生的解題效率，還可以讓學生在數形結合思想的促進下強化數學思維的發展，由此培養學生的數學核心素養.

二、理論基礎

(一)多元智能理論

在以往的傳統教育理念中，學校只重視培養學生的數學邏輯和發展語言智能，但是，心理學家霍華德·加德納認為，智能是多樣化的.智能是個人在一定文化價值標準下解決他們面臨實際問題時所需要的能力.加德納認為人類的智能共有8種，分別是：音樂智能、數理邏輯智能、身體運動智能、語言智能、空間智能、人際交往智能、自然認識智能以及自省智能.在多元智能理論下，智能是多元化的，是多種能力的結合而不是一種能力，并且在多種能力中，各個能力是以獨立的形式存在的，每個人的智能都有鮮明的表現形式和特點，如在數學解題思維中，有些學生更擅長用空間思維來解決問題，而有些學生更擅長用數理思維來解決問題，每個學生對問題都有自己獨特的見解.

數形結合思想就是要求學生把形象思維和抽象思維進行相互轉換，而不是讓學生只用一種思維來思考問題，教師要把學生的語言和數學邏輯智能與其他智能進行結合，讓學生在多種能力的結合下進行觀察、想象、創造，通過多元智能來思考問題、解決問題，這樣可以高效地體現多元智能理論.同時，多元智能理論還認為環境以及后期的教育對個體的智力發展有影響作用.因此，在教學過程中，教師要更加全面地考慮學生的個性發展，要依據學生的個性培養學生的優勢智力，讓不同學生的智力都可以獲得全面發展.

(二)表征理論

“表征”一詞最開始來源于認知心理學，認知心理學把表征解釋為記錄或表達某種信息的方式.在數學中，表征體現為通過不同的形式來表達數學概念或數學關系的過程.在數學學習中，學生可以用“數”或“形”的方式來表征一個數學對象.“數”主要是數學語言化表征，如概念、公式，而“形”主要是數學中的形象化表征，如圖像、符號.《數形結合的解題研究：表征的視角》這一篇文章認為，表征是呈現信息、記錄信息的方式，也是運用信息、調整信息的過程，兩者要同時出現才能稱之為表征.這篇文章從兩個維度對數形結合解題思想過程中的多元表征進行了闡述，其中一種是從問題信息的呈現方式維度來描述的，在這一維度中表征可以分為內部表征和外部表征.外部表征主要存在于個體當中，主要指的是思想或概念，如語言、符號、圖像.數形結合中的“數”可以看作語言表達，它用數學語言來表征數學問題；“形”是圖式表征，是對圖形語言問題中有關數量關系結構的直觀描述.而內部表征存在于主體中，是指信息的內部表達.內部表征是學習者所擁有的心智結構，是學習者將接收的信息進行內化并構建自己知識結構的過程.數學內部表征包括數學符號所賦予的意義、視覺想象、解決問題的策略、學生的自然語言等.

從解題過程呈現的維度來說，可以把表征分為數式表征和圖形表征.數式表征是展現數學特征的術語，如方程、不等式等可以用外顯的符號來表示數學對象.而圖形表征是指數學中的具體圖形，如函數圖形、樹狀圖、線狀圖等，可以讓抽象的問題更加直觀.根據研究表明，面對代數問題時，人們習慣用代數方法解決問題，面對幾何問題時，人們習慣用幾何方法解決問題.數形結合思想就是把圖式表征與數式表征進行結合，并讓學習者能夠將兩種表征方式進行相互轉化，這樣可以讓問題更加容易解決.教師想讓學生學會對表征進行轉化，就要在教學過程中從不同的表征方面教授學生知識，讓學生能夠根據某一知識點收獲不同的表征，并實現表征之間的轉化，這樣可以幫助學生更好地用數形結合思想解決數學問題.

三、數形結合思想的教育價值及應用要求

教育價值：數形結合可以幫助學生理解數學概念，還可以幫助學生發現知識點之間的聯系，從而幫助學生深入地理解數學知識的本質.這對于培養學生的數學思維有重要作用.如教師在教授二次函數或者指數函數時，如果只讓學生背公式或概念，那么學生會對學習感到十分枯燥，并且這樣也難以讓學生靈活運用知識點.但是，如果教師在函數教學中運用圖像思維幫助學生學習以及解題，那么可以促進學生對知識點的理解，并且，運用數形結合還可以發展學生的數學思維.數學思維有抽象思維、直觀形象思維等，學生可以把數形結合理解為抽象思維與形象思維的結合.因此，幫助學生掌握數形結合思想，對促進學生的思維發展有非常重要的作用.數形結合思想可以讓學生從直觀的形象中挖掘深層的數學概念.在這一過程中，教師還可以開發學生的思維，讓學生發揮自己的想象力和創造力，從而尋找新的解題思路.

應用要求：(1)遵循量變到質變的要求.教師想讓學生深入理解數形結合的類型和內涵，就要把數形結合思想運用于數學解題之中.這需要教師在教學中潛移默化地引導學生感知數形結合思想并理解運用數形結合思想.這樣可以讓學生在解題過程中逐漸把此思維轉變為自己的思維模式.這樣的過程實際上就是量變到質變的過程.(2)具有啟發性.啟發性要求是指教師在引導學生理解數形結合思想時，要尊重學生在學習中的個體差異，要在教學中循序漸進地展示數形結合思想的概念以及運用過程.這樣可以激發學生主動探究問題的積極性，對于培養學生的探究思維具有重要作用.

四、運用數形結合思想培養學生解題能力的策略

(一)利用多種途徑培養學生的數形結合思想

數形結合作為一種重要的數學思想在各種類型的數學知識中都有所體現，但高中數學教材以傳授數學理論知識為重點，其中蘊含的數形結合思想需要教師和學生一起挖掘.學生想要掌握數形結合思想就要在教師的引導下探究數學知識的內涵.首先，教師要培養學生的學習興趣，從而幫助學生對數形結合思想進行探究.在目前的高中數學學習中，學生的一大學習難點就是對數學學習不感興趣.為此，教師要先培養學生的數學興趣，當學生有學習興趣時才能對數形結合思想進行深入的研究.

1.教師可以創設情境，激發學生的學習興趣，如在人教版高一必修第二冊“概率”這一章節中，學生要學習“隨機事件與概率”，這時教師就可以給學生創設相應的生活情境.教師可以利用信息技術給學生播放一個動畫短片：小明和爸爸媽媽準備在暑假時出去旅游，他們定好了目的地，之后隨即出發，那么他們到達目的地的那天是晴天還是雨天？這是必然事件還是隨機事件？教師給出了這一情境之后可以讓學生展開討論.有些學生說是必然事件，因為他們出發前會看天氣預報，有些學生說是隨機事件，因為天氣變化莫測，隨時都有可能發生變化.最后，教師又給學生創設了一個情境：小紅同學在周末的時候過生日，所以她邀請了同學來家里玩兒并且玩兒到很晚，那么第二天小紅上課遲到的概率有多大？有些學生根據自己的生活經驗說小紅上課遲到的概率是80%，有些學生認為小紅上課遲到的概率只有10%.因為每個學生的生活規律和生活經驗不同，所以對此情境的看法也有所不同.

教師讓學生通過這兩個情境展開深入的討論，這樣可以有效激發學生的學習興趣.

2.提升知識整合能力、培養學生的數形結合思想.數形結合思想作為解題能力，考查的不僅是學生的解題效率，還有學生的數學思維.數與形在相互轉化時，既包含雙向思維，又包含逆向思維.教師可以指導學生對數學現象進行整理分析并以此來培養學生的雙向思維、逆向思維以及數學化歸思維等.教師要引導學生自行對數學現象進行歸納總結.教師可以先教授學生知識點，在學生理解了知識點后給學生展現數學現象，引導學生根據已經學過的知識點觀察分析數學現象，從而得出正確的結論.這樣可以培養學生的雙向思維.或者教師可以給出一個數學現象，讓學生反向推論數學知識.如教師可以給學生展示幾何體的表面積與體積，然后讓學生根據體積公式、表面積公式來推導此公式是如何產生的，通過這樣的方式培養學生的分析能力，讓學生能夠突破一般的思維，利用逆向思維來思考問題.這樣一來，學生在解題時也可以更好地選擇是以形促數還是以數促形，從而可以幫助學生在解題時探索新思路.