形成性評價在數學建模活動中的思考與實踐*
——以“測量學校內、外建筑物的高度”為例

寧波市北侖中學

竺吳輝 范東暉

1 引言

隨著評價范式的轉型，在“為了學習的評價”的教學評價理念下，以學生為主體的評價方式被越來越多的研究者和教師所關注.《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)指出：評價既要關注學生學習的結果，更要重視學生學習的過程.開發合理的評價工具，將知識技能的掌握與數學學科核心素養的達成有機結合，建立目標多元、方式多樣、重視過程的評價體系[1].數學建模活動是一類重“過程”，強調“活動”的學習模式，部分教師可能會直接跳過這塊內容，將時間投入到可以有效增加分數的模塊上，這與素質教育的初衷是相悖的.本文中結合數學學業質量水平的三個維度和四個方面，以“測量學校內外建筑物的高度”的數學建模活動為例，對模型建立、模型求解以及模型檢驗三個模塊構建了綜合量化評價表，闡釋了對“形成性評價”的理解和教學實踐.

2 研究基礎

2.1 數學建模素養的內涵

《標準》中指出：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養[1].數學建模過程如圖1所示，主要包括：在實際情境中從數學的角度發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.若現實結果符合實際，直接將模型應用于現實問題(步驟7)；若不滿足實際情況(轉步驟6)，重復之前的流程，直到模型滿足實際情況為止.

從數學建模定義的描述來看，其內涵包含三個要素[2]：一是對現實問題的數學抽象，二是用數學語言表達問題，三是用數學方法建構模型解決問題.因此，數學建模是構建現實世界和數學世界的重要橋梁，在經歷完整建模流程的基礎上，進而發展“四能”，達到“三會”.它不僅是一個數學知識應用的問題，在解決問題的過程中還蘊含著方法、思想、價值判斷與選擇，乃至數學的精神和態度.

2.2 形成性評價的內涵

評價最重要的意圖不是為了證明學生學得有多好，而是為了幫助學生更好地了解自身的學習情況，改進自身的學習方法，促進和激勵學生高效學習.形成性評價并非只注重過程，不注重結果，而是更注重從被評價者的需要出發，重視學習的過程，重視學生在學習中的體驗與成長.評價的過程和學生學習的過程交互在一起，這種關注“過程”和“發展”的價值取向，是形成性評價的理念基礎.

3 素養水平劃分與兩項評價原則

《標準》中將每一個數學學科核心素養都劃分為三個水平，并對每一個水平通過情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思這四個方面進行表述.量化方式可參考文獻[3],結合每個水平的具體表現，構建數學建模核心素養的評價方案(見表1)，此評價方案需提前告知學生，讓學生明確努力與評價的方向.

表1 基于三個維度的數學建模評價方案(部分)

《標準》同時也指出，在具體評價數學建模素養水平層次時，還需遵循滿意原則和加分原則.“滿意”原則是針對“最優化”原則提出來的，在復雜多變的建模活動中，大部分問題是沒有最優解的，學生只需根據自己的知識儲備以及學習能力，獲得一個基本符合要求的結果即可.而“加分原則”可以理解為針對數學建模過程的完整性、數學建模方法的創新性、模型的創新性、語言表達的準確性等方面進行適當加分.

4 案例呈現

筆者選取了人教版普通高中數學教科書必修第二冊第54頁拓廣探索中的第23題作為案例開展數學建模活動.考慮到新高一學生對數學建模的整個環節比較陌生，本文中重點闡述學生在“建模內循環”(即建模、解模、驗模三個環節)過程中的行為表現，并給予恰當的形成性評價.

4.1 分析問題構建模型

本次數學建模活動課僅考慮高度問題，匯總之后大致可分為3類測量對象，如表2.

表2 測量對象與特點

第一類對象的高度問題本文不考慮.對于高度不可測的問題，高中學生很容易聯想到利用三角形的知識來解決，但是當遇到水平距離不可測時，需要小組實踐，考慮通過什么方式測定其對應高度，并完成表3.(總評成績=學生評分×40%+教師評分×60%.)

表3 測量方案評價表

小組合作(準備階段)：

(1)2～3名學生一個單位，自由分組，討論本小組的測量目標、小組成員的具體分工、需要準備的測量工具.(下發表2和表3，讓學生明確努力的方向.)

(2)小組成員采用“頭腦風暴”的形式集思廣益，充分討論，對需要測量的對象給出不同的測量方案.測量方案可要求盡可能多一些，通過討論或實踐后再來確定最后的測量方案.確定任意一種方案的具體實施細節，弄清楚要測量哪些數據，哪些因素會使測量結果“失真”.

不管是測量學校內旗桿的高度或者是樹的高度，從數學角度來看，本質上是一個解三角形問題.因此，可以將一個高度測量問題化歸為解三角形的問題，這類“模型”的核心是測量一個(或幾個)“角”和“距離”.以測量本校旗桿的高度為例，呈現學生的討論成果，如圖2所示.

圖 2 四種測量方案

上述四種測量方案的計算都較為簡潔，方案一、二、三對觀測點與被測物之間的水平距離必須可測.與方案一、三相比，方案二、四[4]在計算過程中更容易產生測量和計算誤差，根據實際情況要進行適當的調整修正.

師生活動(討論階段)：

教學與評價是促進學生有效學習的“雙通道”.因此，在實施實地測量之前，每個小組需委派一名發言人對本小組的測量方案進行必要的說明，其他小組成員以及任課教師根據該組成員的匯報情況對其進行評分(見表3).

模型建立環節是十分重要的一個步驟，關乎著整個建模活動是否能夠正常進行.小組匯報與互評工作，首要目標是讓所有參與數學建模活動的成員明確自己的分工，明晰建模研究的方向.其次，教師和小“評委”可以大致了解整個大團隊會涉及哪些模型來測量高度，通過聆聽匯報，準確依據評價方案給予評分，并結合“滿意原則”和“加分原則”適當調整分數.例如，某團隊在匯報過程中，給出了3種解決方案，且有明確的符號說明，并給出了合理的解釋，但未提前預設操作過程可能會遇到的各類問題.根據滿意原則，學生已經達到了理想情況，評分屬于8～10分檔，但學生并沒有對模型進行比較，也未提出操作過程中可能存在的問題，因此它不滿足加分原則，最終教師評分判定為8分.最后，這種“互掐”式的互評模式必然會讓所有同學的思路更為開闊，思維更加嚴謹.

4.2 確定參數 計算求解

小組合作(測量階段)：

在測量過程中，通過有效的測量策略減少系統誤差是非常必要的.系統誤差可分為：方法誤差、儀器誤差以及操作誤差等.其中儀器誤差是不可控的，但是方法誤差和操作誤差卻可以通過理性分析與多次測量，以達到降低誤差的效果.

小組合作(計算階段)：

利用小組構建的模型，完成測量報告，并用多種形式展示小組的成果和創意.通過實踐觀察與詢問，發現某小組成員在測量過程中，沒有考慮到測量誤差，但給出了相應的測算結果，故其滿足滿意原則；在實際測量過程中，學生能根據實際情況進行有效的模型與方法選擇，故其滿足加分原則.因此，教師對該組評分判定為6分.

4.3 檢驗結果 評估模型

旗桿的實際測量高度為16.81 m，某團隊對方案二、三進行計算及穩定性分析，其中ΔH表示通過模型計算獲得的旗桿高度與實際高度的絕對誤差，ΔH*表示當測量數據發生變化時高度的相對變化量(取正)，觀察模型的穩定性，如表4.

表4 模型二、三的穩定性分析

通過后續的討論，該小組學生得到如下結論：(1)在測量過程中，測量長度所帶來的誤差要小于量角器所帶來的誤差.這是由于學生的操作不規范以及儀器的精度不夠導致的，建議減少引入角度變量或選用精度較高的量角儀器.(2)通過二個方案的測算結果，方案三更接近真實值，且該模型的穩定性明顯優于方案二.該組成員對自身建立的模型不僅給出了穩定性分析，還從分析的結論中得出一些有用的信息,但不足之處是未說明模型的適用范圍，因此教師評分可判定為9分.

5 教學思考

5.1 形成性評價幫助學生的目標設定

學生在學習過程中不斷接近或突破自己預設的學習目標時，他們的自我效能感和內在興趣都將得以激發，從而進一步增強其學好數學的信心.因此，目標設定是決定學習表現和結果的關鍵環節.在本次數學建模活動過程中，學生一直圍繞評價方案表，有目的性地開展活動，操作起來也就更為順暢了.在數學建模活動開展的過程中，若不事先設定好目標，大部分學生會迷失方向，這樣數學建模活動的效果就大打折扣，而且容易挫傷學生的積極性.當然教師和學生理解的目標應當是匹配和重合的，這樣學生才能夠主動將來自同伴和教師的反饋信息與自己的目標聯系起來.

5.2 形成性評價增強學生的自我監控

自我監控是指記錄或評價自己的行為，通過記錄和評價等手段影響未來行為上的一系列變化.形成性評價過程中發現的問題，更能引起學生的注意力，進一步促使學生思考自身的學習行為以及策略方法是否得當.在本次數學建模活動中，當團隊完成自己的評價方案時，會將當前自身的表現水平與標準進行比較，通過采取適當的行動來縮小兩者之間的差距.同伴間的相似性，能夠用更同質化的語言進行解釋和建議，讓學生看到不同的看法和策略，共同探討策略的運用與問題的解決，還能將同伴的理解轉化為自己學習的評價，進而對自己的學習方式進行修正和補充.

5.3 形成性評價發展學生的高階思維

高階學習過程表現為學生在基于真實任務或復雜問題的情境中，為達到高層次的學習目標，積極主動、堅持不懈開展建構性學習活動，與同伴建立情感支持，進行協作、交流、分享，不斷地反思和調節自己的學習，經歷分析、發現、構想、歸納、評價、創造等思維經驗積累的過程.在解決問題的過程中，不管是建模、解模、驗模的任何一個環節，都需要同學們積極地合作，通過深度的思考、嚴謹的探討、精確的測量、精準的計算才能最終有所收獲.在自評與互評的過程中，發展學生的批判性思維、創新性思維與反思性評價思維.